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1.3空间几何体的表面积与体积基础练习


高一数学下— 空间几何体的表面积与体积基础练习(答案) 高一数学下—1.3 空间几何体的表面积与体积基础练习(答案)
一、选择题: 1.过正三棱柱底面一边的截面是 A.三角形 B.三角形或梯形 C.不是梯形的四边形 D.梯形 2.若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 3.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 A. ( )

( D.六棱锥 ( D.3 (





1 2
2

B.1

C.2

4.将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了 A. 6a B.12a2 C.18a2 D.24a2



5.直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a,点 D 是 CC′上任意一点,连结 A′B,BD,A′D,AD,则三棱 锥 A—A′BD 的体积 A. ( C. 3 a 3
12



D. 1 a 3 12 6.两个球体积之和为 12π,且这两个球大圆周长之和为 6π,那么这两球半径之差是( B. 3 a 3
6

1 3 a 6 1 2



A.

B.1

C.2

D.3

7.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比( ) A.2:3:5 B.2:3:4 C.3:5:8 D.4:6:9 8.直径为 10cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为 2cm 的削球,如果不计损耗,可 铸成这样的小球的个数为 ( ) A.5 B.15 C.25 D.125 9.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为 A. ( )

π
2

B.

π
6

C.

π
4

D.

π
3


10.中心角为 135°的扇形,其面积为 B,其围成的圆锥的全面积为 A,则 A:B 为( A.11:8 B.3:8 C.8:3 D.13:8 二、填空题:

直平行六面体的侧面积为_____________. 11. 直平行六面体的底面是菱形, 两个对角面面积分别为 Q1 ,Q2 , 12.正六棱锥的高为 4cm,最长的对角线为 4 3 cm,则它的侧面积为_________. 13.球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的___________倍. 14.已知正三棱锥的侧面积为 18 3 cm ,高为 3cm. 求它的体积 三、解答题: 15.①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱. 已知:等边圆柱的底面半径为 r,求:全面积; ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥. 已知:等边圆锥底面半径为 r,求:全面积.
2



16.四边形 ABCD,A(0,0) ,B (1,0) ,C ( 2,1) ,D( 0,3) ,绕 y 轴旋转一周,求所得 旋转体的体积.

17.如图,圆锥形封闭容器,高为 h,圆锥内水面高为 h1 ,h1 = 圆锥内水面高为 h2 ,求h2 .

h , 若将圆锥倒置后, 3

18.如图,三棱柱 ABC ? A ′ B ′C ′中,P为AA ′ 上一点,求 V P ? BB ′C ′C : V ABC ? A′B ′C ′ .

19.如图,在正四棱台内,以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底面边长为 b,大 底面边长为 a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高,并指出有解的条件.

20. (14 分)已知:一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

参考答案(三)
一、BDDBC BDDBA 12. 30 二、11. 2 Q 1 2 + Q 2 2 ; 三、15.①解:Q 母线l

3

cm ;

2

13.8;

14. 9

3 cm3.

= 2r

∴ S 侧 = c ? l = 2πr ? 2r = 4πr 2 ∴ S 全 = 4πr 2 + 2πr 2 = 6πr 2
②解:Q 母线l

= 2r

∴ S 侧 = πrl = πr ? 2r = 2πr 2 ∴ S 全 = 2πr 2 + πr 2 = 3πr 2
16.解: V圆锥

1 1 8 = πr 2 h = π × 2 2 × 2 = π 3 3 3 1 1 7 V圆台 = πh(r 2 + R 2 + Rr ) = π × 1 × (2 2 + 12 + 2 × 1) = π 3 3 3 ∴V = V圆锥 + V圆台 = 5π

17.分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体,它 们的体积之比为对应高的立方比.

2 h VS ? AB 8 解: = ( 3 )3 = VS ?CD h 27
1



V水 V锥

19 19 ? 19 ? 3 3 19 3 = 倒置后: V水 :V锥 = h2 :h 3 = ∴ h2 = ? h 3 ? = h 27 27 3 ? 27 ?

