当前位置:首页 >> 数学 >> 北京市房山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题

北京市房山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题


房山区高三年级第一学期期末练习 数
无效。考试结束后,将答题卡交回。

学 (理科)2013.1

本试卷共 5 页,150 分。考试时间 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.


1.已知集合 M ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, N ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? [1,2) D. M ? N ? [?3,3]

2. 设 a, b ? R , a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i ) (为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. 0 B. 2 C.3 D. 4

3. “ ? = 0 ”是“函数 f ( x) = sin( x + A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

? ) 为奇函数”的

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设 a ? 0.32 , b ? 2 0.3 , c ? log 0.3 4 ,则 A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. c ? a ? b

5. 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是 A.一定相离 C.相交且一定不过圆心 B.一定相切 D.相交且可能过圆心

6. 若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的 表面积是 A.

3

B.

9 3 2

C. 6 ? 3

D. 6 ? 2 3

7. 已知函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0, D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的 ?? x ? 1, x ? 0,

切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 3 y 在 D 上的最大值为 A. 4 B. 3 C. D. ?1
第 1 页 共 12 页

8. 对 任 意 两 个 非 零 的 平 面 向 量 ? 和

? ,定义 ? ? ? ?

? ?? , 若 平 面 向 量 a, b 满 足 ? ??

? n a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? (0, ) ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 { | n ? Z} 中,则 a ? b = 3 2
A.

1 2

B.

C.

3 2

D.或

3 2
开始

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.

S ? 0, n ? 0, a ? 1

?

1 0

( x ? 1)dx =

. .(用数字作答)

n ? n ?1

10. ( x ? 1) 5 的展开式中 x 的系数是

a ? 2? a
S ?S ?a
. .
nn 否

11.在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

A?

? , a ? 13, b ? 3, 则 c ? 3

,△ABC 的面积等于

S ? 1000
是 输出 n

12.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为

n

s 结束 , n ? 0 ?1

13. 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析每辆客车运营前

n (n ? N* ) 年的总利润 S n (单位:万元)与 n 之间的关系为 Sn ? ?(n ? 6) 2 ? 11 .当每辆
客车运营的平均利润最大时, n 的值为 14. 已知 m ? 0 ,给出以下两个命题:
2

.

命题 p :函数 f ( x) ? lg( x ? m) 存在零点; 命题 q : ?x ? R ,不等式 x ? x ? 2m ? 1 恒成立. 若 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,则 m 的取值范围为 .

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

第 2 页 共 12 页

(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)若 f (? ?

?
4

)?

3 2 ,求 cos ? 的值. 5

16. (本小题满分 14 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

D1 A1

C1

AB ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , E 为 BB1 中点.
(Ⅰ)证明: AC ? D1 E ;

B1

E

(Ⅱ)求 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值;
D C

(Ⅲ)在棱 AD 上是否存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ? 若存在,求 DP 的长;若不存在,说明理由.
A B

第 3 页 共 12 页

17. (本小题满分 13 分)在某校组织的一次篮球定点投篮测试中,规定每人最多投 3 次, .. 每次投篮的结果相互独立.在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分,否则得 0 分. 将学生得分逐次累加并用 ? 表示,如果 ? 的值不低于 3 分就认为通过测试,立即停止投 .... 篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种:方案 1:先在 A 处投一球, 以后都在 B 处投;方案 2:都在 B 处投篮.甲同学在 A 处投篮的命中率为 0.5 ,在 B 处投篮 的命中率为 0.8 . (Ⅰ) 甲同学选择方案 1. ① 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 的概率; ② 求甲同学测试结束后所得总分 ? 的分布列和数学期望 E? ; (Ⅱ)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.

18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

b ? ax . x2 ?1

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)当 2b ? a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.
2

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

1 2 11 n ? n (n ? N? ) . 2 2

k 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 2013 (2an ? 11)(2an ? 9)
?

