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高中数学抛物线训练题及解析


选修 1-1.2.3.抛物线
一、选择题 1.(2010· 衡水七校联考)抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( ) |a| |a| A. 4 B. 2 a C.|a| D.-2 2.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到 该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) 17 A. 2 B.3 9 C. 5 D.2

3.(2011· 皖南八校)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离 7 为 d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A(2,4),则|PA|+|PM|的最小值是( ) 7 A.2 B.4 9 C.2 D.5 4.与直线 4x-y+3=0 平行的抛物线 y=2x2 的切线方程是( ) A.4x-y+1=0 B.4x-y-1=0 C.4x-y-2=0 D.4x-y+2=0 5. (2010· 辽宁卷)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 准线为 l, P 为抛物线上一点, PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 6.(2010· 山东卷)已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交 抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程 为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 二、填空题 7.如果直线 l 过定点 M(1,2),且与抛物线 y=2x2 有且仅有一个公共点,那 么 l 的方程为________. 8.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点 的横坐标为 3,则|AB|等于________. 9. (09· 福建)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物线 于 A,B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p=________. 1 10.抛物线 y=2x2 上距离点 A(0,a)(a>0)最近的点恰好是其顶点,则 a 的取 值范围是________. x2 y2 11.若椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,抛物线 y2=2bx

→ → 的焦点为 F,若F1F=3FF2,则此椭圆的离心率为________. 12. (2010· 湖南卷, 理)过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点作斜率为 1 的直线与该 抛物线交于 A,B 两点,A,B 在 x 轴上的正射影分别为 D,C.若梯形 ABCD 的 面积为 12 2,则 p=________. 13.(2011· 合肥第一次质检)当 x>1 时,直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下 方,则 a 的取值范围是________. 三、解答题 14.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A、B 是抛 物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分 线恒经过定点 Q(6,0),求此抛物线的方程. 15.(2011· 沧州七校联考)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2= 1 → → 2py(p>0)相交于 B、C 两点.当直线 l 的斜率是2时,AC=4AB. (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 参考答案 1. 答案 解析 B

|a| |a| ∵y2=ax,∴p= 2 ,即焦点到准线的距离为 2 ,故选 B. A

2. 答案 解析

1 记抛物线 y2=2x 的焦点为 F,准线是直线 l,则点 F 的坐标是(2,0),

由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值, 可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,结合图形不难得知相应 1 的最小值就等于焦点 F 与点(0,2)的距离,因此所求的最小值等于 ?2?2+22= 17 2 ,选 A. 3. 答案 C 1 7 解析 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,则 F(2,0),又点 A(2,4)在抛物线的 1 外侧,抛物线的准线方程为 x=-2, 1 9 则|PM|=d-2,又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|≥2.故选 C. 4. 答案 C 解析 y′=4x=4∴x=1,y=2,过(1,2)斜率为 4 的直线为 y-2=4(x-1). 5. 答案 B 解析 由抛物线的定义得,|PF|=|PA|, 又由直线 AF 的斜率为- 3,可知∠PAF=60° .

4 △PAF 是等边三角形,∴|PF|=|AF|=cos60° =8. 6. 答案 解析 B p 抛物线的焦点 F(2,0),所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-

p p p 2 2 2 2 ,即 x = y + ,将其代入 y = 2 px = 2 p ( y + 2 2 2)=2py+p ,所以 y -2py-p =0, y1+y2 所以 2 =p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x,准线方程为 x=-1,故选 B. 7. 答案 x=1 或 y=4x-2 解析 当过 M(1,2)的直线的斜率不存在时,直线方程为 x=1,与抛物线有 一个交点;当 M(1,2)的直线的斜率存在时,设直线方程:y=k(x-1)+2,与抛物 线方程联立得 2x2-k(x-1)-2=0,此时 Δ=0,解得 k=4,故直线方程为 y=4x -2.故 x=1 或 y=4x-2. 8. 答案 8 解析 抛物线的准线方程为 x=-1,则 AB 中点到准线的距离为 3-(-1) =4.由抛物线的定义得|AB|=8. 9. 答案 2 解析 设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),过抛物线 y2=2px(p>0) p p 的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线方程为 y=x-2,把 x=y+2代入 y2=2px 得,y2 -2px-p2=0,∵|AB|=8,∴|y1-y2|=4 2,∴(y1+y2)2-4y1y2=(4 2)2,∴(2p)2 -4×(-p2)=32,又 p>0,∴p=2. 10. 答案 0<a≤1 解析 设抛物线上一点 P(x,y), 则|PA|2=x2+(y-a)2=2y+y2-2ay+a2 =y2-2(a-1)y+a2=[y-(a-1)]2+2a-1. ∵y≥0,∴当 a-1≤0,即 a≤1 时,|PA|2 有最小值, 而|PA|有最小值,此时 y=0,故 0<a≤1. 2 11. 答案 2 b → → 解析 ∵F(2,0),F1(-c,0),F2(c,0)且F 1F=3FF2, b b b 3b → → 2 ∴F 1F=( +c,0),FF2=(c- ,0),∴ +c=3c- 2 2 2 2 ,即 2b=2c.∴b=c.∴a c 2 =b2+c2=2c2.∴ =e= . a 2 12. 答案 2 p 解析 依题意,抛物线的焦点 F 的坐标为(0,2),设 A(x1,y1),B(x2,y2), p p2 直线 AB 的方程为 y-2=x,代入抛物线方程得,y2-3py+ 4 =0,故 y1+y2 =3p,|AB|= |AF|+ |BF|=y1+y2+p=4p,直角梯形有一个内角为 45° , 故|CD| 2 2 1 1 = 2 |AB|= 2 ×4p=2 2p, 梯形面积为2(|BC|+|AD|)×|CD|=2×3p×2 2p=3 2 p2=12 2,p=2.

13. 答案

(-∞,4]

2 ?y=x 解析 由题可知,联立? ,整理可得 x2-ax+a=0,当 Δ=a2-4a ?y=ax-a =0,解得 a=0 或 a=4,此时直线与抛物线相切,因为直线恒过定点(1,0),结 合图形可知当 a∈(-∞,4),x>1 时直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下方. 14. 解析 设抛物线的方程为 y2=2px(p>0), p 其准线方程为 x=-2, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 因为|AF|+|BF|=8, p p 所以 x1+2+x2+2=8, 即 x1+x2=8-p. 因为 Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上, 所以 QA=QB, 2 2 即(x1-6)2+y2 1=(x2-6) +y2, 2 又 y1 =2px1,y2 2=2px2, 所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0, ∵x1≠x2,∴x1+x2=12-2p 故 8-p=12-2p ∴p=4 ∴所求抛物线方程是 y2=8x 1 1 15. 解 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是2时,l 的方程为 y=2 (x+4),即 x=2y-4. 2 ?x =2py, 由? 得 2y2-(8+p)y+8=0, ?x=2y-4

?y1y2=4,① ? → =4AB → ,∴y =4y ,③ ∴? 又∵AC 8+p 2 1 y1+y2= 2 ,② ? ? 由①②③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2,则抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0), 2 ?x =4y, 由? 得 x2-4kx-16k=0,④ y = k ? x + 4 ? ? xC+xB ∴x0= 2 =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 1 ∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=-k (x-2k), ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程④,由 Δ=16k2+64k>0 得:k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞).


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