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公开课椭圆的简单几何性质


复习:1.椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常 数(大于|F1F2 |)的动点的轨迹叫做椭圆。 2.椭圆的标准方程是:

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 当焦点在X轴上时 2 a b 2 2 y x 当焦点在Y轴上时 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 2=b2+c2 3.椭圆中a,b,c的关系是: a

2

2

y2 1、范围: x ? 1, ? 1得: 2 b a2 -a≤x≤a, -b≤y≤b 知
2

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2 A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

2、对称性:

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

关于y轴对称
P(x,y)

Y

P2(-x,y)

O

X

关于原点对称
P3(-x,-y) P1(x,-y)

关于x轴对称

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2、对称性: 2 a b
(1)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (2)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图 象关于原点成中心对称。

2

2

结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

3、椭圆的顶点 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点?

y
B2 (0,b)

*顶点:椭圆与它的对 称轴的四个交点,叫做 A1 椭圆的顶点。 (-a,0) F1 *长轴、短轴:线段 A1A2、叫做椭圆的长轴 B1B2叫做椭圆的短轴。

b

a
F2

A(a,0) 2

o c
B1 (0,-b)

a叫做椭圆的长半轴长,b叫做 椭圆的短半轴长。

4、椭圆的离心率e(刻画椭圆圆扁程度的量)

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围: 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响:

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,短半轴长 b 就越小,椭圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,短半轴长 b 就越大,椭圆就越接近于圆 思考:当e=0时,曲线是什么?当e=1时曲 线又是 什么?

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成 中心对称

范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

半轴长
离心率 a、b、c的 关系

c e= ,(o<e<1) a

b ? a ?c
2 2

2

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

图像
范围 对称性 顶点坐标

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)

焦点坐标
半轴长 离心率 abc的关系

(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴 长为b. a>b c e ? , (0 ? e ? 1) a

(0 , c)、(0, -c)

同前 同前 同前

b2=a2-c2

练1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,则
?解:把已知方程化为标准方程得:

x2 y2 ? ?1 25 9 6 它的长轴长是: 10 。短轴长是: ____ 4
焦距是:



8 ____ 。

5 离心率等于:____



焦点坐标是: (±4,0)

(±5,0) (0,±3) 。顶点坐标是: 。

解题的关键:1、将椭圆方程转化为标 x2 y2 准方程 ? ? 1 明确a、b
25 9

2、确定焦点的位置和长轴的位置

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);
3 (2)长轴长等于20,离心率等于 5 .

解:(1)由椭圆的几何性质可知,点P、Q 分别为椭圆长轴和短轴的一个端点.

x ? y ? 1 为所求椭圆的标准方程 . ? 9 4 c (2) 由已知 2a ? 20, ? c ? 3 , ? a ? 10, ? 6 . e a 5 2 2 2 ? b ? a ? 2c ? 64 . 2 2 2 x y y x 所以椭圆方程为: ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64
2

? a ? 23 , ? 2 b

练习:求下列椭圆的长轴长、短轴 长、离心率、焦点和顶点坐标
1. x2+4y2=16; 长轴长2a=8,短轴长2b=4,

3 e ? , F1 (?2 3,0), F2 (2 3,0) 2

顶点A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,2),B2(0,2)

? 2. 9x2+y2=81 解:长轴长2a=18,短轴长2b=6,

2 2 e? , F1 (0,?6 2 ), F2 (0,6 2 ) 3
顶点:A1(0,-9),A2(0,9), B1(-3,0), B2(3,0)

? 2 在下列每组椭圆中,哪一个更接 近于圆? ? ①9x2+y2=36与x2/16+y2/12=1; ? x2/16+y2/12=1 ? ②x2+9y2=36与x2/6+y2/10=1 ? x2/6+y2/10=1

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

图像
范围 对称性 顶点坐标

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)

焦点坐标
半轴长 离心率 abc的关系

(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴 长为b. a>b c e ? , (0 ? e ? 1) a

(0 , c)、(0, -c)

同前 同前 同前

b2=a2-c2

五、作业:
课本42页练习题A组2题(3)(4) 3题(2)


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