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高中2011年素质技能邀请赛数学评分标准


高中 2011 年素质技能邀请赛

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅱ卷(答题卷)
一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 B 8. ______-18____ 10.______ 5 A 6 C

二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 7. 3 9.___ y=

x ? 2 _______ 2
0

9 _______ 16

11._______ 40 _______ 13.___

12.____(0,

?21004 )__

48 ________ 49

14_________2S____

15._____5_____________ 16. ②③④ 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)

a b c ? ? 的值. ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1 a 1 ? ? 解: ab ? a ? 1 ? ab ? a ? abc ? a(b ? 1 ? bc) ab ? a ? 1 b ? 1 ? bc
17.(本小题 10 分)设 abc ? 1 ,求 而 ac ? c ? 1 ? ac ? c ? abc ? c(a ? 1 ? ba) ? ac(b ? 1 ? bc)

?

c 1 ? ac ? c ? 1 a(b ? 1 ? bc) 1 b 1 a ? ab ? 1 ? ? ? ?1 bc ? b ? 1 bc ? b ? 1 a(bc ? b ? 1) a(b ? 1 ? bc)

? 原式=

18. (本小题 12 分)已知 ?ABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程

x2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 3k ? 2 ? 0 的两个实数根,第三边长为 5.
高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 1 第6页 共6页

(1) k 为何值时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ?ABC 是等腰三角形,并求 ?ABC 的周长 解: (1)因为 AB, AC 是方程 x2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 3k ? 2 ? 0 的两个实数根, 所以 AB ? AC ? 2k ? 3, AB ? AC ? k 2 ? 3k ? 2 又因为 ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形,且 BC ? 5 所以 AB ? AC ? BC ,所以 ( AB ? AC)2 ? 2 AB ? AC ? 25 ,
2 2 2

即 (2k ? 3)2 ? 2(k 2 ? 3k ? 2) ? 25 ,所以 k ? 3k ? 10 ? 0 所以 k1 ? ?5, k2 ? 2
2 2 当 k ? 2 时,方程为 x ? 7 x ? 12 ? 0 ,解得 x1 ? 3, x2 ? 4 2 当 k ? ?5 时,方程为 x ? 7 x ? 12 ? 0 ,解得 x1 ? ?3, x2 ? ?4 (不合题意,舍去)

所以当 k ? 2 时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形。 (2)若 ?ABC 是等腰三角形,则有① AB ? AC ② AB ? BC ③ AC ? BC 三种情况。 因为 ? ? (2k ? 3)2 ? 4(k 2 ? 3k ? 2) ? 1 ? 0 ,所以 AB ? AC ,故第①种情况不成立。所以 当 AB ? BC 或 AC ? BC 时,5 是 x2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 3k ? 2 ? 0 的根, 所以 25 ? 5(2k ? 3) ? k ? 3k ? 2 ? 0, k ? 7k ? 12 ? 0 ,解得 k1 ? 3, k2 ? 4
2 2
2 当 k ? 3 时, x ? 9 x ? 20 ? 0 所以 x1 ? 4, x2 ? 5 ,所以等腰 ?ABC 的三边长分别为 5、5、4,

周长是 14
2 当 k ? 4 时, x ? 11x ? 30 ? 0 所以 x1 ? 5, x2 ? 6 ,所以等腰 ?ABC 的三边长分别为 5、5、6,

周长是 16. 19. (本小题 12 分)在平行四边形 ABCD 中,P 为 CD 边上一点, AP 与 BP 分别为 ? DAB 和 ?CBA 的平分线 (1)判断 ?APB 是什么三角形,并证明你的结论; (2)比较 DP 与 PC 的大小; (3)以 AB 为直径的⊙ O 交 AD 于点 E ,连接 BE 与 AP 交于 F ,若 AD ? 5, AP ? 8 ,求 P C D 证: ?AEF ∽ ?APB ,并求 tan ?AFE 的值 解: (1)

AD ∥ BC
高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 2A

B6 页 第6页 共

??DAB ? ?CBA ? 1800
又 AP 与 BP 分别为 ? DAB 和 ?CBA 的平分线

??PAB ? ?PBA ? 900 ,??APB ? 900 ,??APB 是直角三角形。
(2)

DC ∥ AB ,??BAP ? ?DPA

?DAP ? ?PAB,??DAP ? ?DPA,? DA ? DP
同理, CP ? CB,? DP ? PC (3)

AD ? 5, AP ? 8,? AB ? DC ? DP ? PC ? 2 AD ? 10

因为 AB 为⊙ O 直径, ?APB ? 900 , PB ? 又

AB2 ? AP2 ? 102 ? 82 ? 6

?AEB ? ?APB ? 900 , ?EAF ? ?PAB ??AEF ∽ ?APB

??AFE ? ?ABP ? tan ?AFE ? tan ?ABP ?

