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上海市七宝中学2013-2014学年高一第一学期期末考试数学模拟试题A


2013 学年第一学期期末考试 高一数学模拟试题
一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 1.函数写出命题“若 x ? 0且y ? 0 ,则 x2 ? y 2 ? 0 ”的否命题
2 2.已知集合 A ? ?1, x? , B ? 1 , x

3.若集合 M ? x x ? 2
2

?

?

? 且 A ? B ,则 x ?
1

0



? , N ? ? x y ? lg ( x ? 1)? ,则 M ? N ?
2

(1,2)

.

4.已知实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 ab 的最大值为 5.函数 f ( x ) ? x ? lg
3

. .

1? x 的奇偶性为 1? x

奇函数

?? ? 6.函数 f ? x ? ? ? ? ?4?

3? 2 x ? x 2

的单调递增区间是

.

7.若函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f (x)<0 的 x 的取值范围是

(?2,2)

.

2 8. 已知关于 x 的方程 x ? 6 x ? 5 ? a 有四个不相等的实数根, 则 a 的取值范围是

(0,4) .

? 1 ? 3 9.函数 f ( x) ? ? x ? 3, x ? 0 ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 x ? ?3 ? 1, x ? 0
(?1, 0? ? (0,??)
10.若函数 y ? .

x ?b 在 (a, b ? 4)(b ? ?2) 上的值域为 (2, ??) ,则 a ? b = ?6 . x?2 ?1, x ? A A 在全集 U 中 11.定义全集 U 的子集 A 的特征函数为 f A ( x) ? ? ,这里 ? U A 表示 0, x ? ? A U ? 的补集, 那么对于集合 A、B ? U , 下列所有正确说法的序号是 (1) (2) (3) .
(1) A ? B ? f A ( x) ? f B ( x) (3) f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) (2) f? A ( x) ? 1 ? f A ( x)
U

(4) f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) y x1 .
O

12.对任意的 x1 ? 0 ? x2 ,若函数 f ( x) ? a x ? x1 ? b x ? x2 的大致图像为如图所示的一条折线(两侧的 射线均平行于 x 轴) ,试写出 a 、 b 应满足的 条件是

x2

x

a ? b ? 0, a ? b ? 0

二、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 13.条件甲: log3 x2 ? 2 是条件乙: log3 x ? 1成立的( B )

第 12 题图

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

14 .若函 数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既是 奇函 数,又 是减 函数, 则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是( A



15.已知 x0 是函数 f ( x) ? 2 ?
x

A. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0 C. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

1 的一个零点.若 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ? x0 , ??? ,则 (B 1? x B. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0
D. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

)

16.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数. ①若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上单调递增; ②若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上不可能单调递减; ③若存在 x2 ? 0 对于任意 x1 ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ) 成立, 则函数 f ( x) 在 R 上递增; ④对任意 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上单调递减. 则以上真命题的个数为( B ) A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题(10+10+10+10+12=52 分) 17.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | | x ? a | ? 1} , B ? {x | (1)求集合 B ;

x ?1 ? 2} . x?2

? ? U x ?1 ? ?2?0 ?| x ? a | ? 1 x?2 ? A ? (a ? 1, a ? 1)?? 2分 x ?5 ? ? 0?? 2分 ? A ? ?U B x?2 ?1? 2 B ? (??, 2) ? ?5, ??)?? 2分 ? a a ?1?5
? B ? 2,5 ?? 2分

(2)若 A ? ? U B ,求实数 a 的取值范围.

?

3 ? a ? 4?? 2分

2 2 18.已知不等式 x ? 3x ? m ? 0 的解集为 x 1 ? x ? n, n ? R ,函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? 4 .

?

?

(1)求 m, n 的值;

2 (2)若 y ? f ? x ? 在 (??,1] 上递增,解关于 x 的不等式 log a ? nx ? 3 x ? 2 ? m ? 0 .

?

?

解:(1) 由条件得: ?
2

?1 ? n ? 3 ?m ? 2 ?? 4分 , 所以 ? ?n ? 2 ?1? n ? m
a ? 1 , a ? 2 . ??2分 2

(2)因为 f ? x ? ? ?x ? ax ? 4 在 ? ??,1? 在 ? ??,1? 上递增, 所以

log a ? ? nx 2 ? 3 x ? 2 ? m ? ? log a ? ?2 x 2 ? 3 x ? ? 0 .
2 ? ?2 x ? 3x ? 0 ?? 2分 , 所以 ? 2 ? ?2 x ? 3x ? 1 ? 0

3 ? 0? x? ? ? 2 所以 ? . ? x ? 1或x ? 1 ? 2 ?