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值;

?an , (n ? 2k ? 1 , k ? N? ), ? ? (Ⅲ)设 f (n) ? ? 是否存在 m ? N ,使得 ? ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ), ?
第 4 页 共 12 页

f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 13 分)已知函数 y ? f (x) ,若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是函数

y ? f (x) 的一个不动点,设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? b ? 2 .
(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时,求函数 f (x) 的不动点; (Ⅱ) 若对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数 y ? f (x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动 点,且直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围. a ?1
2

第 5 页 共 12 页

房山区高三年级第一学期期末练习参考答案 数
一、 选择题: 4D 5C 6D 7B 8D ? ? ? ? ? b?a |b | ?n ? ? ? ? ? 【解析】 C;因为 b ? a ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? | n ? Z ? 中, a?a | a | ?2 ?
? ? 1 所 以 b?a ? 2

学 (理科) 2013.01

1C

2B

3A

? |b| 1 ? ? , | a | 2 cos ?

? ? ? |a| 2 , 所 以 a ? b ? ? cos ? ? 2 cos ? |b|

, 且

? ? ? 1 1 3 ?? ? (0, ),? ? cos ? ? 1,? ? 2 cos 2 ? ? 2 故有 a ? b ? 1或 ,选 D. 3 2 2 2 ? ? ? ? |a| k ? ? |b| k kk 2 【另解】C; a ? b ? ? cos ? ? 1 , b ? a ? ? cos ? ? 2 ,两式相乘得 cos ? ? 1 2 , 4 2 2 |b| |a|

k1k2 1 ? 1 ,所以 1 ? k1k2 ? 4 ,所 ? , k1 , k2 均为正整数,于是 ? cos ? ? 3? 2 2 ? ? ? ? 3 以 k1k2 ? 2或3 ,而 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3, k2 ? 1 或 k1 ? 2, k2 ? 1 ,于是 a ? b ? ,选 D. 2
因为 ? ? ? 0,

? ?

??

二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

3 2

10. 10

11. 4, 3 3

12. 9

13. 5

1 14. (0, ] ? (1, ??) 2

p : 0 ? m ? 1, q : m ? 1 数形结合

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x? ??????1 分 ??????3 分

? ? k? , k ? Z 2
{x | x ?

所以函数 f (x) 的定义域为

? ? k? , k ? Z } 2

?????4 分

第 6 页 共 12 页

(Ⅱ) f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 cos x

=

2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 1 2 cos x
2 sin(x ?

?????8 分

= sin x ? cos ?

? ) 4

?????10 分

? ? 3 2 f (? ? ) ? 2 sin(? ? ) ? 4 2 5
所以 cos ? ? sin(? ?

? 3 )? 2 5

?????13 分

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 BD ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,
A1 D1 z C1

B1

∴ D1 D ? 平面 ABCD , 又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC ??????1 分
A x B D E

C y

在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC 又 BD ? D1 D ? D ∴ AC ? 平面 BB1 D1 D , ∴ AC ? D1 E ??????3 分 ??????4 分 ??????2 分

而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 Dxyz ,则

??? ? ???? ? ???? A(1, 0, 0), D1 (0, 0, 2), E (1,1,1), B(1,1, 0) , AE ? (0,1,1), AD1 ? (?1, 0, 2), DE ? (1,1,1)
设平面 AD1 E 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?

? ???? ? ?n?AD1 ? 0 ? ? ? ? ??? ?n?AE ? 0 ?

?? x ? 2 z ? 0 ? ?y ? z ? 0

令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1)
第 7 页 共 12 页

?

??????7 分

? ???? ? ???? n?DE 2 ?1 ?1 2 cos ? n, DE ?? ? ???? ? ? 3 3? 6 n ?DE
所以 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值为

??????9 分

2 3

??????10 分

(Ⅲ)假设在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E . 设 P 的坐标为 (t ,0,0) (0 ? t 所以

??? ? ? 1) ,则 BP ? (t ? 1, ?1,0) 因为 BP ∥平面 AD1 E
??????13 分

??? ? ? ??? ? ? 1 BP ? n , 即 BP?n ? 0 , 2(t ? 1) ? 1 ? 0 ,解得 t ? , 2

所以 在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ,此时 DP 的长

1 .??14 分 2

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)在 A 处投篮命中记作 A ,不中记作 A ;在 B 处投篮命中记作 B ,不中记作 B ; ① 甲同学测试结束后所得总分为 4 可记作事件 ABB ,则

