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北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)数学理试题


东城区普通高中示范校高三综合练习(二) 高三数学(理)2013.3
一、选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 1.设集合 A ? { x x ? 4 ? 0} , B ? { x 2 ? } ,则 A ? B ? (

x

1 4

>


A. x x ? 2

?

?

B.

? x x ? ?2?

C.

? x x ? ?2 或x ? 2?

D. ? x x ?

? ?

1? ? 2?

2 2.已知复数 z ? (a ?1) ? (a ? 2)i ( a ? R ),则“ a ? 1 ”是“ z 为纯虚数”的(



A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 3.在极坐标系中,过点 (3, A. ? ?

D. 非充分非必要条件 )

?
3

) 且垂直于极轴的直线方程( 3 cos ? 2
C.144 C. ? sin ? ? ) D. 300

3 sin ? 2

B. ? ?

3 2

D. ? cos ? ?
开始

3 2

4.如果执行右面的程序框图,那么输出的 t ? ( A.96 B. 120

?y ? x ? 5. 已知 z ? 2 x ? y, x, y 满足 ? x ? y ? 2 , 且z的最大值是最小值的 ?x ? m ?
4倍,则m的值是( )

? 是



输出

1 A. 4

1 B. 5

1 C. 6

1 D. 7

结束 第 4 题图

6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该 四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )

[Z

正视图

侧视图

正视图

侧视图

正视图

侧视图

正视图

侧视图

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

A.

B.

C.
n?7

D.

7.已知数列 {an} 满足 an ? ? 的取值范围是( 1 A.?3,1? ? ? )

?(1 ? 3a)n ? 10a, n ? 6 ?a ,n ? 6

( n ? N* ) ,若 {an} 是递减数列,则实数 a
5 C. ?8,1? ? ? 1 5 D. ?3,8? ? ?

1 1 B.?3,2? ? ?
1

8.已知函数 f ( x ) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ??? 则下列结论正确的是( 2 3 4 2013



A. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有一个零点 C. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有一个零点 二.填空题(每题 5 分,共 6 小题)

B. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个零点 D. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有两个零点

9.已知随机变量 X 的分布列如下,则 EX 的值等于

X

P
10.若双曲线 是 .

1 1 2

2 1 3

3

m

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 3 x 无交点,则离心率 e 的取值范围 a 2 b2
A D O C B

11.如图, 是圆 O 的切线, 切点为 A ,D 点在圆内,DB 与圆相交于 C ,
BC ? DC ? 3 , OD ? 2 , AB ? 6 ,则圆 O 的半径为



.

12.在 ?ABC 中, D 为 BC 中点,若 ?BAC ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 AD 的最小值 是 .

???? ????

????

13.有 6 名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项 活动最多安排 4 人,则不同的安排方法有________种.(用数字作答) 14. 已知直线 l : y ? ax ? 1 ? a(a ? R) , 若存在实数 a 使得一条曲线与直线 l 有两个不同的交点, 且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于 a ,则称此曲线为直线 l 的“绝对曲 线 ” . 下 面 给 出 的 三 条 曲 线 方 程 : ① y ? ?2 x ? 1 ; ② ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ; ③ x2 ? 3 y 2 ? 4 .其中直线 l 的“绝对曲线”有_____.(填写全部正确选项的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin? ?x ?

? ?

??

?? ? 2 ?x , 其中 ? ? sin? ?x ? ? ? 2 cos 6? 6? 2 ?

x ? R ,? ? 0 .
(1)求函数 f (x) 的值域; (2)若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 调增区间.
2

? ,求函数 f (x) 的单 2

16.(本小题满分 13 分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分 析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了 40 名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分 布直方图(如图所示). (1) 试估计这 40 名学生成绩的众数; (2) 试估计这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的人数; (3) 从参加活动的学生中任取 5 人,求这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90? 之间的概率.

