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古典概型


3.2
一、知识方法 1+1 1.基本事件

古典概型

在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件,基本事件有如下特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件都可以表示成基本事件的和. 如抛掷一枚骰子获取点数的试验中,基本事件共有 6 个,分别是出现 1 点,2 点,??,6 点. 2.古典概型 如果一个概率模

型具有以下两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性) ; (2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性). 则称这个概率模型为古典概率模型,简称古典概型.如扔硬币试验、摸球试验等. 3.古典概型的概率 对于古典概型,任何事件 A 的概率为

P( A) ?

A包含的基本事件个数 . 基本事件的总数

4.古典概型解题步骤: ⑴阅读题目,搜集信息; ⑵用字母表示事件; ⑶求出基本事件总数和事件

A 所包含的结果数;

⑷利用古典概型的概率公式求出概率并下结论. 5.产生随机数的方法有哪些?有何优点和缺点? 在随机模拟中,往往需要大量的随机数. (1)由试验产生随机数: 比如产生 1~25 之间的随机整数, 可以将 10 个完全相同的小球分别标上 1, ?, 2, 25,放入袋中,充分搅拌后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数. 优点:产生的数是真正的随机数,一般当需要的随机数 缺点:当需要的随机数的量很大时,速度太慢 (2)用计算器(计算机)产生随机数:由计算器(计算机)根据确定的算法产生随机数 优点:速度较快,适用于产生大量的随机数 缺点:并不是真正的随机数,称为伪随机数 二、经典例题 1+1 [例 1]:一个口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2只黑球,从中一次摸出两个球, (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的两个都是白球的概率是多少? [解析]:(1)分别记白球为 1, 2,3 号,黑球 4,5 号,从中摸出 2 只球,有如下基本事件(摸到 1,2 号 球用 (1, 2) 表示) : 不是很多时采用

(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(2,3) (2, 4),(2,5),(3, 4),(3,5),(4,5)
因此,共有 10 个基本事件.

(2) 上述 10 个基本事件法上的可能性是相同的, 且只有 3 个基本事件是摸到两个白球 (记为事件 即 (1, 2),(1,3),(2,3,) ,故所求的概率为

, A)

3 . 10 3 ; 10

∴共有 10 个基本事件,摸到两个白球的概率为

[感悟]:可用枚举法找出所有的等可能基本事件.体现了古典概型中的基本事件只有有限个的特点; 练一练 1.豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为 D ,决定矮的基因记为

d ,则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd ,若第二子代的 D, d 基因的遗传是等可能的,求第二子代为
高茎的概率(只要有基因 D 则其就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显现矮茎) . [例 2] 在两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,今从每个袋中各任取一 张卡片,则两数之和等于 5 的概率为( A. ) C.

1 3

B.

1 6

1 9

D.

1 12 1 6
.

[解析]:基本事件数为 36,两数之和等于 4 的事件含有基本事件数为 6.所以,所求的概率为

答案:B
[感悟]:问题属古典概型. 可直接求出概率. 练一练 2.假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生早上到校先后的可能 性相同,则“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率为____________. [例 3] 将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两数的和是 3 的倍数的结果有多少种? (3)两数和是 3 的倍数的概率是多少? [解析]: (1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有 1, 2,3, 4,5,6 这 6 中结果. 先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有 6 种结果,第 2 次又都有 6 种可能的结果,于是一共有

6 ? 6 ? 36 种不同的结果;
(2)第 1 次抛掷,向上的点数为 1, 2,3, 4,5,6 这 6 个数中的某一个,第 2 次抛掷时都可以有两种结果, 使向上的点数和为 3 的倍数(例如:第一次向上的点数为 4,则当第 2 次向上的点数为 2 或 5 时,两次的 点数的和都为 3 的倍数) ,于是共有 6 ? 2 ? 12 种不同的结果. (3)记“向上点数和为 3 的倍数”为事件 是等可能出现的,所以所求的概率为

A ,则事件 A 的结果有 12 种,因为抛两次得到的 36 中结果

1 . 3

答:先后抛掷 2 次,共有 36 种不同的结果;点数的和是 3 的倍数的结果有 12 种;点数和是 3 的倍数 的概率为

1 ; 3

说明:也可以利用图表来数基本事件的个数:

[感悟]:用图表法,数形结合,直观,快捷,准确. 练一练 3. 用不同的颜色给 3 个矩形随机的涂色,每个矩形只涂一种颜色,求 (1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率. [例 4] 分别利用计算器和计算机产生 40 个 100~100 之间的取整数值的随机数. [解析]: (1)利用计算器. 具体操作如下:键入

PRB

RAND RANDI
STAT DEC

ENTER

RANDI ( 100 , 1000) STAT DEG RAND (100,1000) 3.
STAT DEC

ENTER

反复按

ENTER

键操作 40 次即可得之.