小结:此题若用

1 V水 = V台 计算是比较麻烦的,因为台体的上底面半径还需用 h1 = h 导出来,我们用 3

V水 = V锥 ? V空 ,而V空 与V锥 的体积之间有比例关系,可以直接求出.
18.解法一:设

S BB ′C ′C = S , AA ′ 到平面BB ′C ′C 的距离为 h,则V P ? BB ′C ′C =

1 Sh 3

把三棱柱 棱柱体积的两倍.

ABC ? A ′B ′C ′接补成以DD ′C ′C和BB ′C ′C 为相邻侧面的平行六面体,此平行六面体体积为原三
1 Sh 2 3 = = 1 3 Sh 2

QV ABC ? A′B ′C ′ =

V 1 Sh ∴ P ? BB ′CC ′ 2 V ABC ? A′B ′C ′

解法二: V P ? BB ′C ′C = V ABC ? A′B ′C ′ ? V P ? ABC ? V P ? A′B ′C ′ 解法二
设S ?ABC = m,棱柱的高为n,则三棱柱的体积 = m ? n

1 2 V P ? BB′C ′C = V ABC ? A′B′C ′ ? V P ? ABC ? V P ? A′B′C ′ = mn ? m ? n( P到两底距离之和为n) = mn 3 3 2 ∴V P ? AB′C ′C :V ABC ? A′B′C ′ = 3
小结:把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法,平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底,有利于体积变换. 19.分析:这是一个棱台与棱锥的组合体问题,也是立体几何常见的问题,这类问题的图形往往比较复杂,要认真分析各有 关量的位置和大小关系,因为它们的各量之间的关系较密切,所以常引入方程、函数的知识去解. 解:如图,过高 OO1 和AD 的中点 E 作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高 EE1 和棱锥的斜高为 EO1,设 OO1 所以

= h,

1 ? 4b ? EO1 = 2bEO1 2 1 S台侧 = ( 4a + 4b) ? EE1 = 2( a + b) ? EE1∴ 2bEO1 = 2(a + b )EE1 ① 2 b a 由于OO1 E1 E是直角梯形,其中OE = ,O1 E1 = 2 2 S 锥侧 = ?a b? ?b? 2 2 由勾股定理有EE1 = h 2 + ? ? ? ,EO1 = h 2 + ? ? ② ? 2 2? ?2?
①式两边平方,把②代入得:
2 ? 2 b2 ? 2? 2 ? a b? ? b ? h + ? = ( a + b ) ?h + ? ? ? ? ? 2 2? ? 4? ? ? ? ? 2
2 2

解得h 2 =

a 2 (2b 2 ? a 2 ) 1 a (2b 2 ? a 2 ) 所以h = 4a (a + 2b) 2 a + 2b

显然,由于 a

> 0,b > 0 ,所以此题当且仅当 a < 2b 时才有解.

小结:在棱台的问题中,如果与棱台的斜高有关,则常应用通过高和斜高的截面,如果和棱台的侧棱有关,则需要应用 通过侧棱和高的截面,要熟悉这些截面中直角梯形的各元素,进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算,这是解 棱台计算问题的基本技能之一.

20.解: (1)设内接圆柱底面半径为 r.
S 圆柱侧 = 2πr ? x ①
②代入①

Q

r H ?x = R H

∴r =

R ( H ? x) ② H

S圆柱侧 = 2πx ?

R 2πR ( H ? x) = ? x 2 + Hx (0 < x < H ) H H

(

)

(2) S 圆柱侧

2πR = ? x 2 + Hx H

(

∴x =

H 时 2

S圆柱侧最大

2 2πR ? ? H? H2? = ?? ? x ? ? + ? H ? ? 2? 4 ? ? ? πRH = 2

)


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