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【跃渊风暴】【恒心】数学高考满分冲刺-随机变量及其分布列


§3 随机变量及其分布列 真题热身
1.(2011· 辽宁,改编)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A =“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均

1 为偶数”,则 P(B|A)=________. 4

C2+C2 2 C2 1 3 2 2 解析 P(A)= C2 =5,P(AB)=C

2=10,
5 5

P(AB) 1 P(B|A)= = . P(A) 4

2.(2011· 重庆)将一枚均匀的硬币抛掷 6 次,则正面出现的次数

11 比反面出现的次数多的概率为________. 32
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以 出现 4 次,5 次或 6 次,所求概率 ? ? ? ? ? ? 11 4 1 6 51 6 61 6 ? ? +C6? ? +C6? ? = . P=C6 32 ?2? ?2? ?2?

3.(2010· 湖北)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

0.4 已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________.
解析 ∵E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y=7(0.6-y)+

10y+3.5=7.7+3y, ∴7.7+3y=8.9, ∴y=0.4.

4.(2010· 安徽)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中 有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球 放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由 乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是 ________(写出所有正确结论的编号). 2 5 ①P(B)= ;②P(B|A1)= ;③事件 B 与事件 A1 相互独立; 5 11 ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为 它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关.

5×5 2×4 解 析 P(B) = P(BA1) + P(BA2) + P(BA3) = + + 10×11 10×11 3×4 9 = ,故①⑤错误; 10×11 22 5×5 10×11 5 ②P(B|A1)= = ,正确; 1 11 2 ③事件 B 与 A1 的发生有关系,故错误; ④A1,A2,A3 不可能同时发生,是互斥事件.

答案

②④

考点整合
1.互斥事件与对立事件的关系 (1)对立是互斥,互斥未必对立; (2)如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A,B 中有一 个发生)的概率,等于事件 A,B 分别发生的概率的和,即 P(A +B)=P(A)+P(B).这个公式称为互斥事件的概率加法公式. (3)在一次试验中,对立事件 A 和 A 不会同时发生,但一定有 一个发生,因此有 P( A )=1-P(A). 2.条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率: P(AB) P(B|A)= . P(A)

3.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B). 4.独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么它在 n 次独 立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,?,n. n 5.离散型随机变量的概率分布 (1)设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,X 取每一个值 xi 的概率为 P(X=xi)=pi,则称下表: X P x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

为离散型随机变量 X 的概率分布表. (2)离散型随机变量 X 的分布列具有两个性质:①pi≥0,②p1 +p2+?+pi+?=1(i=1,2,3,?).

6.常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 概率分布表为(其中 0<p<1) ξ P (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中, 事件 A 发生的次数 X 是一个随机变量,
k 其所有可能取的值为 0,1,2,3,?,n,并且 P(X=k)=Cnpkqn
-k

0 1-p

1 p

(其中 k=0,1,2,?,n,0<p<1,q=1-p). 则称这样的随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布, 记为 X~ B(n,p).

7.离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量 X 的概率分布表为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xnpn 为 X 的数学期望, 简称期望. V(X)=(x1 -E(X))2·1+(x2-E(X))2·2+?+(xn-E(X))2·n 叫 p p p 做随机变量 X 的方差.

分类突破
一、互斥事件与相互独立事件 例 1 甲、乙、丙三人组成一组,参加一个闯关游戏团体赛.三 1 人各自独立闯关,其中甲闯关成功的概率为 ,甲、乙都闯关 3 1 1 成功的概率为 ,乙、丙都闯关成功的概率为 ,每人闯关成 6 5 功记 2 分,三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率; (2)求团体总分为 4 分的概率; (3)若团体总分不小于 4 分,则小组可参加复赛.求该小组参 加复赛的概率.



(1)设乙闯关成功的概率为 P1,丙闯关成功的概率为 P2,

因为乙、丙独立闯关,根据独立事件同时发生的概率公式得: 1 ?1 ?3P1=6 1 2 ? ,解得 P1= ,P2= . 2 5 1 ?P1· 2= P 5 ? 1 2 所以乙闯关成功的概率为 ,丙闯关成功的概率为 . 2 5 (2)团体总分为 4 分,即甲、乙、丙三人中恰有 2 人过关,而另外 一人没过关. 设“团体总分为 4 分”为事件 A, 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 则 P(A)=(1- )× × + ×(1- )× + × ×(1- )= . 3 2 5 3 2 5 3 2 5 10 3 所以团体总分为 4 分的概率为 . 10