P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
② ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

??????2 分

P(? ? 0) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.02
P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P( A) P(B) P( B ) ? P( A) P( B ) P(B)
? 0.5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.5? (1? 0.8)? 0.8 ? 0.16

P(? ? 3) ? P(A) ? 0.5
P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
第 8 页 共 12 页

??????6 分

? 的分布列为:

?
P

0 0.02

2 0.16

3 0.5

4 0.32 ??????7 分

E? ? 0 ? 0.02 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.5 ? 4 ? 0.32 ? 3.1 ,

??????9 分

(Ⅱ)甲同学选择方案 1 通过测试的概率为 P ,选择方案 2 通过测试的概率为 P2 , 1

P ? P(? ? 3) ? 0.5 ? 0.32 ? 0.82 1

P2 ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) = 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.896
因为 P2 ? P 1 所以 甲同学应选择方案 2 通过测试的概率更大 18. (本小题满分 13 分) ??????13 分

?a ( x 2 ? 1) ? 2 x(b ? ax) (Ⅰ) f '( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? ax 2 ? 2bx ? a ( x 2 ? 1) 2
a ? 2b ? a ?0 (12 ? 1) 2

( x ? R)

??????1 分

依题意有, f '(1) ??

f (1) ?

b?a ?2 12 ? 1

??????3 分 ??????5 分

解得 b ? 0 , a ? ?4 经检验, a ? ?4, b ? 0 符合题意, 所以, a ? ?4, b ? 0

ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? a (ax ? 1)( x ? a) ? (Ⅱ) 当 2b ? a ? 1 时, f '( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2
2

当 a ? 0 时, f '( x) ?

x ( x ? 1) 2
2

解 f '( x ) ? 0 , 得 x ? 0

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 所以减区间为 (??, 0) ,增区间为 (0, ??) . 当 a ? 0 时,解 f '( x) ? 0 , 得 x1 ? ? ??????7 分

1 , x2 ? a , a

??????9 分

第 9 页 共 12 页

当 a ? 0 时, ?

1 ?a a 1 a 1 , a ) 时, f '( x) ? 0 a
??????11 分

当 x ? (??, ? ) 或 x ? (a, ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ( ?

所以增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (?

1 a

1 , a) . a

当 a ? 0 时, ?

1 ?a a 1 1 , ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (a, ? ) 时, f '( x) ? 0 a a 1 , ??) . a
??????13 分

当 x ? (??, a ) 或 x ? (?

所以增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (?

1 a

综上所述:当 a ? 0 时, f ( x) 减区间为 (??, 0) ,增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 增区间为 (??, ? ) , (a, ??) ,减区间为 (?

1 a

1 , a) ; a

当 a ? 0 时, 增区间为 (a, ? ) ,减区间为 (??, a ) , (? 19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)当 n ? 1 时,

1 a

1 , ??) . a

a1 ? S1 ? 6

?????? 1 分
2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( n ? 而当 n ? 1 时, n ? 5 ? 6

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 .?? 2 分 2 2 2
??????4 分

∴ an ? n ? 5 .
(Ⅱ) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2an ? 9) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

1 1 1 1 1 1 n [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ?( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
??????7 分

∵ Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

第 10 页 共 12 页

∴ Tn 单调递增,故 (Tn ) min ? T1 ?


1 . 3

??????8 分

1 k ? ,得 k ? 671 ,所以 kmax ? 670 . 3 2013

?????? 10 分

?an , ? (n ? 2k ? 1 , k ? N? ) ?n ? 5, (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? (Ⅲ) f (n) ? ? =? ? * ?3n ? 2, ( n ? 2k , k ? N ) ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ) ? ?
(1)当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数,

∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 .
??????1 2 分

(2)当 m 为偶数时,m ? 15 为奇数, ∴ m ? 20 ? 15m ? 10 ,m ? 综上,存在唯一正整数 m ? 11 ,使得 f ( m ? 15) ? 5 f (m ) 成立. ????????1 4 分 20. (本小题满分 13 分)
2 (Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1 ,解 2 x ? 2 x ? 1 ? x

5 ? N?(舍去) . 7

2

?2 分

得 x ? ?1, x ?

