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一元二次不等式的解法


一元二次不等式的解法

如何解关于 x 的不等式
由右边的图象填空:

x 2 ? 5x ? 0

???

作出二次函数 y ? x2 ? 5x 的图象如图所示

⑴当 x=0 或 5 时,
⑵当 0<x<5 时,

y =

0, 即 x ? 5 x = 0;
2 2 x y < 0, 即 ? 5 x < 0;

∴可知 x2 ? 5x ? 0 的解集为 ? x 0 ? x ? 5?

2 x ⑶当 x<0 或 x>5 时, y > 0, 即 ? 5 x > 0.

一元二次不等式也可用图象法求解

关键在于快速准确捕捉图像的特征

问:y= ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交 点情况有哪几种?

Δ>0

Δ=0

Δ<0

请同学们完成下表:
方程或不等式 (a>0) Δ >0 解 集 Δ =0
b

Δ <0

ax +bx+c=0 ax2+bx+c >0 ax2+bx+c <0

2

{x|x=x1 或 x=x2} {x| x=- 2 a }

?

一元二次方程、不等式的解集
方程或不等式 (a>0) ax +bx+c=0
2

解 Δ >0 {x|x=x1 或 x=x2}

集 Δ =0 {-
b } 2a
b

Δ <0
?

ax +bx+c >0 {x|x<x 小

2

或 x>x 大} {x|x≠- 2 a }
?

R

ax2+bx+c <0

{x|x 小<x <x 大}

?

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 .
方程2x2-3x-2 =0的解是 1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是

先求方程的根

解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 然后想像图象形状

1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0

解集是大于大根,小 于小根(两边飞)

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 . 1 ? ? 则不等式的解集为 ? x | ? ? x ? 2?. 2 ? ?
注:开口向上,小于0解集是大于小根且小于大根(两边夹)

小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。 若a<0时,先变形!

例2.解不等式 -3x2+6x > 2 解: ∵-3x2+6x > 2

3x2-6x+2 < 0

∵方程的解3x2-6x+2 =0的解是
3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? . 3 3 所以,原不等式的解集是
? 3 3? ? x ? 1? ?x | 1 ? ? 3 3 ? ?

例3.解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是 1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解

练习:解下列不等式

(1)30 ? 7 x ? 2 x ? 0
2

(2)3 x ? 5 x ? 4 ? 0
2

(3)6 x ? x ? 2 ? 0
2

(1)原不等式变为 2x 解:

2

? 7 x ? 30 ? 0即(2 x ? 5)(x ? 6) ? 0

5 ? 不等式解集为 {x x ? ? 或x ? 6} 2
(2) ? ? ? 25 ? 48 ? 0,? 不等式解集为 R。

(3)原不等式变为 (3x ? 2)(2 x ? 1) ? 0 2 1 ? 不等式解集为 {x ? ? x ? } 3 2

x?3 ?0 例 4 解分式不等式: x?7 解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段

∴由上面分析可知原不等式的解集为 ? x x ? ?7 或 x ? 3?

代数式 x?7 x?3 x?3 x?7

x ? ?7

?

? ?

?7 ? x ? 3

x?3

?

? ?

? ? ?

看谁更快,写出下列不等式的解集: x?2 3x ? 2 ?0 ≥0 ⑴ ⑵ 2x ? 5 x ?1
? 5? ? x ?2 ? x ? ? 2? ?

2? x ?0 ⑶ x?3

? 2? ? x x ? ?1 或 x ≥ ? 3? ?
x ≥0 ⑷ 2x ?1

? 1 ? x x ? ? 3 或 x ? 2 ? ? ? x x ? ? 或 x ≥ 0? ? 2 ?

含参不等式的解法
例5. x2 + 5ax + 6 > 0 解:由题意,得:⊿=25a2-24 2 2 2 1.当⊿=25a -24>0 ,即a ? 6或a ? ? 6时 5 5
2 2 ? ? ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? ? 解集为: ? x x ? 或x ? ? 2 2 ? ? ? ?;

2.当⊿=25a2-24=0

? 5 ? 解集为: ? x x ? R且x ? ? 2 a ? ? ?;

2 , 即a ? ? 6时 5

3.当⊿=25a2-24<0, 解集为:R.