频率 组距
0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 60 65 70 75 80 85 90 95 100 分数

17. (本小题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PD ? 底面ABCD ,

AB ? 1 , BC ? 2 , PD ? 3 , G、F 分别为 AP、CD 的中点.
(1)求证: AD ? PC ; (2)求证: FG // 平面 BCP ; (3)线段 AD 上是否存在一点 R ,使得平面 BPR ? 平面 PCB ,若存在,求出 AR 的长; 若不存在,请说明理由.

P

G D A F C

B

3

18. (本小题满分 13 分) 设 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax 3 2

(1)若 f (x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; (2)当 0 ? a ? 2 时, f (x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? 间上的最大值.

2 3

16 ,求 f (x) 在该区 3

19.(本小题满分 14 分) 已知平面内一动点 P 到点 F (0,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的差 等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , l2 与 轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD? EB 的最小值.

4

20.(本小题满分 14 分) 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, an ?(0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3) 具有性 质 P :对 ?i, j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A . (1) 分别判断数集 ?0,1,3?与数集 ?0,2,4,6?是否具有性质 P ,说明理由; (2) 求证: a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n an ; 2

(3) 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a8 ?具有性质 P .证明:数列 a1 , a2 ,?, a8 是等差数列.

5

东城区普通高中示范校高三综合练习(二) 高三数学(理)参考答案 2013.3
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 D 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
题号 9 10 11 12 13 14

答案

5 3

(1,2]

22

2 2

50

②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知函数 f ( x) ? sin ? ?x ? (1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)若函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 单调增区间. 解:(1) f ( x ) ? sin ?x ?

? ?

??

?? ? 2 ?x 其中 ? ? sin ? ?x ? ? ? 2 cos 6? 6? 2 ?

x ? R ,? ? 0 .

? ,求函数 f ( x ) 的 2

3 1 3 1 ? cos?x ? ? sin ?x ? ? cos?x ? ? (1 ? cos?x ) 2 2 2 2

= 3 sin ?x ? cos ?x ? 1 ? 2 sin(?x ? 所以函数 f ( x ) 的值域为 ?? 3,1? (2)由

?
6

) ?1

…………………………………5 分

…………………………………………………7 分 …………………………………………………9 分

1 2? ? ? ? 得? ? 2 2 ? 2

所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 由? 得?

?
6 ?

) ?1

?

?

2

? 2 k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
6

?
2

? 2k?

………………………………………11 分

?
3

6

? k?

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . 3 ? 6 ?

………13 分

6

16.某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛 学生中随机抽取了 40 名学生的成绩, 并根据他们的成绩制作了频率分布直方图 (如图所示) . (1) 试估计这 40 名学生成绩的众数; (2) 试估计这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的人数; (3) 从参加活动的学生中任取 5 人,求这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90? 之间的概率.

频率 组距
0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 60 65 70 75 80 85 90 95 100 分数

解:(1) 77.5; ………………………………………3 分 (2) 所求为:直线 x ? 72 与直线 x ? 84 之间的直方图的面积 ? 40 , 因此, (3 ? 0.035? 5 ? 0.045? 4 ? 0.040) ? 40 ? 19.6 ………………………7 分 ……………8

答:这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的有 20 人.(答 19 人也算对) 分 (3) 设这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90?之间为事件 A , 因为 (0.04 ? 0.02) ? 5 ? 0.3

……………………………………10 分
3

?3? ?7? 所以 P( A) ? C ? ? ? ? ? 0.3087 ? 10 ? ? 10 ?
2 5

2

……………………………………12 分

答:这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90?之间的概率为 0.3087.

………13 分

7

17.

