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高三数学试卷(文科)


高三数学试卷(文科)
命题人 王小军 审题人 程赞红
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x | x ? x ? 0, x ? R} ,集合 B ? {x | log 2 x ? 0} ,则 A 、 B 满足(
2



A. A ? B 2.i 是虚数单位,若 A.-3

B. A ? B

C. B ? A

D. A ? ? B且B? ? A )

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R) ,则乘积 ab 的值是( 2?i
B.-15 C.3
2

3. 在等差数列 ?a n ?中,若 a1 , a 2011 为方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a 2 ? a1006 ? a 2010 ? ( A.10 B.15 C.20 D.40 ( )

D.15

)

4.若某多面体的三视图(单位: cm )如图所示,则此多面体的体积是

2
3 2

正视图 2 俯视图

侧视图

A. 2cm2
5. 已知 f ( x) ? ? A. [0,??)

B. 4cm2
2 ? ?x ? ?2 x ? 2

C. 6cm2

D. 12cm2
( )

? x ? 0? , 若 f ( x) ? 0 ,则 x 的取值范围是 ? x ? 0? ,
C. [1, ??) ? ?0? D. (??,0] ? [1, ??)

B. [1, ??)

6. 已知 tan(α +β )= 的值是( ) A.

3 1 ? ,tan(α -β )= ,那么 tan(2? ? ) 4 2 4 10 11
C.

(第 7 题图)

13 9

B.

2 11

D.

2 5

7.某同学设计右面的程序框图用以计算和式 12 ? 22 ? 32 ? ? ? 202 的值,则在判断框中应填写( ) A. i ? 19 B. i ? 19 C. i ? 20 D. i ? 21

8.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场 比赛,他们在这 11 场比赛的得分用下面的茎叶图表示, 设甲运动员得分的中位数为 M1,乙运动员得分的中位数 为 M2,则在下列选项中,正确的是( ) A.M1=18,M2=12 B.M1=81,M2=12 C.M1=8,M2=2 D.M1=3,M2=1 9. 函数 y ? a ( a >1)的图象是(
x



10.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的 实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 B. 3 ) C.2 D.3

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 11. 若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ( ? x ? my ? 1 ? 0, ?
A. ?1 B. ?2 C.2 D.1



x ? ? 2 ? 1, x ? o 12.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,若函数 g ( x) = f ( x) - m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0,





A. (0,1) B. (0,2) C. (1,2) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

D. (2,3)

13.某中学计算机教室的使用年限 x 所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料:

? ?a ? =1.25,据此模型估计使用年限为 10 年时的维 ? ? bx ? 中的 b 根据上表数据得到回归直线方程 y
修费用是 万元.

(OA + OC ) = 14.如图,已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,则 (OA + OB)?
15. ①函数 f ? x ? ? ?
3

??? ? ??? ?

??? ? ????

1 ? lg x 的零点所在的区间是(2,3) ; x

② 曲线 y ? 4 x ? x 在点 ? ?1, ?3 ? 处的切线方程是 y ? x ? 2 ;

③ 将 函 数 y ? 2 ? 1 的 图 象 按 向 量 a ? (1 , ?1)
x

平移后得到函数 y ?2

x ?1

的图象;④函数

2 y= log 1 ( x ? 1) 的定义域是(- 2 ,-1)∪(1, 2 )⑤ a · b >0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要 2

条件;以上命题正确的是 16.给出下列的数表序列:

。 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

其中表 n(n = 1, 2,3?) 有 n 行,表中每一个数“两脚”的两数都是次数的 2 倍,记表 n 中所有的数之和 为 an ,例如 a2 = 5, a3 = 17, a4 = 49 ,则 a5 = 表1 1 表2 1 2 2 ,数列 {an } 的通项公式是 表3 1 2 2 …… .

22 22 22
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a (a∈R,a 为常数). (Ⅰ)若 x∈R,求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)若 f ? x ? 在 [?

? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值; 6 6

18. (本小题满分 12 分) 某小学共有小学生 2000 名,各年级男、女学生人数如下表,已知在全校学生中素以及抽取 1 名,抽到 三年级男生的概率为

1 ,现用分层抽样的方法在全校抽取 200 名学生。 10

(1) 应在三年级女生中抽取的学生人数为? (2) 若在六个年级中随机抽取两个年级的女生,则两个年级女生数相差不超过 20 的概率为?

一年级 女 生 男 生 19. (本小题满分 12 分) 160 150

二年级 180 150

三年级

四年级 140 120

五年级 230 180

六年级 170 100

x y

如图, 在四棱锥 P - ABCD 中,PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,E , F 分别为 BC , PD 的 中点 PA = AB , , (1)求证: EF / / 平面 PAB (2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值。 P

F

A

D

B

E

C

20.(本小题共 12 分) 已知椭圆 M 的中心为坐标原点,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是抛物线 y ? 8 x 的焦点,M 的离
2

心率 e ?

