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2015年高考文科试题解析分类圆锥曲线汇编老师用


高考文科试题解析分类汇编:圆锥曲线
1.设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a P 为直线 x ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 上一点, ?F2 PF1 2 2 a b


是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想,是简单题.
0 【解析】∵△ F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,

∴ ?PF2 A ? 600 , | PF2 |?| F 1 F2 |? 2c ,∴ | AF 2 |=c, ∴ 2c ?

3 3 a ,∴ e = ,故选 C. 2 4

C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, 2.等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,

AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A) 2 (B) 2 2



(C ) ?

( D) ?

【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】 由题设知抛物线的准线为:x ? 4 , 设等轴双曲线方程为:x ? y ? a , 将x ? 4
2 2 2

代入等轴双曲线方程解得 y = ? 16 ? a2 , ∵ | AB | = 4 3 , ∴ 2 16 ? a2 = 4 3 , 解得 a =2, ∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 4.椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 8 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 8 x2 y 2 ? ?1 12 4

(C)

(D)

【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置, 然后借助于焦距和准线求解参数 a, b, c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C c
P 在 C 上, | PF1 |? 2 | PF2 | ,则 5.已知 F 1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点
2 2

1

cos ?F1PF2 ?
(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。 首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF 1 |? 2 x,| PF 2 |? x ,则

| PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1F2 ? 4 ,利用余弦定理可
得 cos ?F1PF2 ?

PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2

6.【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双 曲线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

【答案】B 【命题意图】 本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质, 通过对两者公交点求解离心率的 关系. 【解析】设椭圆的长轴为 2a,双曲线的长轴为 2 a ? ,由 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 2a ? 2 ? 2a? ,即 a ? 2 a? ,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离 心率为 e? ?

c c e? a ? 2. ,e ? , ? a? a e a?

7.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该 抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 【答案】B [解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为( B、 2 3 ) C、 4 D、 2 5

p p ,0 ) ,准线方程为 x= ? , 2 2

2

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线的距离). 9.对于常数 m 、 n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是椭圆”的( A、充分不必要条件 充分也不必要条件 【答案】B. B、必要不充分条件 C、充分必要条件 ) D、既不

? m ? 0, ? 【解析】方程 mx ? ny ? 1 的曲线表示椭圆,常数常数 m, n 的取值为 ? n ? 0, 所以,由 ? m ? n, ?
2 2

mn ? 0 得不到程 mx2 ? ny2 ? 1 的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示
椭圆,能推出 mn ? 0 ,因而必要.所以答案选择 B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程 的组成特征,可以知道常数 m, n 的取值情况.属于中档题.

x2 y 2 11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的 a b
渐近线上,则 C 的方程为 A.

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

[

【答案】A 【解析】设双曲线 C :

x2 y 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a2 b2
b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? 2 ,即 a ? 2b . a a



C 的渐近线为 y ? ?
2 2 2

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为

x2 y2 =1. 20 5

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想
3

和基本运算能力,是近年来常考题型. 12.已知双曲线

x2 y 2 =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 a2 5
B

A

3 14 14

3 2 4

C

3 2

D

4 3

【答案】C. 考点:双曲线的离心率。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为圆锥曲线的性质,利用离心率 e ?

c 即可。 a

2 解答:根据焦点坐标 (3,0) 知 c ? 3 ,由双曲线的简单几何性质知 a ? 5 ? 9 ,所以 a ? 2 ,

因此 e ?

3 .故选 C. 2

二 、填空题
13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值, 且 a ? 5) 的的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 a2 5 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 2 【答案】 , 3
2 2

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5

? c ? 2,? e ?

c 2 ? a 3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化。 15.【2012 高考江苏 8】 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 率为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心 m m ?4

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 ∴ e= = = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 a m
18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若
2

| AF |? 3 ,则 | BF | =______。
4

【答案】

3 2

【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 ? 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 双 曲 线 a2 b2
b?

x2 y2 C2 : ? ? 1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ( 5,0) ,则 a ? 4 16
【答案】1,2 【解析】双曲线的

x2 y2 x2 y2 b ? ? 1 渐近线为 y ? ?2 x ,而 2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x , a 4 16 a b

所以有

x2 y2 b ? 2 , b ? 2a ,又双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点为 ( 5,0) ,所以 c ? 5 ,又 a a b

c 2 ? a 2 ? b 2 ,即 5 ? a 2 ? 4a 2 ? 5a 2 ,所以 a 2 ? 1, a ? 1, b ? 2 。

三、解答题
20. 【2012 高考天津 19】 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 (a>b>0),点 P( , )在椭圆上。

(I)求椭圆的离心率。 【解析】(Ⅰ) 点 P(

5 2 a, a) 在椭圆上 5 2

1 2 1 2 a a b2 5 b2 3 6 5 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? e2 ? 1 ? 2 ? ? e ? a b a 8 a 8 4

21.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

e) 和 ? e , 0) .已知 (1 , 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) , F2 (c ,
的离心率. (1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆 2 ? ?

5

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a


12 a
∴ c 2 =a 2 ? 1 。
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 2

6


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