(3)团体总分不小于 4 分,即团体总分为 4 分或 6 分, 设“团体总分不小于 4 分”为事件 B, 3 由(2)知团体总分为 4 分的概率为 . 10 1 1 2 1 团体总分为 6 分,即 3 人都闯关成功的概率为 × × = . 3 2 5 15 3 1 11 所以参加复赛的概率为 P(B)= + = . 10 15 30 11 所以该小组参加复赛的概率为 . 30

归纳拓展

1.在解决互斥事件与相互独立事件的概率问题时,首

先要注意互斥事件与相互独立事件的区别和运用场合. 互斥事件 是指两个事件 A、B 在某个试验中不可能同时发生的情况,亦即 P(AB)=0 的情况;相互独立事件 A′、B′当然可以同时发生, 而且常指可同时发生的情况下,事件 A′发生与否不影响 B′发 生的概率(反之亦如此).相互独立事件同时发生的概率公式为 P(A′· B′)=P(A′)· P(B′);互斥事件 A、B 至少一个发生的概 率公式为 P(A+B)=P(A)+P(B). 2.如果一个问题包含的正面情况比较多,反面情况比较少,则 一般利用对立事件进行求解, 即先求出欲求概率的事件的对立事 件的概率, 再得到欲求事件的概率, 一般地, “至少”、 “至多” 等问题往往会用到这种方法求解.

2 变式训练 1 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 3 3 .假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响;每人各次射 4 击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目 标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则中止其射击.则乙恰好 射击 5 次后被中止射击的概率是多少?



(1)甲至少有一次未击中目标的概率 P1 为

P1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4) ?2 ? ?1 ? 65 =1-P4(0)=1-? ?4? ?0= . 81 ?3 ? ?3 ? (2)甲射击 4 次恰击中 2 次的概率为 ? ? ? ? 8 22 21 2 ? ? ? ? = , P2=C4 27 ?3 ? ?3 ? 乙射击 4 次恰击中 3 次的概率为 ? ? 1 27 33 3 ? ? × = , P3=C4 4 64 ?4 ? 8 27 1 即所求概率为 P=P2P3= × = . 27 64 8 (3)乙恰好 5 次停止射击, 则最后两次未击中, 前三次或都击中或 第一与第二次恰有一次击中,第三次必击中,故所求概率为 ?3 ?3?1 ?2 ? ? ? ? 45 13 21 3 ? ? ? ? +C2? ? ? ? = P= . 4 ? ?4 ? 4 ? ?4 ? 1 024 ? ?

二、离散型随机变量的期望、方差 例 2 (2011· 天津)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里 装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机 摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏 结束后将球放回原箱) (1)求在 1 次游戏中, ①摸出 3 个白球的概率; ②获奖的概率. (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的概率分布表及数学期望 E(X).



(1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球 ”为事件 Ai 2 C3 C1 1 2 (i=0,1,2,3),则 P(A3)= 2· 2= . C5 C3 5 ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3, 2 1 C2 C2 C1C2 C1 1 3 3 2 又 P(A2)= 2· 2+ 2 · 2= ,且 A2,A3 互斥, C5 C3 C5 C3 2 1 1 7 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = . 2 5 10 (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 7 2 9 P(X=0)=(1- ) = , 10 100 7 21 1 7 P(X=1)=C2· · (1- )= , 10 10 50 7 49 P(X=2)=( )2= . 10 100

所以 X 的概率分布表是 0 1 2 9 21 49 P 100 50 100 9 21 49 7 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× = . 100 50 100 5 X

归纳拓展

(1)求离散型随机变量的概率分布表的关键是正

确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件, 然后综合应 用各类求概率的公式,求出概率. (2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的 概率分布表,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式 求解.

变式训练 2 口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白球,甲、 乙两人依规则从袋中有放回地摸球,每次摸出一个,规则如 下:①若一方摸出一个红球,则此人继续进行下一次摸球; 若一方摸出一个白球,则换成对方进行下一次摸球;②每一 次摸球彼此相互独立,并约定由甲开始进行第一次摸球.在 前三次的摸球中分别求: (1)乙恰好摸到一次红球的概率; (2)甲至少摸到一次红球的概率; (3)甲摸到红球的次数 X 的概率分布表及数学期望.