1 3 或 1 ? x ? . ?? 2分 2 2 k 19.设幂函数 f ( x) ? (a ?1) x (a ? R, k ? Q) 的图像过点 ( 2, 2) . (1)求 a , k 的值;
所以 0 ? x ? (2)若函数 h( x) ? ? f ( x) ? 2b f ( x) ?1 ? b 在 [0, 1] 上的最大值为 2,求实数 b 的值.

(1)a ?1 ? 1?a ? 2??2分
(2) f ( x) ? x
2

( 2)k ? 2?k ? 2??2分

h( x) ? ? x 2 ? 2bx ? 1 ? b h ( x ) ? ?( x ? b ) 2 ? b 2 ? b ? 1 x ? [0,1]

1)b ? 1, hmax ? h(1) ? b ? 2?? 2分
3)b ? 0, hmax ? h(0) ? 1 ? b ? 2 ? b ? ?1?? 2分

2)0 ? b ? 1, hmax ? h(b) ? b ? b ? 1 ? 2
2

?b ?

1? 5 (舍) ?? 2分 2

综上:?b ? 2或b ? ?1??2分

a ? 0.1 ? 15ln , ( x ? 6) ? ? a?x 20.有时可用函数 f ( x) ? ? 描述某人学习某学科知识的掌握程度, ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ? * 其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) , f ( x ) 表示对该学科知识的掌握程度,正实
数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是单调递减的; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] 、 (121,127] 、

(127,133] .当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.

(1)当x ? 7时,f(x+1)-f(x)=

0.4 ?? 2分 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 ? 7时,函数y=( x ? 3)( x ? 4)单调递增,且( x ? 3)( x ? 4) ? 0. 故f(x+1)-f(x)单调递减. ?当 ? 7,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是单调递减. ??3分 (2)由题意可知0.1 ? 15ln 解得a ? a ? 0.85,?? 2分 a?6 整理得 a ? e0.05 , a?6

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,?? 2分 e0.05 ? 1 123.0 ? ?121,127 ? 123.0 ? ?121,133?. 由此可知,该学科是乙和丙学科。 ??1分

21.对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) ,如果存在实数 a , b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) ,那么 称 h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. (1)下面给出两组函数, h( x) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? lg

x , f 2 ( x) ? lg10 x, h( x) ? lg x ; 10

第二组: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 ; (2)设 f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ?1 ,生成函数 h( x) .若不等式
2

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围; 1 ( x ? 0) ,取 a ? 0, b ? 0 ,生成函数 h( x) 图像的 ( 3)设 f1 ( x) ? x ( x ? 0), f 2 ( x) ? x 最低点坐标为 (2, 8) . 若对于任意正实数 x1 , x2 且 x1 ? x2 ? 1 .试问是否存在最大的常数 m , 使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由.

1 1 a ?b ?1 x ? b lg10 x ? lg x ? a?b?0 ? a ? , b ? 2 2 10 所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数 ?? 2分
解: (1)① a lg

?

② 设 a( x2 ? x) ? b( x2 ? x ? 1) ? x2 ? x ? 1 ,即 (a ? b) x2 ? (a ? b) x ? b ? x2 ? x ? 1,

?a ? b ? 1 ? 则 ?a ? b ? ?1 ,该方程组无解.所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. ?? 2分 ?b ? 1 ?
(2) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2

2 若不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,
即 t ? ?3h2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log2 2 x ? 2log 2 x ?? 2分
2 设 s ? log2 x ,则 s ? [1, 2] , y ? ?3log2 2 x ? 2log2 x ? ?3s ? 2s ,

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 . ?? 2分
(3)由题意,得 h( x ) ? ax ?

b b ( x ? 0) ,则 h( x) ? ax ? ? 2 ab x x

b ? ?a ? 2 8 ? 2a ? ? 8 ( x ? 0) ??1分 2 ,解得 ? ,所以 h( x ) ? 2 x ? ? x ?b ? 8 ? 2 ab ? 8 ? 假设存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立.
于是设 u ? h( x1 )h( x2 ) ? 4( x1 ?

4 4 64 x x )( x2 ? ) ? 4 x1 x2 ? ? 16( 1 ? 2 ) x1 x2 x1 x2 x2 x1

=

4 x1 x2 ?

2 x2 ? x2 ( x ? x )2 ? 2 x1 x2 64 64 80 ? 16 ? 1 ? 4 x1 x2 ? ? 16 ? 1 2 ? 4 x1 x2 ? ? 32 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 ?? 2分

令 t ? x1 x2 ,则 t ? x1x2 ? (

x1 ? x2 2 1 1 ) ? ,即 t ? (0, ] 2 4 4 80 1 ? 32 在 t ? (0, ] 上单调递减, 设 u ? 4t ? 4 t 1 u ? u( ) ? 289 ,故存在最大的常数 m ? 289 ??1分 4


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