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江苏省宿迁市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


宿迁市 2015~2016 学年度第一学期期末考试高一数学试卷
(考试时间 120 分钟,试卷满分 160 分)
注意事项: 1.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方. 2.答题时,使用 0.5 毫米的黑色 中性(签字)笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 无效.请保持卡面清洁,不折叠,不破损. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.计算: cos120? 的值是
?



. ▲ . ▲ ▲ . .

2.已知幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点(9,3) ,则 ? 的值为

3.在平面直角坐标系中,已知角 ? 的终边经过点 P(3,?2) ,则 tan ? 的值为 4.已知集合 A ? ?3,9? , B ? ? a, ??? .若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 5.函数 f ( x ) ?

x ?1 ?

1 的定义域是 x?2





6.已知向量 a ? (4, 2) , b ? (3,-1) ,则向量 a 与 b 的夹角为 7.扇形的 半径为 6 ,圆心角为

▲ .



? ,则此扇形的面积为 3




?2? ?9? 8.计算: ? ? ? 3 ? ? ? ?3? ?4?

0

?

1 2

? (lg 4 ? lg 25) 的值是

. .

9. 若方程 lg( x ? 1) ? x ? 3 ? 0 在区间 (k , k ? 1) 内有实数根,则整数 k 的值为 ▲ 10.已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x ? 4, x ? 10, ,则 f ? 4 ? 的值为 ? ? f ? x ? 5 ? , x ? 10





11.已知向量 a ? (2,sin ? ), b ? (1, cos? ) ,若 a / / b ,则

sin 2 ? 的值为 1 ? cos2 ?





? 1 ?? , x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? sin x , g ( x) ? ? x ? ?lg x, x ? 0
[?2?, 4?] 内的零点个数为
▲ .

13.将函数 f ( x) ? cos x 图象上每一点的横坐标变为原来的 再将得到的图象向右平移 为 ▲ .

1

?

(? ? 0) 倍(纵坐标不变),

π π 个单位长度,所得图象关于直线 x ? 对称, 则 ? 的最小值 12 4
▲ .

14. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? a ( a 为常数) . 若 f ( x) 的最小值为 6, 则 a 的值为

二、解答题:本大题共 6 小题,15—17 每题 14 分,18—20 每题 16 分,共计 90 分.请在 答题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .......... 15.已知函数 f ( x) ? sin x 的值域为集合 A ,集合 B ? [ , ?? ) ,全集 U=R . (1)求 A ? B ; (2)求

1 2



16.已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? ) 在 x ? (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)若 f (? ?

π 时取得最大值 4,其中 A ? 0,0 ? ? ? π . 12

π 12 ) ? ,求 cos(3? ? ?) 的值. 12 5

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,1) , B(4,5) , C (?1, ?1) . (1)求以线段 AB, AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)若向量 AC ? tOB 与向量 OB 垂直,求实数 t 的值.

??? ?

??? ?

18.已知物体初始温度是 T0 ,经过 t 分钟后物体温度是 T ,且满足 T ? T? ? (T0 ? T? )? 2?kt , ( T? 为室温, k 是正常数) .某浴场热水是由附近发电厂供应,已知从发电厂出来的

95? C 的热水,在 15? C 室温下,经过 100 分钟后降至 25? C . (1)求 k 的值; ? ? ? (2) 该浴场先用冷水将供应的热水从 95 C 迅速降至 55 C , 然后在室温 15 C 下缓慢降 ? ? 温供顾客使用. 当水温在 33 C 至 43 C 之间, 称之为 “洗浴温区” . 问: 某人在 “洗
浴温区”内洗浴时,最多可洗浴多长时间?(结果保留整数) (参考数据: 2
?0.5

? 0.70 , 2?1.2 ? 0.45 )

19.已知函数 f ( x) ? ln

x ?1 . x ?1

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并给出证明; (2)解不等式: f ( x2 ? x ? 3) ? f (?2x2 ? 4x ? 7) ? 0 ; (3)若函数 g ( x) ? ln x ? ( x ? 1) 在 (1,??) 上单调递减,比较

f (2) ? f (4) ? ? ? f (2n) 与 2 n ? n ? N * ? 的大小关系,并说明理由.
2

20.已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ? a 的最小值为 0 , a ? R .记函数 g ( x ) ? (1)求 a 的值;

f ( x) . x

x x ?1 (2) 若不等式 g 2 ? m ? 2 ? 0 对任意 x ?? ?1,1? 都成立,求实数 m 的取值范围;

? ?

(3) 若关于 x 的方程 g ?| f ( x) ? 1| ? ? k ? k ? 数 k 的取值范围.

2 有六个不相等的实数根,求实 | f ( x) ? 1|

数学参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. ? 6. 11.

