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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案:第4章 拓展资料:复数的概念常见题型思维诊断


复数的概念常见题型思维诊断
复数的概念中的有关问题在解答时极易出错,下面结合常见题型的解析与思 维诊断加以讲解,以期同学们在学习时注意。 例 1、m 取何实数时,复数 z=
m2 ? m ? 6 ? m 2 ? 2m ? 15 i m?3

?

?

(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数? 思路分析:本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数。由于所给复 数 z 已写成标准形式,即 z=a+bi(a、b∈R),所以只需按题目要求,对实部和虚 部分别进行处理,就极易解决此题。 解答:

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ?m ? 5或m ? ?3 (1)当 ? 时,即 ? 时,即 m=5。 m ? ?3 m?3? 0 ? ?
∴m=5 时,z 是实数。

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ?m ? 5且m ? ?3 (2)当 ? 时,即 ? 。∴当 m ? 5且m ? ?3 时,z m ? ?3 m?3? 0 ? ?
是虚数。

? m2 ? m ? 6 ? 0 ?m ? 3或m ? ?2 ? ?m ? 3 ? 0 (3)当 ? 时,即 ?m ? ?3 。∴当 m ? 3或m ? ?2 时,z 2 ? ? m ? 5 且 m ? ? 3 ? ?m ? 2m ? 15 ? 0
是纯虚数。 思维诊断:研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时,首先要保 证这个复数的实部、虚部是有意义的,这是一个前提条件,学生易忽略这一点。 如本题易忽略分母不能为 0 的条件,丢掉 m ? 3 ? 0 ,导致解答出错。 例 2、已知 x 是实数,y 是纯虚数,且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,求 x 与 y。 思路分析:因为 y 是纯虚数,所以可设 y=bi(b∈R,b ≠0)代入等式,把等式 的左、右两边都整理成 a+bi 形式后,可利用复数相等的充要条件得到关于 x 与 b 的方程组,求解后得 x 与 b 值。 解答:

-1-

设 y=bi(b∈R 且 b ≠0)代入条件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i。

? ?2 x ? 1 ? ?b 3 ? b ? 43 由复数相等的条件得 ? 解得 ? 。∴ x ? ? ,y=4i。 x?? 2 ? 1? b?3 ? 2 ?
思维诊断:一般根据复数相等的充要条件,可由一个复数等式得到两个实数等 式组成的方程组,从而可确定两个独立参数,本题就是利用这一重要思想,化复 数问题为实数问题得以解决。在解此题时,学生易忽视 y 是纯虚数这一条件,而

? 2x ? 1 ? y 直接得出等式 ? 进行求解,这是审题不细所致。 ?1 ? ??3 ? y ?
例 3、已知关于 x 的方程 x 2 ? ?k ? 2i ?x ? 2 ? ki ? 0 有实根,求这个实根以及实 数 k 的值。 思路分析:方程的实根必然适合方程,设 x ? x0 为方程的实根,代入整理后得 a+bi=0 的形式(a、b∈R) 。由复数相等的充要条件,可得关于 x0 与 k 的方程组, 通过解方程组便可求得 x0 与 k。 解答: 设 x ? x0 是方程的实根,代入方程并整理得 x0 ? kx0 ? 2 ? ?2x0 ? k ?i ? 0 。由复
2

?

?

? x0 2 ? kx0 ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?x ? ? 2 数相等的条件得 ? ,解得: ? 0 或? 0 。 ?k ? ?2 2 ? k ? 2 2 ? 2 x0 ? k ? 0

∴方程的实根为 x ? 2或x ? ? 2 ,相应的 k 值为 k ? ?2 2或k ? 2 2 。 思维诊断: 学生易给出如下错解: ∵方程有实根, ∴△= ?k ? 2i ? ? 4?2 ? ki? ? 0 。
2

解得 k ? 2 3或k ? ?2 3 。这是由于错把实系数一元二次方程根的判别式运用到了 复系数一元二次方程中。事实上,在复数集内解复系数一元二次方程,判别式△ 不能够判断方程有无实根。因此,解关于方程有实根的问题,一般都是把实根代 入方程,用复数相等条件求解。

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