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5-6三角函数模型的简单应用


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考纲要求

考情分析



函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换以及根据图象确定 1.了解函数y=Asin(ωx A,ω,φ的问题是高考的热点,主要考查识图、 +φ)的物理意义,能 用图能力,同时也考查三角变换问题.从题型来 画出y=Asin(ωx+φ)的 看,选择题、填空题主要考查“五点法作图”及 图象,了解参数A、 图象变换的问题,如2012年浙江卷4、山东卷17, ω、φ对图象变化的影 在解答题中考查了图象变换;解答题主要结合三 角恒等变换,考查y=Asin(ωx+φ)的性质及应用, 响. 2.了解三角函数是描 试题难度不大,属于中低档题,如2012年天津卷 述周期变化现象的重 15、安徽卷16、重庆卷18等. 要函数模型,会用三 预测:2013年高考小题仍以考查y=Asin(ωx+φ)的 确定A、ω、φ 角函数解决一些简单 图象变换及根据图象 实际问题. 为主,解答题以三角变换为基础,研究其图象性 质,化简的目标函数是y=Asin(ωx+φ)+b的形式.
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(对应学生用书 P86) 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0),x∈ [0,+∞) A 振幅 周期 频率 1 f= T ω = 2π 相位 初相

2π T= ω .

ωx+φ

φ

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x ωx+φ y= Asin(ωx +φ)

φ - ω

0 0

φ π - + ω 2ω π 2

π-φ ω

π
0

3π φ - 2ω ω 3π 2

2π-φ ω


0

A

-A

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问题探究 1:用五点法作图找五个点时,如上表应首先确 定哪一行的数据?

π 3π 提示:第二行,即先使 ωx+φ=0,2,π, 2 ,2π,然后 求出 x 的值.

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3. 函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的 步骤

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问题探究 2:在图象变换的两种方法中,左右平移的单位 长度一样吗?为什么?
提示:不一样.因为左右平移和伸缩变换都是对自变量 x 而言的. 法二中,由步骤 2 到步骤 3 变换时,左右平移变换必须是 只针对 x,

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求三角函数的解析式须注意 φ 的值 φ 是由函数图象的位置确定,但 φ 的值是不确定的,它有 无数个,事实上,如果 φ0 是满足条件的一个 φ 值,那么 2kπ +φ0,k∈Z 都是满足条件的 φ 值,故这类题目一般都会限制 φ 的取值范围,若没限制 φ 的取值范围,也能根据所给的图象去 判断.适时关注题设条件中 φ 的取值范围或数形结合,避开此 类问题的陷阱.

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(对应学生用书 P87)

利用五点作图法画三角函数图象的关键是准确找出五个 关键点,在找五个关键点的过程中用到了“整体思想”,即把 ωx+φ 看作一个整体.这样得到的函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 T 在一个周期内的“五点”横向间距必相等,均为 4 ,于是“五 φ T T 点”横坐标依次为 x1=- ,x2=x1+4 ,x3=x2+4 ?这样可以 ω 快速地求出“五点”坐标.
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在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点: 一要 弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;二要注 意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应先利用诱导公 式化为同名函数;三是由 y=Asinωx 的图象得到 y=Asin(ωx+ φ φ)的图象时,需平移的单位数应为| |而不是|φ|. ω

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已知函数

?1 π? f(x)=3sin? x- ? 4? ?2

(1)求此函数的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出函数的图象; (3)说明函数 f(x)的图象由 y=sin x 的图象经过怎样的变换 得到; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

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2π 2π π 【解】 (1)周期 T= = 1 =4π,振幅 A=3,初相是-4. ω 2 (2)列表:
x 1 π 2x-4
?1 π? y=3sin? x- ? 4? ?2

π 3 5 π π 2 2 2 0 0 π 2 3 π 0

7 π 2 3 π 2 -3

9 π 2 2π 0

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描点、连线,如图所示:

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π (3)把 y=sin x 图象上所有点向右平移 个单位得到 y= 4
? π? sin?x- ?的图象, 再把 4? ? ? π? y=sin?x- ?的图象上所有点的横坐标伸 4? ? ? x π? y=sin? - ?的图象, 然后把 ? 2 4?

长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到

? x π? y=sin? - ?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ? 2 4?

3 倍(横坐

标不变)即可得到

?x π? f(x)=3sin? - ?的图象. ?2 4?

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1 π π (4)令 x- = +kπ(k∈Z), 2 4 2 3 得 x=2kπ+ π(k∈Z),此为对称轴方程. 2 1 π π 令 x- =kπ(k∈Z)得 x= +2kπ(k∈Z). 2 4 2
? π ? 对称中心为?2kπ+ ,0?(k∈Z). 2 ? ?