(2)利用计算机. 以 Excel 软件为例,具体操作如下: 1.选定 A1 格,键入“=RANDBETWEEN(1,100),按 Enter 键,则在此格中的数是随机产生的 1~100 ” 间的整数. 2.选定 A1 格,按 Ctrl+C 快捷键,然后选定要随机产生的格 A2 至 A40,按 Ctrl+V 快捷键,则在 A2 至 A40 的数均为随机产生的整数,这样我们便得到了 40 个 1~100 之间的取整数值的随机数. [感悟]:当需要的随机数个数不太多时,可以直接做试验,如果需要的随机数个数较多时,一般选择随 机模拟方法(也叫蒙特卡罗方法) ,即利用计算器或者计算机进行随机模拟试验, 这样可大大节省时间. 练一练 4.利用计算器产生 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数. 例 5 某种心脏手术,成功率为 0.6,现准备进行 3 例此种手术,试求: (1)恰好成功 1 例的概率; (2)恰好成功 2 例的概率. [解析] 手术的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型求概率的 公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟手术的成功概率是 0.6.

利用计算器或计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,我们用 0,1,2,3 代表不成功,用 4,5,6, 7,8,9 代表手术成功,这样可以体现成功的概率为 0.6.因为做 3 例手术,所以每 3 个随机数作为一组. 例如产生 907,966,191,925,271,932,812,458,569,683 431,?,730,113,537,989 共 100 组随机数. (1)数出 0,1,2,3 中出现 2 个的数组个数为 N1=28,则恰好成功 1 例的概率近似为

N1 =28%. 100 N2 =43%.. 100

(2)数出 0,1,2,3 中出现 1 个数的数组个数为 N2=43,则恰好成功 2 例的概率近似为

[感悟] 结果不等可能的事件不能用古典概型概率公式求解,一般用随机模拟方法解决.值得注意的是, 随机摸拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值,每次试验得到的结果可能不同,即答案不唯一, 但非常接近. 练一练 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次投篮中, 恰有两次投中的概率是多少? 三、探究创新1+1 [例 1]设甲袋装有 m 个白球, 个黑球, n 乙袋装有 m 个黑球, 个白球, n 从甲、 乙袋中各摸一球.设事件 A: “两球相同”,事件 B:“两球异色”,试比较 P(A) 与 P(B)的大小. 解析:基本事件总数为(m+n) ,“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”,则“两球同色”的 概率为 P(A)=
2

mn mn 2mn ? ? 2 2 ( m ? n) ( m ? n) ( m ? n) 2

, “两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”,

则“两球异色” 的概率为 P(B)=

m2 n2 m2 ? n2 ? ? ( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ( m ? n) 2

.

∵P(B)-P(A)=

( m ? n) 2 ( m ? n) 2

≥0,

∴P(A)≤P(B),当且仅当“m=n”时取等号.
[感悟]: 本题考查了对随机事件的概率事件的分析与实际应用, 以及对概率与不等式思想相交汇的综合 考查.有利于认识可能发生的基本事件以及它们的内在联系与区别. 练一练 1 有一个公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一时刻有 n 个人正在使用电话 或等待使用的概率为 P(n),且 P(n)与时刻 t 无关,统计得到

? 1 n ?( ) ? P(0)(1 ? n ? 3), 那么在某一时刻,这个公用电话亭里一个人也没有的概率是 P ( n) ? ? 2 ?0 (n ? 4), ?
___________.

四、误区警示 1+1 [题 1]掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率. [解]掷两枚骰子出现的点数之和 2,3,4,?,12 共 11 种基本事件,所以概率为 P= [这样做对吗?]当然不对,错在未找准基本事件. [为什么错了?]以上 11 种基本事件出现的可能性不相等,如点数和 2 只有(1,1),而点数之和为 6 有 (1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共 5 种.

