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浙江省湖州中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题


湖州中学 2013 届高三上学期期中考试数学(文)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.若 A ? {x || x |? 2}, B ? {x | x ? a} , A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? 2 B. a ? ?2 C. a ? 2 ) D. a ? ?2

( ? ,则 cos ? =( 2. 已知角 ? 的终边过点 4, 3)
A.

4 3 3 C. D. ? 5 5 5 3. 已知等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 40, a4 ? a5 ? a6 ? 20 ,则前 9 项之和等于(
B. ? A.50 B.70 C.80 D.90

4 5



4.设函数 f (x) 为偶函数,且当 x ? [0,2) 时 f ( x) ? 2 sin x ,当 x ? [2,??) 时 f ( x) ? log2 x ,则

f ( ? ) ? f ( 4) ? ( 3
A. ? 3 ? 2 5. 函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? 间?? 上 ( A. 0

?

) B. C. 3 D.

3?2

? ?

11 ?? ? 的图象为 C ,①图象 C 关于直线 x ? 12 ? 对称;②函数 f ( x) 在区 ??

? ? ? 5? ? , ? 内是增函数;③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C ,以 ? ? ?? ?? ?
三 ) B. 1 C. 2 D. 3 个 论 断 中 , 正 确 论 断 的 个 数 是

6. 已知 m、n 是两条不重合的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ; ④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则? // ? 其中真命题是 ( ) A.①和② B.①和③ C.①和④ D.③和④ 7. 已知曲线 C : y ?

1 ( x ? 0) 及两点 A1 ( x1 ,0) 和 A2 ( x2 ,0) , 其中 x2 ? x1 ? 0 .过 A1 ,A2 分别作 x 轴 x


的垂线,交曲线 C 于 B1 , B2 两点,直线 B1B2 与 x 轴交于点 A3 ( x3 ,0) ,那么( A. x1 ,

x3 , x2 成等差数列 2

B. x1 ,

x3 , x2 成等比数列 2

C. x1 , x3 , x2 成等差数列

D. x1 , x3 , x2 成等比数列

8.若双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,则椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ( a b a2 b
B.

)

A.

1 2

2 2

C.

3 3

D.

3 2

9. 对于实数 a 和 b ,定义运算“?”: a ? b = ?

?a, a ? b ? 1 ,设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1) , b, a ? b ? 1 ?


x ? R ,若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是(
A. (?1,1] ? (2,??) C. (??, ? 2) ? (1, 2] B. (?2, ? 1] ? (1, 2] D. [?2, ? 1]

10. 设 f ( x) ? x2 ? bx ? c ( x? R ) ,且满足 f ?( x) ? f ( x) ? 0 。对任意正实数 a,下面不等式恒成立 ... 的是( ) B. f (a) ? ea f (0) D. f (a) ?

A. f (a) ? ea f (0) C. f (a) ?

f (0) ea

f (0) ea

第Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 从圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2 ? 向这个圆作两条切线, 则这两条切线夹 角的余弦
2 2

值为________________. 12.若平面区域 ?0 ? y ? 2 是一个梯形,则实数 k 的取值范围是

?0 ? x ? 2 ?

? y ? kx ? 2 ?

.

13.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表面积 是 . 第 13 题

14. 甲、乙、丙、丁 4 人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时, 传球者将球等可能地传给另外 3 个人中的任何 1 人,经过 3 次传球

后,球在甲手中的概率是_______.

16.
??? ? ??? ? ???? S 设点 O 在△ABC 的外部,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?OBC ? S?ABC



17.有 10 台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.现有两种工作方案:第一种方案,同 时投入并连续工作至收割完毕;第二种方案,每隔相同时间先后投入,每一台投入后都连续工 作至收割完毕.若采用第一种方案需要 24 小时,而采用第二种方案时,第一台投入工作的时间 恰好为最后一台投入工作时间的 5 倍,则采用第二种方案时第一台收割机投入工作的时间为 小时. 三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. 本小题满分 14 分) ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , a cs C, b cs B, c cs A ( 在 角 且 o o o 成等差数列. (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 4 ,求 AC 边上中线长的最小值. 19. (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ?的公差为 ?1, 且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ; (2)将数列 ?a n ?的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ?的前 3 项,记

?bn ?的前 n 项和为 Tn ,
的取值范围.

若存在 m ? N , 使对任意 n ? N 总有 Sn ? Tm ? ? 恒成立, 求实数 ?
* ?

20. (本小题满分 14 分)如图,在一个由矩形 ABCD 与正三角形 APD组合而成的平面图形中,

AD ? 2, DC ? 2, 现将正三角形 APD沿 AD 折成四棱锥 P ? ABCD ,使 P 在平面 ABCD 内
的射影恰好在边 BC 上.

(1)求证:平面 PAB⊥平面 PBC ; (2)求直线 AC 与平面 PAB所成角的正弦值.

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 ,其中 a 为实数. (1)设 t ? 0 为常数,求函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 2] 上的最小值; (2)若对一切 x ? (0, ??) ,不等式 2f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系中,已知点 P(1, ?1) ,过点 P 作抛物线 T0 : y ? x2 的切线,其切点分别为 . M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 ) (1)求 x1 与 x 2 的值; (2)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积; (3)过原点 O (0, 0) 作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC , BD ,求四边形 ABCD 面积的最大值.

数学(文)参考答案及评分标准

?

a 2 ? c 2 ? ac , 4

…………………………10 分

1 ? ? 4 ?1 ? ( )m ? 1 ? 2 ? ? Tm ? ? ? 8 ?1 ? ( )m ? b2 1 1 设等比数列 ?bn ?的公比为 q ,则 q ? ? ,? 2 ? ? 1? b1 2 2

1 ? ( ) m 随 m 递减,? ?Tm ? 为递增数列,得 4 ? Tm ? 8 --------------------------------------------10 分 2

在 Rt?APC 中, sin ?APC ?

PC 2 3 ? ? .………………………13 分 AC 6 3
3 ………………14 分 3

即直线 AC 与平面 PAB所成角的正弦值为
21(本小题满分 15 分) 解答: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 ,

1 1 e e 1 1 1 1 ① 0 ? t ? ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 ②即 t ? 时, f ( x)在?t , t ? 2? 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;5 分 e
同理可得: x2 ? 1 ? 2 ,或 x2 ? 1 ? 2 ∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 . ……4 分 ……5 分

当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? ?1 ,则直线 MN 的斜率

k?

2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 ,……6 分 x1 ? x2 x1 ? x2

2 ∴直线 M 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x1 ,

2 2 ∴ y ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x1x2 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .

……7 分

∵点 P 到直线 MN 的距离即为圆 E 的半径,即 r ?

| 2 ? 1 ? 1| 4 ? , 4 ?1 5

……8 分


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