1 ; 2

2.

1 ; 2

3. ?

2 ; 3

4.

? ??,3? ;
9. 2 ;

5. {x | x ? 1 且 x ? 2} ; 10. 10 ;

? ; 4

7. 6 π ;

8. 5 ;

2 ; 12. 5 ; 13. 6 ; 14. ? 10 或 10 . 3 二、解答题:本大题共 6 小题,15—17 每题 14 分,18—20 每题 16 分,共计 90 分.请在答 .
题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ......... 15. (1)由题意知: A ? ? ?1,1? , ????????3 分 ?1 ? 所以 A ? B ? ? ,1? . ????????7 分 ?2 ? (2) A ? B ? ? ?1, ?? ? 所以 CU ( A ? B) ? ? ??, ?1? . 16.(1)因为函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? ) 在 x ? ????????10 分 ??????14 分

? 时取得最大值 4 且 A ? 0 . 12

? A ? 4, ? ? ? 所以 ? ,所以 ? ? ? ? 2k ? (k ? Z ) , ? 4 2 A ? A sin(3 ? ? ? ) ? ? 12
又因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

? , 4

??????? 3 分

? 即 f ( x) ? 4sin(3x ? ) . 4 ? ? ? 令 ? ? 2k ? ? 3x ? ? ? 2k ?, k ? Z , 2 4 2 ? 2k ? ? 2k ? 得? ? ?x? ? ,k ?Z . 4 3 12 3
所以函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 [ ? (2)因为 f (? ? ???????5 分 ????? 7 分

? 2k ? ? 2k ? ? , ? ], k ? Z . ???8 分 4 3 12 3

?
12

) ? 4sin[3 ? (? ?

? ? ? 12 ) ? ] ? 4sin(3? ? ) ? 4cos3? ? , 12 4 2 5
???????11 分 ???????14 分 ???????2 分 ???????4 分

所以 cos3? ?

3 . 5

3 因此 cos(3? ? ?) ? ? cos3? ? ? . 5 ???? ??? ? 17.(1) AB ? (2,4) , AC ? (?3, ?2) ,
由 AB ? AC ? (?1,2) ,得 | AB ? AC |? 5 ,

由 AB ? AC ? (5,6) ,得 | AB ? AC |? 61 .

??? ? ??? ?

???????6 分

故以线段 AB, AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为 5 , 61 . ??7 分
???? ??? ? (2) OB ? (4,5) ,由向量 AC ? tOB 与向量 OB 垂直,

???? ??? ? ??? ? 得 AC ? tOB ? OB ? 0 ,

?

?

????????10 分

??? ? ??? ? 又因为 AC ? tOB ? ? ?3, ? 2? ? t ? 4, 5? ? ? ?3 ? 4t, ?2 ? 5t ? ,
所以 ? -3 ? 4t ? 4? ? ? ?2 ? 5t ? ? 5 ? 0 , 所以 t ? ? ????????13 分 ??????14 分

22 . 41

18.(1)将 T? =15, T0 =95, T =25, t ? 100 代入 T ? T? ? (T0 ? T? )? 2?kt , 得 25 ? 15 ? (95 ?15)? 2?100k , 整理得 2
?100 k

?????3 分 ?????6 分

1 3 ? =2-3 ,解得 k ? . 8 100

(2)此时 T0 ? 55 ,代入 T ? T? ? (T0 ? T? )? 2?kt , 得 T ? 15 ? (55 ? 15)? 2
? 3 t 100

? 15 ? 40? 2
? 3 t 100

?

3 t 100



??????9 分

2 由题意,令 33 ? 15 ? 40?
整理得 0.45 ? 2 因为 2 解得
?0.5

? 43 , (有无等号均不扣分) ??????12 分

?

3 t 100

? 0.7 ,
?1.2

? 0.70 , 2

? 0.45 ,所以 2

?1.2

?2

?

3 t 100

? 2?0.5 ,
??????15 分

50 ? t ? 40 . 3

所以某人在“洗浴温区”内最多洗浴时间是 40 ? 19.(1)函数 f ( x) 为奇函数. 证明如下: 由

50 ? 23 (分钟). ????16 分 3
??????1 分

x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1 x ?1
??????2 分

所以函数的定义域为 (??,?1) ? (1,??) 对任意的 x ? (??, ?1) ? (1, ??) , 有 f (? x) ? ln

?x ? 1 x ?1 ? x ?1? ? x ?1? ? ln ? ln ? ? ? ? ln ? ? ? ? f ( x) , ?x ? 1 x ?1 ? x ?1? ? x ?1?