1 ,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l ,交 M 于 A,B 两点。 2
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ)设点 N(t,0)是一个动点,且 ( NA ? NB) ? AB ,求实数 t 的取值范围。

??? ? ??? ?

??? ?

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? xe , g ( x) ? ax ? x.
x 2

(Ⅰ)若 f ( x) 与 g ( x) 具有完全相同的单调区间,求 a 的值; (Ⅱ)若当 x ? 0 时恒有 f ( x) ? g ( x), 求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D。 (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?

E O D

1 , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长 2

A

C

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.

? 2 t ?x ? 1? sin ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? ,以极点为 1 ? sin 2 ? ?y ? 2 t ? ? 2
原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (1, 2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ?x ? ? x ? 2 x ? a ?a ? 0? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ≤4; (Ⅱ)若 f ( x) ≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1----5 CABAD 13 11.1 6----10 ACABB 14 11-12 DA 16 129

1 6

15,①②

an = n ?2n 2n +1

17. (本题满分 12 分) 解: f ( x) ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ? (Ⅰ)最小正周期 T ? (Ⅱ) x ? [? 所以 ? 即?

?
6

) ? a ? 1.

? ?

2? ? ?. 2

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1. 2 6

, ] ? 2 x ?[? , ] ? 2 x ? ?[? , ], 6 6 3 3 6 6 2

? ?

?

? ?

? f ( x) max ? 2 ? a ? 1, 所以 2a ? 3 ? 3 ? a ? 0. ? f ( x) min ? ?1 ? a ? 1,

y 1 ? ,? y ? 200, x ? 220 ,………….. ………….. ……2 分 2000 10 200 1 1 抽样的比例为 , 所 以 应 在 三 年 级 女 生 中 抽 取 学 生 数 为 : 220 ? = ? 22 2000 10 10
18、 (1)解:由题知, (人)………….. ………….. ……4 分 (2) 在六个年级中随机抽取两个年级的女生共有 15 种不同的取法: (160, 180) , (160,220) , (160,140) , (160,230) , (160,170) , (180, 220) , (180,140) , (180,230) , (180,170) , (220,140) , (220,230) , (220,170) , (140,230) , (140,170) , (230,170) 。….. ………….. ……8 分 设 A 表示随机事件“所抽取的两个年级女生数相差不超过 20” ,则 A 的基本事件有 5 种: (160,180) , (160,140) , (160,170) , (180,170) , (220.230) 。.. ………….. ……10 分

5 1 = ………….. ………….. ……12 分 15 3 19、(1)证明:如图(1),取 PA 的中点 G ,连结 BG、GF。 1 ? F 为 PD 的中点,\ GF / / AD .………….. ………….. …….2 分 2 1 又? E 为 BC 的中点,四边形 ABCD 为正方形,\ BE / / AD ,\ GF / / BE ,四边形 BEFG 为平行 2 四边形,\ EF / / BG ,又 BG ? 平面 PAB , EF ? 平面 PAB , EF / / 平面 PAB .
故所求概率为 P( A) = ………….. ………….. ……………….. ………….. ……4 分 P F D E C B P F (2) A H E Q C D

(1)

G A

B

(2)如图(2),连结 AF、AE 并延长交 DC 的延长线于点 Q,连结 FQ,则 FQ 为平面 AEF 和平面 PCD 的交线,作 EH ^ FQ 。\ PA ^ CD ,又? CD ^ AD, PA ? AD

A,\ CD ^ 平面 PAD,? AF ? 平

面 PAD,\ CD ^ AF 。………….. ………….. ……8 分 又在等腰直角 D PAD 中, AF ^ PD ,且 PD ? CD D ,\ AF ^ 平面 PCD,而 AF ? 平面 AEF,\ 平 面 AEF ^ 平面 PCD。又平面 AEF ? 平面 PCD=FQ,且 EH ? 平面 AEF,EH ^ FQ,\ EH ^ 平面 PCD, \ EFH 为直线 EF 与平面 PCD 所成的角。.. ……10 分 设 AB=2,则易得 EH =

1 2 EH 10 AF = , EF = 5 ,在直角三角形 EHF 中 = ,因此,直线 EF 2 2 EF 10 10 。………….. ………….. ……12 分 10

与平面 PCD 所成的角的正弦值为

解:设第 n 等级的累计时长极为 an ,则 a1 = 20, a2 = 50, a3 = 90, a4 = 140,? 。令 20.(本小题共 12 分)
2 2 (Ⅰ)椭圆 M 的标准方程: x ? y ? 1

4

3

(4 分)

(Ⅱ)设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? ,设 l : x ? my ? 1 ?m ? R, m ? 0?