2 2 即? 6 ?a? 6时 5 5

变式1. x2 + 5ax + 6a2 > 0 解:因式分解,得:(x+3a)(x+2a) > 0, 方程(x+3a)(x+2a) =0的两根为-3a、-2a. ①当-3a >-2a 即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a}; ②当-3a =-2a 即a =0时,原不等式为 x2>0 解集为:{x︱x∈R且x≠0}; ③当-3a <-2a 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}.
综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a}; 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.

变式2.

ax2 + (6a+1)x + 6 > 0

? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或x ? ?6? a ? ?

一、当a=0时, 解集为?x | x ? ?6? 二、当a≠0时,
因式分解,得 :?ax ? 1??x ? 6? ? 0

1 1 当 ? ? ?6, 即a ? 时 a 6

1 ⑵ 当 ? ? ?6, 即a ? 时 方程?ax ? 1?? x ? 6? ? 0的两 根 为? ,?6 a 6 a 1 解集为 : x x ? R或x ? ?6 ①当a<0时,? ? 0, a 1 1 ? 1? ⑶ 当 ? ? ?6, 即0 ? a ? 时 解集为? x ? 6 ? x ? ? ? a 6 a? ? 1 ? 1?

1

1

?

?

? ?0 ②当a>0时, a

解集为 : ? x x ? ?6或x ? ? ? a? ?

∴综上,得
2.当a ? 0时,解集 为?x x ? ?1?;
1 4.当a ? 时,解集 为?x x ? R且x ? ?6?; 6

? 1? 1.当a ? 0时,解集为 ?x ? 6 ? x ? ? ? a ?; ?

? 1 1? 3.当0 ? a ? 时, 解 集为? x x ? ?6或x ? ? ? 6 a ?; ?

? ? 1 1 5.当a ? 时,解集为 x x ? ? 或 x ? ? 6 ? ? 6 a ? ?.

几个关于一元二次不等式的解集的问题: 2 ⑴不等式 ?a ? 2?x ? 2?a ? 2?x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成 立,那么 a 的取值范围是__________. ?2, 2

?

?

⑵已知不等 式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 ? x 2 ? x ? 3? , 则不等式 bx
2

⑶集合 A={x|10+3x-x ≥0},B={x|m+1≤x≤2m+1}, 当 A∩B=φ 时,m 的取值范围是________.

? 1 1? x ? ?x?? ? ? ax ? 1 ? 0 的解集为 ?__________. 2 3? ? 2

2

m<0 或 m>4

小结:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有:

1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;

例6. 关于x的二次不等式a2x2+6ax+9-b2 ≤ 0的解集 是[-1,2],求a,b
解:依题意知方程a2x2+6ax+9—b2=0 的两根为—1,2


?a ? ?6 ?a ? ?6 解得: 或? ? ?b ? 9 ?b ? ?9

(二)含参不等式恒成立的问题
知识概要
(1)二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (2)二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

例题:已知关于x的不等式:
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立, 试求a的取值范围.
解:由题意知: ①当a -2=0,即a =2时,不等式化为 1 ≥ 0,它恒成立,满足条件. ②当a -2≠0,即a ≠2时,原题等价于 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 即? 2 ( a ? 2) ? 4( a ? 2) ? 0 ? ?(a ? 2)(a ? 6) ? 0

(3)二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (4)二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立

?a ? 2 即? ?2 ? a ? 6

所以2 ? a ? 6

?a ? 0 ?? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0

综上: 2 ? a ? 6

三个“二次”的基本关系:
? ? b 2 ? 4ac
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)的图象

??0

y
O

y
x1 x 2

??0

y

??0

x

O

x

O
无实根

x

方程ax 2 ? bx ? b ? b 2 ? 4ac x1、 2= ? c=0的根 2a
二 次 不 等 式 的 解 集

b x1=x 2 ? ? 2a

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

b? ? ?x | x ? x1或x ? x2 ? ?x | x ? R, x ? ? 2a ? ? ?

R
?

?x | x1 ? x ? x2 ?

?

课堂小结
一、内容分析
1 、解含参数的不等式 2、已知不等式的解集,求参数的值或范围
、 函数 ?1 ? 不等式中的恒成立问题 ?2、 分离参数后用最值 ?3 ? 、 用图象

二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想 3、等与不等的化归思想


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