?1

??????4分 x ?1 x ?1 ? ln 2 (2)任取 x1 , x2 ? (1,??) ,且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln 1 x1 ? 1 x2 ? 1
? ln ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)

所以函数 f ( x) 为奇函数.

? ln

x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 1 , x1 ? x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1

??????5分

因为 x2 ? x1 ? 1 , 所以 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ?1 ? x1 ? x2 ? ? x2 ? x1 ? ?1 ? 0 , 所以

x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 1 ? 1, x1 ? x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

所以函数 y ? f ( x) 在 (1,??) 单调递减;???7分

由 f ( x2 ? x ? 3) ? f (?2x2 ? 4x ? 7) ? 0 得: f ( x2 ? x ? 3) ? ? f (?2 x2 ? 4 x ? 7) , 即 f ( x2 ? x ? 3) ? f (2 x2 ? 4 x ? 7) ,
1 ? 11 2 ? 又 x 2 ? x ? 3 ? ? x ? ? ? ? 1 , 2x2 ? 4x ? 7 ? 2 ? x ? 1? ? 5 ? 1 , 2 4 ? ?
2

所以 x 2 ? x ? 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 7 , 解得: x ? 1 或 x ? 4 , 所以原不等式的解集为: ? ??,1? ? ? 4, ??? .
* (3) f (2) ? f (4) ? ? ? f (2n) ? 2n n ? N .理由如下:

??????9分

??????10分 ??????11分

?

?

3 5 7 2n ? 1 因为 f (2) ? f (4) ? ? ? f (2n) ? ln( ? ? ? ?? ) ? ln(2n ? 1) , 1 3 5 2n ? 1
所以 f (2) ? f (4) ? ? ? f (2n) ? 2n ? ln(2n ? 1) ? 2n ? ln(2n ? 1) ? ? ?? 2n ? 1? ? 1? ? ,?13分 又 g ( x) ? ln x ? ( x ? 1) 在 (1,??) 上单调递减, 所以当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 所以 g (2n ? 1) ? 0 , 即 ln(2n ? 1) ? ? ?? 2n ? 1? ? 1? ??0,
* 故 f (2) ? f (4) ? ? ? f (2n) ? 2n n ? N .

??????15分

?

?

??????16分

20. (1) f ? x ? ? x ? 2 x ? a = ? x ? 1? ? a ? 1 ,
2 2

所以当 x ? 1 时 f ? x ? 取最小值 a ? 1 ,

令 a ?1 ? 0 ,

解得: a ? 1 .

??????3 分

(2) 由已知可得 g ? x ? ?

f ( x) 1 ? x ? ? 2, x x

x x ?1 故不等式 g 2 ? m ? 2 ? 0 对任意的 x ?? ?1,1? 都成立,可化为:

? ?

1 ? 2 ? m?2 x ?1 对任意的 x ???1,1? 都成立, 2x 1 1 2 1 即 [1 ? ( x ) ? 2? x ] ? m 对任意的 x ?? ?1,1? 都成立, ??????6 分 2 2 2 1 1 1 令 t ? x , 因为 x ?? ?1,1? ,所以 t ? x ? [ , 2] , 2 2 2 1 1 2 则问题转化为不等式 m ? (t ? 1) 对任意的 t ? [ , 2] 都成立, 2 2 1 1 2 记 h(t ) ? (t ? 1) ,则 h(t ) max ? h(2) ? , ??????8 分 2 2 2x ?
所以 m 的取值范围是 ? , ?? ? . (3)当 x ? 0,2 时, f ( x) ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0, 2 不是方程的解;
2 当 x ? 0且x ? 2 时,令 t ?| f ( x) ? 1|? x ? 2 x ,

?1 ?2

? ?

??????9 分

则当 x ? ? ??,0? 时, t ? x ? 2 x 递减,且 t ? ? 0, ?? ? ,
2

当 x ? ? 0,1? 时, t ? 2 x ? x 递增,且 t ? ? 0,1? ,
2

当 x ? ?1, 2? 时, t ? 2 x ? x 递减,且 t ? ? 0,1? ,
2

当 x ? ? 2, ??? 时, t ? x ? 2 x 递增,且 t ? ? 0, ?? ? ;
2

??????11 分

故原方程有六个不相等的实数根可转化为 t ? ? k ? 2? t ? ? 2k ?1? ? 0 有两个不相等的
2

实数根 t1 , t 2 ,其中 0 ? t1 ? 1 , t2 ? 1, 记 ? ? t ? ? t ? ?t ? 2? t ? ? 2k ? 1? ,
2

?????????13 分

则?

? ?? ? 0 ? ? 2k ? 1 ? 0 , ? ?? ?1? ? k ? 0

?????????15 分

所以实数 k 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ,0? . ? 2 ?

??????16 分


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