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(1)用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为 y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式; 2π ②求出周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一个周期内的五个 ω 特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特 殊点.

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(2)图象变换法 ①平移变换. 沿 x 轴平移,按“左加右减”法则; 沿 y 轴平移,按“上加下减”法则. ②伸缩变换. ⅰ.沿 x 轴伸缩时, 横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原 1 来的 倍(纵坐标 y 不变); ω ⅱ.沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原 来的 A 倍(横坐标 x 不变).
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(1)已知函数

? π? y=2sin?2x+3?, ? ?

①求它的振幅、周期、初相; ②用“五点法”作出它在一个周期内的图象. (2)(2011 年全国)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图 π 象向右平移3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( )

1 A. 3

B.3

C.6
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D.9
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? π? 解析:(1)①y=2sin?2x+3?的振幅 ? ?

A=2,

2π π 周期 T= 2 =π,初相 φ=3.
? π π? ②令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+ ?=2sinX. 3 3? ?

列表,并描点画出图象:

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x X y=sinX
? π? y=2sin?2x+3? ? ?

π -6 0 0

π 12 π 2 1

π 3 π 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0

0

2

0

0

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π π (2)f(x)向右平移 后变为 f(x- ), 3 3 π π 则 f(x)=f(x-3),∴cosωx=cos(ω(x-3)) ωπ ωπ 即 cosωx=cos(ωx- ),∴- =2kπ,k∈Z. 3 3 ∴ω=-6k,k∈Z,ω 的最小值为 6.
答案:(1)见解析 (2)C

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确定 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的步骤 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m, M-m M+m 则 A= 2 ,b= 2 . 2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= . T

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(3)求 φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已 知)或代入图象与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上 升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一 φ 零点(- ,0)作为突破口.具体如下: ω

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“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0; π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx+φ=2;“第三点”(即 图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π; “第四点”(即图象的 3π “谷点”)为 ωx+φ= 2 ;“第五点”为 ωx+φ=2π.

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(2012 年 湖 南 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx + φ)(x ∈ R , π ω>0,0<φ<2)的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; π π (2)求函数 g(x)=f(x- )-f(x+ )的单调递增区间. 12 12

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【思路启迪】 第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利 用周期公式求得 ω 的值, 然后代入图中特殊点的坐标求 A 和 φ 的值; 第(2)问, 利用两角和与差的三角函数和辅助角公式将其 化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再将 ωx+φ 看做一个整体,利用 y=sin x 的单调区间,通过解不等式求得结果.

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11π 5π 【解】 (1)由题设图象,知周期 T=2( 12 -12)=π,所以 2π ω= =2. T 5π 5π 因为点( ,0)在函数图象上,所以 Asin(2× +φ)=0, 12 12 5π 即 sin( 6 +φ)=0. π 5π 5π 4π 5π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< ,从而 +φ=π,即 φ 2 6 6 3 6 π =6.
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π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,即 A=2. 6 π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+6). π π π π (2)g(x)=2sin[2(x-12)+6]-2sin[2(x+12)+6]

π =2sin 2x-2sin(2x+ ) 3 1 3 =2sin 2x-2( sin 2x+ cos 2x) 2 2
=sin 2x- 3cos 2x π =2sin(2x-3).
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π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , k∈Z, kπ- ≤x≤kπ+ , 得 2 3 2 12 12 k∈Z. π 5π 所以函数 g(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12

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求三角函数的解析式的技巧 求三角函数 y=Asin(ωx+φ)+h 的解析式的关键是解决四 个数值 A,ω,φ,h,其求解技巧是:A 和 h 由函数图象的最 高点、最低点确定,一般由函数的图象或是已知给出的图象与 纵轴交点坐标可得;ω 是由三角函数的周期确定,先由图象求 2π 出函数的周期 T 的值,再利用公式 ω= ,求出 ω 的值;对 T 于 φ 的求解,利用图象过特殊点,数形结合即可求得.本例就 是一道标准的利用以上方法求解三角函数解析式的题目.
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π (2012 年陕西)函数 f(x)=Asin(ωx- )+1(A>0,ω>0)的最 6 π 大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; π α (2)设 α∈(0,2),f(2 )=2,求 α 的值.

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解:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周期 T=π.∴ω=2. π 故函数 f(x)的解析式为 y=2sin(2x-6)+1.

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α π π 1 (2)∵f( )=2sin(α- )+1=2,即 sin(α- )= , 2 6 6 2 π π π π 又∵0<α< ,∴- <α- < . 2 6 6 3 π π π ∴α- = .故 α= . 6 6 3

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讨论三角函数 y=Asin(ωx+φ)+k(ω>0)的性质时,首先要 将“ωx+φ”视为一个整体,再结合基本初等函数 y=sin x 的 图象与性质,去研究该函数的性质.

