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高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)


第一讲 1.2 不等式和绝对值不等式 绝对值不等式 1.2.3 绝对值不等式的解法(二) 栏 目 链 接 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 1.求解不等式|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x- b|≤c的第一种方法:_______________ 去绝对值. 分类讨论 思考1 不等式|x-2|+|x-1|≥5的解集是 栏 目 链 接 ________ . {x|x≥4或x ≤-1} 2.求解不等式|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x- b|≤c的第二种方法:用几何意义 __________直接求边界值,再利用 几何意义写出解集. 思考2 不等式|x|+|x+1|<2的解集是________. ? ? ? 3 1 ?x?- <x< 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 栏 目 链 接 题型一 |x-a|+|x-b|≥c(或|x-a|+|x-b|≤c)型不 等式的解法 例1 解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解.对 于形如|x+a|+|x+b|的代数式,可以认为是分段函数. 解析:方法一 如下图,设数轴上与-1,1对应的点分 栏 目 链 接 别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1] 上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两 点的距离和为3,A1对应数轴上的x. 3 ∴-1-x+1-x=3,得 x=- , 2 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A,B 两点距离和为 3,B1 对应数轴上的 x, 3 ∴x-1+x-(-1)=3.∴x= . 2 从数轴上可看到,点 A1,B1 之间的点到 A,B 的距离之 和都小于 3;点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A,B 的 距离之和都大于 3. 3 3 ∴原不等式的解集是-∞,- ∪ ,+∞. 2 2 栏 目 链 接 方法二 -1)≥3, 当 x≤-1 时,原不等式可以化为-(x+1)-(x 3 解得 x≤- . 2 当-1<x<1 时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即 2≥3.不成立,无解. 当 x≥1 时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3. 3 所以 x≥ . 2 3 3 综上,可知原不等式的解集为 xx≤- 或 x≥ . 2 2 方法三 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 栏 目 链 接 -2x-3,x≤-1, ? ? 构造函数 y=|x+1|+|x-1|-3,即 y=?-1,-1<x<1, ? ?2x-3,x≥1. 作出函数的图象(如下图). 栏 目 链 接 3 3 函数的零点是- , . 2 2 3 3 从图象可知,当 x≤- 或 x≥ 时,y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0. 2 2 ? ? 3? ?3 所以原不等式的解集为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2 ? ?2 ? ? 点评:这三种解法以第二种解法最重要,但是其中的 分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”;第一种解 法中,关键是找到一些特殊的点如A1,B1;第三种解法中, 准确画出图象,是y=|x+1|+|x-1|-3的图象,而不是y =|x+1|+|x-1|的,其次函数的零点要找准.这些都是 栏 目 链 接 求解集的关键. 变 式 训 练 1.解不等式|x-1|+|x-2|>5. 解析:方法一 分类讨论|x-1|=0.|x-

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