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1.2.3 直线与平面的位置关系(1)


高中数学 必修2

情境问题:
前面我们认识了异面直线,就是说两条直线不同在任一平面内, 换句话说,a与b是两条异面直线,a??,则b??.
从上句话中可知,直线与平面有哪几种位置关系? b a

?
直线在平面内,如a??
直线与平面的位置关系 直线不在平面内,如b?? 直线与平面相交 直线与平面

平行

数学建构:
在如图所示的长方体中,棱A1B1(或A1D1)所在的直线与平面AC没有 公共点,对角线A1C(或棱AA1)所在的直线与平面AC有且只有一个公共点, 棱AD所在的直线与平面AC有无数个公共点. D1 C1 B1 如果一条直线a和一个平面?没有公共点, 我们就说直线a与平面?平行,记a∥?. 如果直线a与平面?有且只有一个公共点, 我们就说直线a与平面?相交,记a∩?. D A B C 如果直线a与平面?有无数个公共点,我 们就说直线a在平面?内,记a?? .

A1

直线与平面的位置关系:
公共点个数 没有公共点 有且只有一个 有无数个 位置关系 直线AB与平面?平行 直线l与平面?交于P点 直线AB在平面?内 图形语言 图2 图1 图3 符号语言 AB∥? l∩?=P AB??

?

P

A ? a? ?

B

A?

B

思考:我们利用公理1可以判定直线在平面内或与平面相交, 如何判定直线与平面平行呢?

数学建构:
直线与平面平行的判定定理:

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线 和这个平面平行.
a a? ? b? ? a∥ b 线线平行 ? 线面平行 ? a∥ ? b

?

注意:面外,面内,平行,三者缺一不可!

数学应用:
例1.如图,已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB,AD的中点.
求证:EF∥平面BCD. A

E

F D

B C 思考:若EF∥平面BCD,是否有EF∥BD呢?为什么?

数学建构:
直线与平面平行的性质定理:

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就和交线平行.
a∥ ? a? ? ? a∥ l l

?
a

?l∩ ? =l ??
线面平行?线线平行

?

注意:平面不可缺失!

数学应用:
例2.如图是一四面体ABCD,用平行于一组对棱AC、BD的平面截此四 面体得截面PQMN,求证:四边形PQMN是平行四边形. A

M

Q D

B N

P C

数学应用:
练习: (1)如果直线a∥b,且a∥平面?,则b与?的位置关系是 . (2)过平面外一点,与这个平面平行的直线有 条. (3)P是异面直线a,b外一点,过点P可作 个平面与a,b都平行. (4)如图,P是ABCD所在平面外一点,E,F分别在PA,BD上,且PE∶EA= BF∶FD.求证:EF∥平面PBC.

P
E D F C

A

B

数学应用:
练习.如图,P为平行四边形ABCD所在的 平面外一点.

M,N O 分别是PD,PC AC的中点.试判断 的中点.判断MO MN 与平面 与四棱锥 PAB的关系. P-ABCD各面的位置关系.
P

N N A L B O C

M

D

数学应用:
例3.如图,?∩?=CD,?∩?=EF,?∩?=AB,AB∥?. 求证:CD∥EF. 变式:如图,?∩?=CD,?∩?=EF,?∩?=AB,CD∥EF. 求证: AB∥?. B A F ? ? C D ?

E

数学应用:
思考. 求证:若一直线与两相交平面都平行,则这条直线与两平面的交线平行 .

?

a

?
l

小结:
直线与平面的位置关系
公共点个数 位置关系 图形语言 符号语言 AB∥? l∩?=P AB??

没有公共点 有且只有一个 有无数个

直线AB与平面?平行 直线l与平面?交于P点 直线AB在平面?内

直线与平面平行的判定定理 a? ? b? ? a∥ b

直线与平面平行的性质定理

? a∥ ?

a∥ ? a? ?

? a∥ l

?∥ ? = l
线面平行?线线平行

线线平行 ? 线面平行

作业:
P41习题1.2(2)1,3.


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