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π (2012 年重庆)设 f(x)=4cos(ωx- 6)sin ωx-cos(2ωx+π), 其中 ω>0. (1)求函数 y=f(x)的值域; 3π π (2)若 f(x)在区间[- 2 ,2]上为增函数,求 ω 的最大值.

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3 1 【解】 (1)f(x)=4( cos ωx+ sin ωx)sin ωx+cos 2ωx 2 2 =2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1. 因-1≤sin 2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1 + 3].

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π π (2)因 y=sin x 在每个闭区间[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)上为 2 2 kπ π kπ 增函数, f(x)= 3sin 2ωx+1(ω>0)在每个闭区间[ - , 故 ω 4ω ω π + ](k∈Z)上为增函数. 4ω 3π π kπ π kπ π 依题意知[- 2 , ]?[ - , + ]对某个 k∈Z 成立, 2 ω 4ω ω 4ω
π ? 3π ?- 2 ≥-4ω, 此时必有 k=0,于是? ?π≤ π . ?2 4ω 1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 . 6 6
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求三角函数的值域(最值)、单调性、周期性等,常常要通 过三角恒等变换将三角函数的解析式化简为 y=Asin(ωx+φ) +b 或 y=Acos(ωx+φ)+b 的形式,再根据函数 y=sin x 或 y =cos x 的性质进行求解,但必须注意未知数 x 的取值范围.

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π π (2012 年天津)已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )+ 3 3 2cos2x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)求函数 f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值.

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π π π 解:(1)f(x)=sin 2x· 3+cos 2x· 3+sin 2x· 3-cos cos sin cos π π 2x· 3+cos 2x=sin 2x+cos 2x= 2sin(2x+4).所以,f(x)的 sin 2π 最小正周期 T= =π. 2 π π π π (2)因为 f(x)在区间[-4,8]上是增函数,在区间[8,4]上是 π π π 减函数,又 f(- )=-1,f( )= 2,f( )=1,故函数 f(x)在区 4 8 4 π π 间[-4,4]上的最大值为 2,最小值为-1.
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三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面 ,一是已 知函数模型,如本例,关键是准确理解自变量的意义及自变量 与函数之间的对应法则,二是把实际问题抽象转化成数学问 题, 建立三角函数模型, 再利用三角函数的有关知识解决问题, 其关键是迅速建模.

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已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单 位:时)的函数,记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:

t(时) y(米)

0

3

6

9

12

15

18

21

24

1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

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经长期观测, y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosωt +b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T, 振幅 A 及函数表达式. (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开 放,请依据(1)的结论,判断一天内的 8∶00 至 22∶00 之间, 有多少时间可供冲浪者进行运动?

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【解】 (1)由表中数据知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω= =12=6, T 由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5; 由 t=3,y=1.0 得 b=1.0, 1 ∴A=0.5,b=1,∴振幅为2, 1 π y=2cos6t+1.

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(2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π π ∴ cos t+1>1.∴cos t>0, 2 6 6 π π π ∴2kπ- < t<2kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z.① ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定的 8∶00 至 22∶00 之间,有 6 个小时时间可供 冲浪者运动,即 9∶00 至 15∶00.
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在实际问题中,很多模型最后化归为正弦型函数 y= Asin(ωx+φ)+b 或余弦型 y=Acos(ωx+φ)+b,有的还需要经 过三角恒等变形等,如下面变式训练 4.

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π 如图,现在要在一块半径为 1 m,圆心角为3的扇形纸板 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ,使点 P 在弧 AB 上,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,设∠BOP=θ,?MNPQ 的面积 为 S. (1)求 S 关于 θ 的函数关系式; (2)求 S 的最大值及相应 θ 的值.

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解:(1)分别过点 P,Q 作 PD⊥OB,QE⊥OB,垂足分别 为 D,E,则四边形 QEDP 是矩形,PD=sin θ,OD=cos θ. π 在 Rt△OEQ 中,∠AOB=3, 3 3 则 OE= 3 QE= 3 PD.

3 所以 MN=PQ=DE=OD-OE=cos θ- 3 sin θ. 3 则 S=MN×PD=(cos θ- sin θ)×sin θ 3 3 2 π =sin θcos θ- 3 sin θ,θ∈(0,3).
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1 3 (2)S= sin 2θ- (1-cos 2θ) 2 6 1 3 3 3 π 3 =2sin 2θ+ 6 cos 2θ- 6 = 3 sin(2θ+6)- 6 . π π π 5π 因为 0<θ<3,所以6<2θ+6< 6 . 1 π 所以 <sin(2θ+ )≤1. 2 6 π π π 3 2 所以当 2θ+ = , θ= 时, 的值最大, 即 S 最大值是 m . 6 2 6 6 3 2 π 即 S 的最大值是 m ,相应 θ 的值是 . 6 6
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1.用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象,关键是点的 π 3 选取,通常令 ωx+φ 分别等于 0, ,π, π,2π,求出对应的 2 2 x,y,即可得到所画图象上关键点的坐标并注意曲线的凹凸方 向.