1 . 11

事实上,掷两枚骰子共有 36 种基本事件,且是等可能的,所以“所得点数之和为 6”的概率为 P=

5 . 36

[感悟]: 上例错误的原因忽略了古典概型的特点:在随机试验中,每个试验结果出现的可能性相等,即基 本事件发生是等可能的(等可能性). 练一练 1.将骰子先后抛掷 2 次,计算:出现“向上的数之和为 5 的倍数”其概率是多少? 五、同步测试 1+1 (一)基础训练(满分:100 分 时间:90 分钟) 一.选择题 (每小题 3 分,共 30 分) 1.从 1,2,?,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是( ) A.

5 9

B.

4 9

C.

11 21


D.

10 21
朝上的

2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6) ,骰子 面的点数分别为 X、Y,则 log 2 X

1 A. 6

5 B. 36

1 C. 12

Y ? 1 的概率为( 1 D. 2

3.下列说法中正确的是(

)

A.事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大 B.事件 A、B 同时发生的概率一定比事件 A、B 恰有一个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 4.甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有 12 个不同的题目,其中选择题 8 个,判断题 4 个.甲、乙二人各依 次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是 A.

6 25

B.

21 25

C.

8 33

D.

25 33

5.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A.

1 7


B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

6.从数字 1、2、3、4、5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于 9 的概率为( A.

13 125

B.

16 125

C.

18 125

D.

19 125

7.在第 1、3、4、5、8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车) ,有一位乘客等 候第 4 路或第 8 路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽 车的概率等于( A. ) B.

1 2

2 3

C.

3 5

D.

2 5

8.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么 A. 甲是乙的充分但不必要条件 C. 甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 D. 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 )

9.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个点,则这四个点不共面的概率为 ( A.

5 7

B.

7 10

C.

24 35

D.

47 70

10.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概 率为( )

38 35 A. 19 B. C. 54 54 54 二.填空题(每小题 3 分,共 18 分)

D. 41

60
.

11.将扑克牌(52 张)反扣在桌上,先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率为 起,从中随机地取出一个小正方体,其两面漆有油漆的概率是 ________. .

12.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 27 个同样大小的小正方体,将这些小正方体均匀地搅混在一 13.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 40%,甲不输的概率为 90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为 14.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文 5 篇和非试点学校的论文 3 篇.若任意排列交流 次序,则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________.(结果用分数表示) 15.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,则两次 摸出的球恰好颜色不同的概率为 三角形的概率是 . . 16.有五条线段,长度分别为 1,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所得的三条线段不能拼成 三.解答题(本大题共 52 分) 17.(8 分)猪八戒说: “我与孙悟空、沙和尚三人中恰有两人是同一天生的” ,一年按 365 天计算,求 这一事件的概率
王新敞
奎屯 新疆

18. 随机模拟法(蒙特卡罗法)的具体步骤是什么? 19.(8 分) (07·湖北八校联考)箱中装有 15 张大小、重量一样的卡片,每张卡片正面分别标有 1 到 15 中的一个号码,正面号码为 n 的卡片反面标的数字是 n
2

(卡片正反面用颜色区分) ? 12n ? 40 .

(1)如果任意取出一张卡片,试求正面数字大于反面数字的概率; (2)如果同时取出两张卡片,试求他们反面数字相同的概率. 20.(8 分) (06·盐城二模)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示: 血型 该血型的人所占/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的个人,任何人的血都可以输给 AB 型的人, 其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若小明需要输血,问:任找一个人,其血可以输给小明的 概率是多少? 21.(8 分) 一个口袋内有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球,从中摸出 2 个球, (1)共有多少种不同的结果? (2)摸出 2 个黑球多少种不同的结果? (3)摸出 2 个黑球的概率是多少? 22.(10 分) 甲盒中有红,黑,白三种颜色的球各 3 个,乙盒子中有黄,黑,白,三种颜色的球各 2 个,从两个盒子中各取 1 个球, (1)求取出的两个球是不同颜色的概率. (2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步 骤). (二)能力激活(满分:60 分 一.选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1.从存放号码分别为 1,2,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张卡片并记下号码,统计 结果如下: 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 时间:70 分钟)

取到的次数 3

1

8

5

7

6 3

1 8

1 0

1 1

1

9

则取到的号码为奇数的频率是( ) A. 0.53 B. 0.5 C. 0.47 D. 0.37 2.从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于 4.8 g 的概率是 0.3,质量不小于 4.85 g 的概率是 0.32, 那么质量在[4.8,4.85)g 范围内的概率是 A.0.62 个黑球的概率等于 A. B.0.38 C.0.7 D.0.68 3.在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出 3 个球,至少摸到 2

2 7

B.