记“甲摸球一次摸出红球”为事件 A,“乙摸球一次摸出红

球”为事件 B,则 4 1 P(A)=P(B)= = , 4+8 3 2 P( A )=P( B )= ,且事件 A,B 相互独立. 3 (1)在前三次摸球中,乙恰好摸到一次红球的概率为 1 2 1 2 1 2 2 P′=P(A A B)+P( A B B )= × × + × × = . 3 3 3 3 3 3 9 (2)因为甲在前三次摸球中,没有摸到红球的概率为 2 1 2 3 14 P1=P( A · B)+P( A · · )= × +( ) = , B A 3 3 3 27 所以甲至少摸到一次红球的概率为 14 13 P2=1-P1=1- = . 27 27

(3)根据题意,X 的可能取值为 0,1,2,3,则 2 1 2 3 14 P(X=0)=P( A · B)+P( A · · )= × +( ) = , B A 3 3 3 27 P(X=1)=P(A· )+P( A · · A B A) 1 2 2 2 1 10 = × +( ) × = , 3 3 3 3 27 1 2 2 P(X=2)=P(A· A )=( )2× = , A· 3 3 27 13 1 P(X=3)=P(A· A)=( ) = . A· 3 27 故 X 的概率分布表为 1 2 3 10 2 1 P 27 27 27 14 10 2 1 17 数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 27 X 0 14 27

三、随机变量及概率分布的综合应用 例 3 (2011· 江西)某饮料公司招聘了一名员工,现对某进行一项 测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对,则月工资定为 3 500 元;若 4 杯选 对 3 杯, 则月工资定为 2 800 元; 否则月工资定为 2 100 元. 令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料 没有鉴别能力. (1)求 X 的概率分布表; (2)求此员工月工资的期望.



(1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. Ci4C4-i 4 P(X=i)= (i=0,1,2,3,4). 4 C8 即 X 0 1 2 3 4 1 8 18 8 1 P 70 35 35 35 70 (2)令 Y 表示此员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2 100, 2 800,3 500. 1 则 P(Y=3 500)=P(X=4)= , 70 8 P(Y=2 800)=P(X=3)= , 35 53 P(Y=2 100)=P(X≤2)= . 70 1 8 53 E(Y)=3 500× +2 800× +2 100× =2 280. 70 35 70 所以此员工月工资的期望为 2 280 元.

归纳拓展 离散型随机变量的概率分布、期望与方差问题往往是 以实际应用性问题形式出现,理解题意是解题关键,运用分类讨 论思想进行思考,通过合理分类寻找随机变量的可能取值,准确 计算随机变量相应的概率,因此努力培养阅读理解能力,准确迅 速的运算能力和分析问题、解决问题的能力十分重要.

变式训练 3 (2011· 湖南)某商店试销某种商品 20 天, 获得如下 数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变), 设某 天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货, 若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进 ... .. 货,将频率视为概率. . (1)求当天商店不进货的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的概率分 布表和数学期望.



(1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天 1 5 3 商品销售量为 1 件)= + = . 20 20 10 (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; 20 4 P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件) 1 9 5 3 +P(当天商品销售量为 3 件)= + + = . 20 20 20 4 所以 X 的概率分布表为 2 3 1 3 P 4 4 1 3 11 故 X 的数学期望为 E(X)=2× +3× = . 4 4 4 X

规范演练
一、填空题 1.(2011· 浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三 个公司投递了个人简历. 假定该毕业生得到甲公司面试的概率 2 为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否 3 让其面试是相互独立的,记 X 为该毕业生得到面试的公司个 1 数. P(X=0)= , 若 则随机变量 X 的数学期望 E(X)=______. 12

解析

1 1 1 由题意知 P(X=0)= (1-p)2= ,∴p= . 3 12 2

随机变量 X 的概率分布表为: X 0 1 2 3 1 1 5 1 P 12 3 12 6 1 1 5 1 5 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 12 3 12 6 3 5 答案 3

1 2 2 2 2 2.已知一组正数 x1,x2,x3,x4 的方差为 S = (x1+x2+x3+x4- 4
2

4 16), 则数据 x1+2, 2+2, 3+2, 4+2 的平均数为________. x x x
解析 设 x1,x2,x3,x4 的平均值为 x , 1 2 则 s =4[(x1- x )2+(x2- x )2+(x3- x )2+(x4- x )2] 1 2 2 2 2 = (x1+x2+x3+x4-4 x 2). 4 ∴4 x 2=16,∴ x =2, ∴x1+2,x2+2,x3+2,x4+2 的平均数为 4.

3. 某人 5 次上班途中所花的时间(单位: 分钟)分别为 x, y,10,11.9.

4 已知这组数据的平均数为 10, 方差为 2, 则|x-y|的值为_____. 1 解析 由平均数为 10,得(x+y+10+11+9)× =10,则 5
x+y=20,又由于方差为 2,则[(x-10)2+(y-10)2+(10 1 2 2 2 -10) +(11-10) +(9-10) ]×5=2 得 x2 + y2 = 208,2xy = 192 , 所 以 有 |x - y| = x2+y2-2xy=4. (x-y)2 =

4.(2011· 浙江改编)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本, 物理书 1 本, 若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层

2 上,则同一科目的书都不相邻的概率是________. 5

解析

第一步先排语文书有 A2=2(种)排法.第二步排物理 2

书,分成两类.一类是物理书放在语文书之间,有 1 种排 法, 这时数学书可从 4 个空中选两个进行排列, A2=12(种) 有 4 排法;一类是物理书不放在语文书之间有 2 种排法,再选 一本数学书放在语文书之间有 2 种排法,另一本有 3 种排 法.因此同一科目的书都不相邻共有 2×(12+2×2×3)=
5 48(种)排法,而 5 本书全排列共有 A5=120(种),所以同一 48 2 科目的书都不相邻的概率是120=5.