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2. 在进行三角函数图象变换时, 提倡“先平移, 后伸缩”, 但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练 掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多 少.

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3.确定 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的步骤: (1)根据图象的最高点、 最低点或与 y 轴的交点确定振幅 A; 2π (2)根据图象确定函数的周期 T, 再由 T= , 求得 ω 的值; ω (3)确定 φ 值时,往往寻找“五点法”作图象时的第一零 φ 点(- ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零点的 ω 位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

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4.函数 y=Asin(ωx+φ)图象的对称问题: (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=x0 对称, ωx0 则 π +φ=kπ+2,k∈Z,即过函数图象最高点或最低点且与 x 轴垂 直的直线为其对称轴. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(x0,0)成中心对称, 则 ωx0+φ=kπ,k∈Z,即函数图象与 x 轴的交点是其对称中心.

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数学(理)

A (2012 年山东卷)已知向量 m=(sin x,1), n=( 3Acos x, cos 2 2x)(A>0),函数 f(x)=m· 的最大值为 6. n (1)求 A;
π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图 12

1 象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 2 5π y=g(x)的图象,求 g(x)在[0, ]上的值域. 24
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数学(理)

A 【解】 (1)f(x)=m· n= 3Asin x· x+ 2 cos 2x cos 3 1 =A( 2 sin 2x+2cos 2x) π =Asin(2x+6) 因为 A>0,由题意知 A=6. 第(1)问赋分细则: ①结果正确,过程合理得满分. ②计算过程中无 A>0,结果正确不扣分.

1分

3分 4分

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π ③若化简为 f(x)=Acos(2x-3 )同样得 3 分. 3 1 ④准确计算出 m· 的值并且化为 A( sin 2x+ cos 2x)但 n 2 2 π π 没有得到 Asin(2x+ 6)或 Acos(2x- 3),得 2 分. π ⑤没有将 f(x)化为 Asin(2x+ )或结果有误,但求出 A=6, 6 第(1)问得 1 分.

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数学(理)

π (2)由(1)得 f(x)=6sin(2x+6) π 将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到 π π π y=6sin[2(x+ )+ ]=6sin(2x+ )的图象. 12 6 3 6分

1 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 2,纵坐标 π 不变,得到 y=6sin(4x+ 3)的图象 π 因此 g(x)=6sin(4x+ 3).
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8分

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5π 因为 x∈[0, ] 24 5π π π 7π 所以 0≤4x≤ , ≤4x+ ≤ , 6 3 3 6 π π 7π 即 4x+ ∈[ , ] 3 3 6 5π 故 g(x)在[0, ]上的值域为[-3,6]. 24 10 分 12 分

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第(2)问赋分细则: π ①若没有文字叙述直接得到 y=6sin(4x+3),扣 2 分. π π π ②将 y=f(x)图象左移 个单位而无 y=6sin[2(x+ )+ ], 12 12 6 π 直接得到 y=6sin(2x+3)不扣分. π 5π ③由 g(x)=6sin(4x+ 3), x∈[0, ]直接得到值域为[-3,6] 24 扣 2 分.

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π π 7π ④计算得到 4x+ ∈[ , ],但没有计算过程不扣分,4x 3 3 6 π π 7π π 7π + ∈[ , ]中 , 中只有一个错误扣 1 分, 若全错则不得分. 3 3 6 3 6 π ⑤4x+ 范围时,但函数值域[-3,6]中有一个端点值错误, 3 π 扣 1 分,若 4x+ 范围错,但函数值域正确不得分. 3

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(1)没有运用向量数量积坐标运算,而直接写成 f(x) = π Asin(2x+6)扣 1 分. (2)忽视 A>0,而得到 A=± 6,扣 1 分. (3)第(1)问中将 f(x)的结果化错,导致第(2)问不得分. (4)将 f(x)通过平移或伸缩变换后没有正确得到 g(x)= π 6sin(4x+3),从而不能得到最终结果而丢掉后面的分数.

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π 5π π (5)得到 g(x)=6sin(4x+ ), 不能由 x∈[0, ]得到 4x+ ∈ 3 24 3 π 7π [ , ]而扣分. 3 6 π π 7π (6)虽得到 4x+3∈[3, 6 ],但不能准确求出 g(x)值域而扣 分.

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