3 8

C.

3 7

D.

9 28

4.从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中,任取 2 张,这 2 张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率 为 A.

1 5

B.

2 5
) C.

C.

3 10

D.

7 10

5.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1、2、3、4、5、6 的正方体玩具)先后抛掷 3 次,至少出现一次 4 点向上的概率是( A.

5 216

B.

25 216

31 216
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D.

91 216

二.填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.在两个袋中各装有分别写着 0,1,2,3,4,5 的 6 张卡片 今从每个袋中任取一张卡片,则取出的
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两张卡片上数字之和恰为 7 的概率为________

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7. (07·北京四中)已知A箱内有1个红球和5个白球,B箱内有3个白球,现随意从A箱中取出3个球放入B 箱,充分搅匀后再从中随意取出3个球放入A箱,共有___种不同的取法,又红球由A箱移入到B箱,再返回到 A箱的概率等于_____ 8.在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者,那 么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示). 三.解答题(本大题共 33 分) 9.(8 分)储蓄卡上的密码是一种四位数字号码,每位上的数字可以在 0 至 9 这 10 个数字中选出, (1)使用储蓄卡时,如果随意按下一个四位数字号码,正好按对着张储蓄卡的密码的概率是多少? (2)某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字,他在使用这张储蓄卡时,如果前三位号码仍按本卡密 码,而随意按下最后一位数字,正好按对密码的概率是多少? 10.(8 分)同时抛掷两枚骰子,求至少有一个 5 点或 6 点的概率. 11.(8 分)某人玩射击游戏,每次击中目标的概率都是 0.8,他射击 4 次,求至少击中 3 次的概率. 12.(9 分) 甲、乙两个均匀的正方体玩具,各个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6 六个数字,将这两 个玩具同时掷一次. (1)若甲上的数字为十位数,乙上的数字为个位数,问可以组成多少个不同的数,其中个位数字与 十位数字均相同的数字的概率是多少? (2) 两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为 12 的有多少种情况?数字之和为 6 的 共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.

答案提示和解析 二.经典例题 1+1

练一练 1.解析: Dd 与 Dd 的搭配方式共有4中: DD, Dd , dD, dd ,其中只有第四种表现为矮 茎,故第二子代为高茎的概率为

3 ? 0.75 4 答:第二子代为高茎的概率为 0.75 .
练一练 2.解析:将 3 人排序共包含 6 个基本事件,由古典概型得 P= 答案:

1 6

.

1 6

练一练 3.解析:本题中基本事件比较多,为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画图枚举如下: (树形图)

基本事件共有 27 个; ,由上图可以知道事件 A 包含的基本事件有 1? 3 ? 3 个, A =“3 个矩形涂同一种颜色” 3 1 故“3 个矩形涂同一种颜色”的概率为 ? 27 9 (2)记事件 B =“3 个矩形颜色都不同” ,由上图可以知道事件 B 包含的基本事件有 2 ? 3 ? 6 个,故 6 2 “3 个矩形颜色都不同” 的概率为 ? 27 9 1 2 答:3 个矩形颜色都相同的概率为 ;3 个矩形颜色都不同的概率为 . 9 9 (1)记事件 练一练 4.解析:具体操作如下 键入

PRB

PAND RANDI STAT DEG PANDI(1,20) STAT DEG
PANDI(1,20)
3.

ENTER

ENTER

STAT DEG

反 复 按

ENTER

键 10 次即可得到.

练一练 5. 其投篮的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的 概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为 40%.我们通过设计模拟试验 的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的取整数值的随机数. 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投中的概率是 40%.因为 是投篮三次,所以每三个随机数作为一组. 例如:产生 20 组随机数: 812,932,569,683,271,989,730,537,925,657, 907,113,966,191,431,257,393,027,556,889. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两次投中,它 们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为

5 =25%. 20
三、探究创新 1+1
练一练 1.