1 2 1 2
??3 分

所以函数 f ( x) 的不动点为 x ? ?1, x ?

(Ⅱ)因为 对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点, 所以 对于任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 恒有两个不相等的实数根, 即方程 ax ? (b ? 1) x ? b ? 2 ? x 恒有两个不相等的实数根,
2

???4 分 ???5 分

所以

? x ? b 2 ? 4a (b ? 2) ? 0

即 对于任意实数 b , b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 所以 解得

? b ? (?4a) 2 ? 4 ? 8a ? 0
0?a?2

????????7 分 ???????8 分

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的两个不同的不动点为 x1 , x2 ,则 A( x1 , x1 ), B ( x2,x2 )

第 11 页 共 12 页

且 x1 , x2 是 ax ? bx ? b ? 2 ? 0 的两个不等实根, 所以 x1 ? x2 ? ?
2

b a

直线 AB 的斜率为 1,线段 AB 中点坐标为 (?

b b ,? ) 2a 2a

因为 直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线, a ?1
2

所以 k ? ?1 ,且 (?

b b 1 , ? ) 在直线 y ? kx ? 2 上 2a 2a a ?1



?

b b 1 ? ? 2 2a 2a a ? 1

a ? (0, 2)

????????10 分

所以 b ? ?

a 1 1 1 ?? ?? ?? 1 a ?1 2 1 a? 2 a? a a
2

当且仅当 a ? 1 ? (0, 2) 时等号成立

???????12 分 又 b?0 所以 实数 b 的取值范围 [?

1 , 0) . 2

????13 分

第 12 页 共 12 页


更多相关文档:

北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题(解...

北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效。考试结束后...

房山区2013届第一学期期末高三数学(理科含答案)

房山区2013届第一学期期末高三数学(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。房山区高三年级第一学期期末练习 数学 (理科)2013.1 本试卷共 5 页,150 分。考试时间...

2013年房山区期末高三数学(理科)参考答案

2013年房山区期末高三数学(理科)参考答案_数学_高中教育_教育专区。房山区高三年级第一学期期末练习 数学 (理科)2013.1 选择题: 1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D ...

北京市房山区2012-2013学年度高三数学第一学期期末练习...

北京市房山区2012-2013学年度高三数学第一学期期末练习(理科)_数学_高中教育_...学 (理科)2013.1 本试卷共 5 页,150 分。考试时间 120 分钟。考生务必将...

2013年1月房山区期末高三数学(理科含答案)

2013年1月房山区期末高三数学(理科含答案)_数学_高中教育_教育专区。房山区高三...考试时间 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡,在试卷上作答无 7. 已知...

北京2013届房山高三数学一模理科试题及答案

房山区 2013 年高考第一次模拟试卷 数学 (理科)2013.04 本试卷共 4 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡,在试卷上作答无效。考试...

2013房山区高三二模理科数学试卷及答案

2013年北京房山区高三二模... 11页 免费喜欢此文档的还喜欢 北京市西城区2013届高三4月... 15页 5财富值 高一数学(上)期末考试试卷... 17页 5财富值 2013...

北京市房山区2013届高三第一次模拟考试 数学(理)试题

北京市房山区 2012 年高三第一次模拟试题 高三数学(理科) 考生须知 1. 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间为 120 分...

北京市房山区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)

北京市房山区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。房山区 2013 年高考第一次模拟试卷 数无效。考试结束后,将答题卡交回。 ...

【2013房山一模】北京市房山区2013届高三第一次模拟考...

2013房山一模】北京市房山区2013届高三第一次模拟考试_理科数学_Word版含答案 隐藏>> 龙文郭老师整理 房山区 2013 年高考第一次模拟试卷 数学 (理科)2013.04...
更多相关标签:
北京市房山区 | 北京市房山区良乡医院 | 北京市房山区中医医院 | 北京市房山区第一医院 | 北京市房山区人民法院 | 北京市房山区地图 | 北京市房山区长阳镇 | 北京市房山区教委 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com