在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 ,

PD ? 底面ABCD , AB ? 1 , BC ? 2 , PD ? 3 ,G、F 分别为
AP、CD 的中点. (1)求证: AD ? PC ; (2)求证: FG // 平面 BCP ; (3)线段 AD 上是否存在一点 R ,使得平面 BPR ? 平面 PCB , 若存在,求出 AR 的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明:? 底面 ABCD 为矩形

P

G D A F C

? AD ? CD

? PD ? 底面ABCD, AD ? 平面ABCD
? AD ? PD

B

? CD ? PD ? D ? AD ?平面PDC

? PC ?平面ABCD ? AD ? PC
(2)证明:取 BP中点 H ,连接 GH, CH

…………………………………4 分

P
? G, F分别为 AP, DC中点

// 1 // 1 ? GH ? AB , FC ? AB 2 2 // ? GH ? FC
?四边形GFCH 是平行四边形,

G D A

H F C

B

? FG // CH , CH ? 平面BCP , FG ? 平面BCP ? FG // 平面 BCP ……………………………………8 分
(3) ? PD ?平面ABCD , D 为坐标原点, DA, DC, DP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、 以 以 z

z 轴建立空间直角坐标系,
假设在线段 AD 上存在一点 R ,使得平面 BPR ? 平面 PCB , 设 R(m,0,0) , C(0,1,0), B(2,1,0), P(0,0, 3)

P

G

CB ? (2,0,0) RB ? (2 ? m,1,0)

PB ? (2,1,? 3)
D

F

C
y

RP ? (?m,0, 3)
A
x

设平面 BCP 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

B

8

?CB ? n1 ? 0 ? , ? ?PB ? n1 ? 0 ?
令 y1 ? 3

?2 x1 ? 0 ? ?2 x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0



n1 ? (0, 3,1)

设平面 BPR 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 )

? RB ? n2 ? 0 ? ? ? RP ? n2 ? 0 ?

?(2 ? m) x 2 ? y 2 ? 0 ? ?? m x2 ? 3 z 2 ? 0

令 x2 ? 1

n2 ? (1, m ? 2,
3 2

m 3

)

? n1 ? n2 ? 0 ? 3( m ? 2) ?

m 3

?0

,解得 m ?

? 线段 AD 上存在点 R ,且当 AR ?

1 时,使得平面 BPR ? 平面 PCB . ……………13 分 2

1 3 1 2 x ? x ? 2ax 3 2 2 (1)若 f (x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f (x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? ,求 f (x) 在该区间上的最大值. 3
18.设 f ( x) ? ? 解答 (1) f ( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ?
' 2 2

1 2

1 ? 2a 4

……………………………2 分

2 ? f (x ) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间 3 2 ? 存在 ( ,?? ) 的子区间 (m, n) ,使得 x ? (m, n) 时 f ' ( x) ? 0 3 2 ? f ' ( x) 在 ( ,?? ) 上单调递减 3 2 1 2 2 ? f ' ( ) ? 0 ,即 f ' ( ) ? ? 2a ? 0 解得 a ? ? 3 9 3 9 1 2 ………………………………6 分 ? 当 a ? ? 时, f (x ) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间 9 3
(2)令 f ( x) ? 0
'

?0 ? a ? 2

? x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ; x2 ? 2 2

? f (x ) 在 (??, x1 ),( x2 ,??) 上单调递减,在 ( x1 , x 2 ) 上单调递增
?0 ? a ? 2

? x1 ? 1 ? x2 ? 4
9

? f (x ) 在 (1, x2 ) 上单调递增,在 ( x2 ,4) 上单调递减
所以 f (x) 的最大值为 f ( x2 )

…………………………………8 分

? f ( 4) ? f (1) ? ?

27 40 16 ? 6a ? 0 ,? f ( 4) ? 8a ? ?? 2 3 3 10 ? f ( x)的最大值为 f ( x2 ) ? f (2) ? 解得 a ? 1, x2 ? 2 3

………………………10 分 ……………………13 分

19.已知平面内一动点 P 到点 F (0,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的差等于 1. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B ,l2 与 轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD ? EB 的最小值. 解析:(1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得 分 化简得 x ? 2 y ? 2 y
2

???? ??? ?

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? y ? 1

……………2

当 y ? 0 时 x 2 ? 4 y ;当 y ? 0 时 x ? 0
2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y 和 x ? 0 ( y ? 0 )

………………………5 分

(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? kx ? 1 . 由 ?