8 .解析:公用电话亭里一个人也没有的概率 15

P(0)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-? =1-

1 1 1 8 P(0)- P(0)- P(0)-0-0-?,解得 P(0)= . 2 4 8 15

四.误区警示 1+1 练一练 1.解析:由于骰子是均匀的,将它抛掷 2 次的所有 36 种结果是等可能出现的,其中向上的数 之和是 5 的倍数结果(记为事件 因此,所求概率 五.同步测试 1+1 (一) 基础训练 一.选择题 1.C 解析:基本事件总数为

A )有 4+3=7 种,

7 36

王新敞
奎屯

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9?8? 7 ? 84 种,设抽取 3 个数,和为偶数为事件 A,则 A 事件数包括两 3 ? 2 ?1

类:抽取 3 个数全为偶数,或抽取 3 数中 2 个奇数 1 个偶数,前者 4 种,后者 10×4 种. ∴A 中基本事件数为 4+40=44 种. ∴符合要求的概率为

40 11 = . 84 21

2. C 解析:满足 log 2 X 所以所求概率

Y ? 1 的 X、Y 有(1, 2),(2, 4),(3, 6)这 3 种情况,而总的可能数有 36 种,

3 1 ? ,故选 C. 36 12

3.D 解析:互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,应选 D. 4.C 解析:甲、乙二人依次抽一题有 12 ?11 种方法, 而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有 4 ? 8 种. 所求概率

4?8 8 . ? 12 ?11 33
24 ,故 C. 56

5.C 解析: 解:在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 56 个三角形,要得直角非等腰三角形,则每 .. 个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有 24 个,得

6.D 解析:从数字 1、2、3、4、5 中,允许重复地随机抽取 3 个数字,这三个数字和为 9 的情况为 5、 2、2;5、3、1;4、3、2;4、4、1;3、3、3.

∴概率为

3 ? 6 ? 6 ? 3 ? 1 19 = . 125 53
2 . 5

7.D;解析:根据题意,基本事件分别是第 1、3、4、5、8 路公共汽车到站,显然共有 5 个,而“乘 客所需乘的汽车”包括 4 路和 8 路两个,故概率 P=

A E B F G C H D

8.B 解析:解:两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不成立.故选 B 9.D 解析: 从 10 个不同的点中任取 4 个点的不同取法共有 210 种, 它可分为两类:4 点共面与不共面. 如图 1,4 点共面的情形有三种: ①取出的 4 点在四面体的一个面内(如图中的 AHGC 在 面 ACD 内) ,这样的取法有 60 种; 种(因为对棱共 3 组,即 AC 与 BD、BC 与 AD、AB 与 CD) ; ③取出的 4 点是一条棱上的三点及对棱中点(如图中的 AEBG) ,这样的取法共 6 种. 综上所述,取出 4 个不共面的点的不同取法的种数为 210 ? 故所求的概率为

②取出的 4 面所在的平面与四面体的一组对棱平行(如图中的 EFGH 与 AC、BD 平行) ,这种取法有 3

? 60 ? 3 ? 6 ? ? 141种.

141 47 ,答案选 D. ? 210 70 10.B 解析: 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字能组成的所有三位数有 9 ? 9 ? 8 ? 648 个. 事件“不能被 3 整除”的对立事件为“能被 3 整除”.将 0 到 9 这 10 个数字分为以下三组.A 组: 0, 3,6,9
(被 3 整除) ; B 组: 1, 4, 7 (被 3 整除余 1) ; C 组: 2, 5, 8 (被 3 整除余 2) 能被三整除的数可分为四类: 第一类在 A 组中取三个数组成三位数有 18 个; 第二类在 B 中取三个数组成三位数均有

A33 =6 个;

第三类在 C 中取三个数组成三位数均有 6 个;

第四类分别在 ABC 中各取一个数组成三位数有 36 个(含 0)+ 162 个(不含 0)=198 个 , ∴这个数不能被 3 整除的概率 二.填空题

p ? 1?

18 ? 6 ? 6 ? 198 35 , ? 648 54

故应选 B.