? x ? my ? 1 ? 2 ? ?3m 2 ? 4?y 2 ? 6my ? 9 ? 0 y2 ?x ? ? 1 ? 3 ?4
由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?

6m 3m 2 ? 4



(6 分)

( NA ? NB) ? AB ? NA ? NB ?

?x1 ? t ?2 ? y12 ? ?x2 ? t ?2 ? y 2 2 ? ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? 2t ? ? ?y12 ? y 2 2 ? ? 0
将 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my 2 ? 1 代入上式整理得:

? y1 ? y2 ???m 2 ? 1?? y1 ? y2 ? ? m?2 ? 2t ?? ? 0 ,由 y1 ? y 2 知

?m

2

? 1 ? y1 ? y 2 ? ? m?2 ? 2t ? ? 0 ,将①代入得 t ?
? ? 1? 4?

?

1 3m ? 4
2

(10 分)

所以实数 t ? ? 0, ? 21.(本小题满分 12 分)

(12 分)

解: (Ⅰ) f ( x) ? e ? xe ? (1 ? x)e ,???2 分
‘ x x x

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0, f ( x) 在 (??,?1) 内单调递减; 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0, f ( x) 在 (?1,??) 内单调递增. ???4 分
/

又 g ( x) ? 2ax ? 1, 由 g (?1) ? ?2a ? 1 ? 0 得 a ?
/ /

1 . 2

此时 g ( x) ?

1 2 1 1 x ? x ? ( x ? 1) 2 ? , 2 2 2 1 .???6 分 2

显然 g ( x) 在 (??,?1) 内单调递减,在 (?1,??) 内单调递增,故 a ?
x

(Ⅱ)由 f ( x) ? g ( x) ,得 f ( x) ? g ( x) ? x(e ? ax ? 1) ? 0 .???7 分 令 F ( x) ? e ? ax ? 1 ,则 F ( x) ? e ? a .???8 分
x / x

? x ? 0 ,? F ( x) ? e x ? a ? 1 ? a .
若 a ? 1,则当 x ? (0 ? ?) 时, F ( x) ? 0 , F ( x) 为增函数,而 F (0) ? 0 ,
/

从而当 x ? 0, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ;???10 分 若 a ? 1 ,则当 x ? (0, ln a) 时, F ( x) ? 0 , F ( x) 为减函数,而 F (0) ? 0 ,
/

从而当 x ? (0, ln a) 时 F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ,则 f ( x) ? g ( x) 不成立. 综上, a 的取值范围为 (??,1] .???12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D。 (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?

E O D C B

1 , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长。 A 2

(Ⅰ)如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB 是⊙O 的切线 (Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中, ∵ tan∠CED=

1 CD 1 , ∴ = , ∵ AB 是⊙O 的切线, 2 EC 2

∴ ∠BCD=∠E,又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC, ∴

BD CD 1 = = , 设 BD=x,则 BC=2x, BC EC 2
2

又 BC =BD·BE, ∴ (2 x ) =x· ( x+6) , 解得:x1=0,x2=2, ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5 ? 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.

2

? 2 t ?x ? 1? sin ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? ,以极点为 1 ? sin 2 ? ?y ? 2 t ? ? 2
原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (1, 2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值. 解(Ⅰ)直线 l 的极坐标方程 2 ? cos(? ? 曲线 C 普通方程 y ? x 2 ??5 分

?
4

) ? ?1 ,

??3 分

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 2 (Ⅱ)将 ? 代入 y ? x 2 得 t ? 3 2t ? 2 ? 0 ,??8 分 ?y ? 2 t ? ? 2
| MA | ? | MB |?| t1t 2 |? 2
??10 分 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) =|x|+2|x-a|(a>0) . (Ⅰ)当 a=l 时,解不等式 f ( x) ≤4; (Ⅱ)若 f ( x) ≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围

? ?2-3x,x<0, 解: (Ⅰ) f ( x) =|x|+2|x-1|=?2-x, 0≤x≤1, ?3x-2,x>1. ?
当 x<0 时,由 2-3x≤4,得-

2分

2 ≤x<0;当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2; 3 4分 2 ,2]. 5 分 3

当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2. 综上,不等式 f ( x) ≤4 的解集为[-

? ?2a-3x,x<0, (Ⅱ) f ( x) =|x|+2|x-a|=?2a-x,0≤x≤a,7 分 ?3x-2a,x>a. ?
可见, f ( x) 在(-∞,a]单调递减,在(a,+∞)单调递增. 当 x=a 时, f ( x) 取最小值 a.9 分 所以,a 取值范围为[4,+∞) 10 分


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