? y ? kx ? 1 得x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 2 ? x ? 4y

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则

x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4 , y1 ? y2 ? 4k 2 ? 2, y1 y2 ? 1
因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ?

…………………………7 分

1 .设 D( x3 , y3 ), E ( x4 , y4 ) ,则同理可得 k 4 4 x 3 ? x 4 ? ? , x 3 x 4 ? ?4 , y3 ? y4 ? 2 ? 2, y3 y4 ? 1 …………………………8 分 k k

10

AD ? EB ? ( AF ? FD) ? ( EF ? FB) ? AF ? EF ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD ? FB ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD EF ? AF FB ? ( y3 ? 1)( y 4 ? 1) ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1)

? y3 y4 ? ( y3 ? y4 ) ? 1 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1
? 8 ? 4k 2 ?

…………………………………11 分

4 1 ? 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ? 8 ? 4 ? 2 ? 16 2 ……………………………13 分 k k ???? ??? ? 1 2 当且仅当 k ? 2 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. …………………………14 分 k
20 . 已 知 数 集 A ? ?a1 , a2 ,?, an ?(0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3) 具 有 性 质 P : 对

?i, j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A .
(1) 分别判断数集 ?0,1,3?与数集 ?0,2,4,6?是否具有性质 P ,说明理由; (2) 求证: a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n an ; 2

(3) 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a8 ?具有性质 P .证明:数列 a1 , a2 ,?, a8 是等差数列. 解: (1) 由于 3 ? 1 和 3 ? 1 都不属于集合 ?0,1,3?,所以该集合不具有性质 P ;由于 2 ? 0 、4 ? 0 、

6 ? 0 、 4 ? 2 、 6 ? 2 、 6 ? 4 、 0 ? 0 、 2 ? 2 、 4 ? 4 、 6 ? 6 都属于集合 ?0,2,4,6?,
所以该数集具有性质 P . …………………………………………4 分 (2) ? A ? ?a1 , a2 ,?, an ? 具有性质 P ,所以 a n ? a n 与 a n ? a n 中至少有一个属于 A 由 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,有 a n ? a n ? a n ,故 an ? an ? A

?0 ? an ? an ? A ,故 a1 ? 0 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ? ak ? an ,故 an ? ak ? A(k ? 2,3,?, n)
由 A 具有性质 P 知, an ? ak ? A(k ? 2,3,?, n) 又? an ? an ? an ? an?1 ? ? ? an ? a2 ? an ? a1 ,

? an ? an ? a1 , an ? an?1 ? a2 ,…, an ? a2 ? an?1 , an ? a1 ? an
11

从而 (an ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? ? (an ? a2 ) ? (an ? a1 ) ? a1 ? a2 ? ? ? an 故 2(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? nan ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (3) 由(2)可知, ai ? an?1?i ? an (i ? 1,2,?, n)

n an 2

……………………8 分

? ai ? a9?i ? a8 (i ? 1,2,?,8) …………………………①
由 a2 ? a7 ? a8 知, a3 ? a7 , a 4 ? a7 ,…,, a7 ? a7 均不属于 A 由 A 具有性质 P , a7 ? a3 , a7 ? a 4 ,…,, a7 - a7 均属于 A

? a7 ? a7 ? a7 ? a6 ? ? ? a7 ? a4 ? a7 ? a3 ? a8 ? a3 ? a8 ? a3 ? a6 ? a7 ? a7 ? 0 , a7 ? a6 ? a2 , a7 ? a5 ? a3 ,…, a7 ? a3 ? a5
即 ai ? a8?i ? a7 (i ? 1,2,?,7) …………………………② 由①②可知 ai ? a8 ? a9?i ? a8 ? (a7 ? ai ?1 )(i ? 1,2,?,8)

? a8 ? a7 ? ai ? ai ?1 (i ? 1,2,?,8)
故 a1 , a2 ,?, a8 构成等差数列. …………………………………13 分

12


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