1 解析: 解: “抽到红心” 把 记为事件 B , 那么事件 B 相当于 “抽到红心1” , “抽到红心2” ?, , 4 “抽到红心 K ”这 13 中情况,而同样抽到其他牌的共有 39 种情况;由于是任意抽取的,可以认为这 52
11. 中情况的可能性是相等的. 所以,当出现红心是“抽到红心1”“抽到红心2” , ,?, “抽到红心 K ”这 13 中情形之一时,事 件 B 就发生,于是所求概率为

13 1 ? ; 52 4

12.

4 9

解析:两面漆有油漆的小正方体共有 27 ? 6 ? 1 ? 8 ? 12 个,

所以,所求概率为

12 4 ? . 27 9

13. 50%解析:P=90%-40%=50%.

14.

5 解析:总的排法有 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 种. 14

最先和最后排试点学校的排法有 5 ? 4 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1种. 概率为 答案:

5 ? 4 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 5 = . 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 14
5 14
摸两次球, 可得摸得球的所有方法为 5 种方法, 两次摸出的球颜
2

15.

12 解析:此为有放回的摸球, 25

色不同的可能情况共有 2 ? 2 ? 3 , 其概率为 P 16.

?

2 ? 2 ? 3 12 ? . 52 25

7 .解析:能拼成三角形的三条线段仅有 3,5,7;5,7,9;3,7,9 这三种可能,故所求概率 10

为 1-

3 7 = 10 10
3

三.解答题 17.解析:三人的生日都有 365 种情况,∴共有 365 种不同结果, 三人中恰有两人同一天生,共有 3 ? 365 ? 364 种不同结果, ∴记事件 ,于是所求概率为 A ? “三人中恰有两人同一天生”

3 ? 365 ? 364 . 3653

18.解析: 用计算机或计算器模拟试验的方法,具体步骤如下: (1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义; (2)统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N; (3)计算频率 f n ( A) ?

M 作为所求概率的近似值. N
2

19.解析: (1)由不等式 n ? n 由题意知 n

? 12n ? 40 ,得 5 ? n ? 8 .

? 6, 7 ,即共有 2 张卡片正面数字大于反面数字,故所求的概率为

2 . 15

答:所求的概率为

(2)同时取出两张卡片的基本事件为 105,设取出的是第 m 号卡片和 n 号卡片( m ? n ) ,则有

2 . 15

m2 ? 12m ? 40 ? n2 ? 12n ? 40 .
即 12(n ? m) ? n
2

? m2 ,由 m ? n 得 m ? n ? 12 .

故符合条件的取法为 1,11;2,10;3,9;4,8;5,7.

5 1 ? . 105 21 1 答:故所求的概率为 . 21
故所求的概率为 20.解析:对于任一个人,其血型为 A,B,AB,O 型的事件分别记为

A / , B / , C / , D / ,它们是互斥的,

由已知,有 P( A

/

) ? 0.28 , P( B / ) ? 0.29 P(C / ) ? 0.08 P( D / ) ? 0.35
/

因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件 B 根据互斥事件的加法公式,有 P( B
/

? D/

? D / ) = 0.29 ? 0.35 ? 0.64 .

所以任何一人,其血可以输给小明的概率 0.64 21.解析: (1)从袋中摸出 2 个球,共有 6 种不同结果; (2)从 3 个黑球中摸出 2 个球,共有 3 种不同结果; (3)由于口袋内 4 个球的大小相等,从中摸出 2 个球的 6 种结果是等可 能的,又因为在这 6 种结果中,摸出 2 个黑球的结果有 3 种, 所以,从中摸出 2 个黑球的概率

3 1 ? . 6 2

22.解析: (1)设 A=“取出的两球是相同颜色” ,B=“取出的两球是不同颜色”. 则事件 A 的概率为:

3 ? 2+3 ? 2 2 = . 9?6 9 2 7 = 9 9

由于事件 A 与事件 B 是对立事件,所以事件 B 的概率为: P(B)=1-P(A)=1- (2)随机模拟的步骤: 第 1 步:利用抓阄法或计算机(计算器)产生 1~3 和 2~4 两组取整数值的随机数,每组各有 N 个随 机数.用“1”表示取到红球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黄球. 第 2 步:统计两组对应的 N 对随机数中,每对中的两个数字不同的对数 n. 第 3 步:计算 (二) 能力激活 一.选择题 1.A 解析:号码为奇数的频率

n n 的值.则 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. N N

13 ? 5 ? 6 ? 18 ? 11 =0.53 100
g,则

.故应选 A.