5 5. 设随机变量 X~B(2, Y~B(4, 若 P(X≥1)= , P(Y≥1) p), p), 则 9

65 81 =________.
解析 ∵X~B(2,p), ∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C1p(1-p)+C2p2 2 2 5 2 2 2 =2p-2p +p =2p-p = , 9 1 ∴p= . 3 1 ∴Y~B(4,3), ? ? 16 0 2 4 ? ? = , P(Y=0)=C4 3 81 ? ? 65 ∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=81.

1 6.高二某班共有 60 名学生,其中女生有 20 名,三好学生占 , 6 而且三好学生中女生占一半. 现在从该班同学中任选一名参加 某一座谈会. 则在已知没有选上女生的条件下, 选上的是三好

1 学生的概率为________. 8
解析 设事件 A 表示“任选一名同学是男生”;事件 B 为 “任取一名同学为三好学生”,则所求概率为 P(B|A). 40 2 5 1 依题意得 P(A)=60=3,P(AB)=60=12. 1 P(AB) 12 1 故 P(B|A)= = 2 =8. P(A) 3

7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球 16 中至多命中一次的概率为 ,则该队员每次罚球的命中率为 25
3 5 ________.

16 解析 设此队员每次罚球的命中率为 p,则 1-p =25, 3 ∴p= . 5
2

8.随机变量 X 的概率分布表为

X P

0 m

1 n
2

,其中

1-m m-m m∈(0,1),则 E(X)=________,V(X)=________.

解析 由分布列可得 m+n=1,所以 E(X)=1-m, V(X)=m-m2.

二、解答题 9.(2011· 重庆)某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区.设每 位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区 的房源是等可能的.求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 X 的概率分布表与数学期望.

解 (1)方法一 所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人 申请 A 片区房源的申请方式有 C2·2 种,从而恰有 2 人申 4 2 请 A 片区房源的概率为 C2·2 8 4 2 34 =27.

方法二

设对每位申请人的观察为一次试验, 这是 4 次独立重复 1 试验.记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)= . 3 从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知, ? ? ? ? 8 21 22 2 ? ? ? ? = . 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 P4(2)=C4 27 ?3 ? ?3 ? 3 1 (2)X 的所有可能值为 1,2,3.又 P(X=1)= 4= , 3 27 C2(C1C3+C2C2) 14? C2(24-2) 14? 3 2 4 4 2 ? ? P(X=2)= = ?或P(X=2)= 3 4 4 = ?, 3 27? 3 27? 1 C1C2C2 4? C2A3 4? 3 4 4 3 P(X=3)= = ?或P(X=3)= 4 = ?. 4 3 9? 3 9? 综上知,X 的概率分布表为 1 2 3 1 14 4 P 27 27 9 1 14 4 65 从而有 E(X)=1× +2× +3× = . 27 27 9 27 X

10.由于某高中建设了新校区,为了交通方便要用三辆通勤车从 新校区把教师接到老校区,已知从新校区到老校区有两条公 1 3 路,汽车走公路①堵车的概率为 ,不堵车的概率为 ;汽车 4 4 走公路②堵车的概率为 p,不堵车的概率为 1-p,若甲、乙 两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公路②,且三辆 车是否堵车相互之间没有影响. 7 (1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 ,求走公路② 16 堵车的概率; (2)在(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数 X 的概率分 布表和数学期望.

7 解 (1)由已知条件得 ,即 3p=1, 44 4 16 1 1 1 则 p= ,∴p 的值为 .即走公路②堵车的概率为 . 3 3 3 3 3 2 3 (2)X 可能的取值为 0,1,2,3,P(X=0)= × × = , 4 4 3 8 1 3 2 3 3 1 7 1 P(X=1)=C2× × × + × × = , 4 4 3 4 4 3 16 1 1 2 1 3 1 1 1 P(X=2)= × × +C2× × × = , 4 4 3 4 4 3 6 1 1 1 1 P(X=3)= × × = . 4 4 3 48 X 的概率分布表为 1 2 3 7 1 1 P 16 6 48 3 7 1 1 5 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 8 16 6 48 6 X 0 3 8

32 113 C2··· (1-p)+( ) · p=

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