2.B 解析:设一个羽毛球的质量为ξ

P(ξ <4.8)+P(4.8≤ξ <4.85)+P(ξ ≥4.85)=1.
∴P(4.8≤ξ <4.85)=1-0.3-0.32=0.38. 答案:B 3.A 解析:在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从中摸出 3 个球,至少 摸到 2 个黑球有两种情况:2 个黑球一个白球 3 ? 5 ? 15 或 3 个黑球 1 种,至少摸到 2 个黑球的概率等于

P?

15 ? 1 2 = ,选 A. 56 7 4 2 = . 10 5
5 ? 5 ? 5 125 = ,由 6 ? 6 ? 6 216

4.B 解析: 基本事件数为 10,可能发生的基本事件数为 4,P=

5.D 解析:质地均匀的骰子先后抛掷 3 次,共有 6×6×6 种结果.3 次均不出现 4 点向上的掷法有 5×5 ×5 种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现 4 点向上的概率为 对立事件概率公式,知 3 次至少出现一次 4 点向上的概率是 1-

125 91 = . 216 216

二.填空题 6.

1 解析:基本事件数为 6×6=36 种,可能发生的基本事件数为(2,5)(5,2)(3,4)(4,3) , , , 9

4 种,故 P 7.

?

4 1 ? 36 9

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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0.25 解析:从 A 箱中取出 3 个球有 20 种取法,再从 B 箱中取出 3 个球有 20 种取法, 故共有 20 ? 20 ? 400 种不同的取法. 10 1 红球由 A 箱中取出的概率为 ? , 20 2 10 1 再从 B 箱中取回红球的概率为 ? . 20 2 10 ?10 则红球由 A 箱移入到 B 箱,再返回到 A 箱的概率等于 p ? ? 0.25 . 20 ? 20 14 8. 解析:在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传 33 12 ?11 8? 7 志愿者的基本事件为 ? 66 种,那么选到的两名都是女同学的基本事件为 ? 28 种概率是 2 2 28 14 . P? ? 66 33
三.解答题 9.解析: (1)由分步计数原理,这种四位数字号码共 10 个,又由于随意按下一个四位数字号码,按 下其中哪一个号码的可能性都相等, ∴正好按对密码的概率是 P 1
4

?

1 104



(2)按最后一位数字,有 10 种按法,且按下每个数字的可能性相等,

∴正好按对密码的概率是 P2 ?

1 . 10
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

10. 解析:同时投掷两枚骰子,可能结果如下表: 1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

共有 36 个不同的结果,其中至少有一个 5 点或 6 点的结果有 20 个,所以至少有一个 5 点或 6 点的概 率为 P=

20 5 = . 36 9

11.解析: 利用计算器或计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 我们用 0, 代表没击中目标, 2, 1 用 3,4,5,6,7,8,9 代表击中目标,这样可以体现击中目标的概率是 0.8.因为射击 4 次,所以每 4 个随机 数作为一组.例如产生 5727,0293,7144,9857,?,2646,7848,6372,1748 共 100 组这样的随机数, 数出没有 0,1 和只有一个 0 或 1 的数组数 N,则至少击中 3 次的概率为

N .(参考答案:0.82) 100

12.解析: (1)甲有 6 种不同的结果,乙也有 6 种不同的结果,故基本事件总数为 6× 6=36 个.其中十位数字共有 6 种不同的结果,若十位数字与个位数字相同,十位数字确定后,个位数 字也即确定.故共有 6× 1=6 种不同的结果,即概率为

6 1 ? . 36 6
数字和

(2)两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表. 甲 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6

5 6 7

6 7 8

7 8 9

4 5 6 乙

5 6 7 1

6 7 8 2

7 8 9 3

8 9 10 4

9 10 11 5

10 11 12 6

其中共有 36 种不同情况,但数字之和却只有 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 共 11 种不同结果. 从中可以看出,出现 12 的也只有一种情况,它们的概率均为

1 ,因为只有甲、乙均为 1 或均为 6 时才有 36

此结果.出现数字之和为 6 的共有(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)五种情况,所以其概率为 , , , ,

5 . 36


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