AP 4 ? PB 3 20. (本小题 12 分)已知 ?ABC 是⊙ O 的内接三角形, BT 为⊙ O 的切线, B 为切点, P 为直 线 AB 上一点,过点 P 做 BC 的平行线交直线 BT 于点 E ,交直线 AC 于点 F (1)当点 P 在线段 AB 上时求证: PA ? PB ? PE ? PF (2)当点 P 为线段 BA 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,
否则说明理由; (3)若 ab ? 4 2, cos ?EBA ? 解(1)证明:

1 ,求⊙ O 的半径 3

A P A B

BT 切⊙ O 于点 B,??EBA ? ?C,

F

EF ∥ BC ,??AFP ? ?EBP

.
O

C

?APF ? ?EPB,??PFA ∽ ?PBE
?

E T

PA PF ? ,? PA ? PB ? PE ? PF PE PB (2) 当点 P 为线段 BA 延长线上一点时,第(1)题的结论任成立
BT 切⊙ O 于点 B,??EBA ? ?C, EP ∥ BC ,??PFA ? ?C ,
F P A A

??PFA ? ?PBE, ?FPA ? ?BPE

.O
E B H
3 第6页 共6页

C

T

高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

PF PA ? , PA ? PB ? PE ? PF PB PE (3)作直径 AH ,连接 BH
?PFA ∽ ?PBE ,?

??ABH ? 900
BT 切⊙ O 于点 B,??EBA ? ?AHB

1 1 cos ?EBA ? ,? cos ?AHB ? 3 3 2 2 sin ?AHB ? cos ?AHB ? 1
又因为 ? AHB 为锐角, ? sin ?AHB ? 在直角 ?ABH 中, 即⊙ O 的半径为 3. 21. (本小题 12 分)如图所示,已知 A, B 两点的坐标分别为(28,0)和(0,28) ,动点 P 从点 A 开 始,在线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O 运动,动直线 EF 从 x 轴开始,以每 秒 1 个长度单位的速度向上移动(即 EF ∥ x 轴) ,且分别与 y 轴、线段 AB 交于点 E , F ,连接

2 2 3

sin ?AHB ?

AB AB , AB ? 4 2,? AH ? ?6 AH sin ?AHB

FP ,设动点 P 与动直线 EF 同时出发,运动时间为 ts (1)当 t ? 1s 时,求梯形 OPFE 的面积, t 为何值时,梯形 OPFE 的面积最大?最大面积是多
少? (2)当梯形 OPFE 的面积等于三角形 APF 的面积时,求线段 PF 的长; (3)设 t 的值分别取 t1, t2 时( t1 ? t2 ) ,所对应的三角形分别为 ?AF1P 1 和 ?AF2 P 2 ,判断这两个三 角形是否相似,请证明你的结论. 解: (1)当 t ? 1s 时, OE ? 1, AP ? 3,?OP ? 28 ? 3 ? 25 y B

OA ? OB, EF ∥ OA,? EF ? EB ? 28 ? 1 ? 27
(OP+EF)OE (25 ? 27) ?1 ? S梯形OPFE ? ? ? 26 2 2 S? (28 ? 3t ? 28 ? t )t ? ?2t 2 ? 28t ? ?2(t ? 7)2 ? 98, 2
高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 4

E P

F x A

O

? t ? 7 s ,梯形 OPFE 的面积最大,最大面积是 98
第6页 共6页

(56 ? 4t )t 3t 2 , S?AFP ? (2) S梯形OPFE ? 2 2
当?S梯形OPFE ? S?AFP 时,有

(56 ? 4t )t 3t 2 ? ,? t1 ? 8, t2 ? 0 (舍去) 2 2

过点作 FH ? AO ,垂足为 H

?OAB ? 450 ,? AH ? FH ? 8, PH ? 3? 8 ? 8 ? 16
在 Rt ?FHP 中, FP ? (3)相似,下面证明 分别过点 F1 , F2 ,作 F 1H1 ? AP 1, F 2 H 2 ? AP 2 ,垂足分别为 H1 , H 2

FH 2 ? PH 2 ? 82 ?162 ? 8 5

?OAB ? 450 ,? AH1 ? F1H1 ? t1, AH2 ? F2 H2 ? t2
? AF1 ? 2t1 , AF2 ? 2t2 .? AF1 t1 ? AF2 t2

y B E 2E O P
2

F
2



AP 1 ? 3t1 , AP 2 ? 3t2 ,?

AP 3t AP1 AF1 t1 1 ? 1, ? ? AP2 3t2 AP2 AF2 t2

F H A

P H1
2

x

且 ?OAB ? ?OAB,? ?AF1P 1 ∽ ?AF2 P 2 22. (本小题 14 分)如图,已知点 B (-2,0) C (-4,0),过点 B, C 的⊙ M 与直线 x ? ?1 相切于点

A ( A 在第二象限),点 A 关于 x 轴的对称点是 A1 ,直线 AA1 与 x 轴相交点 P
(1)求证:点 A1 在直线 MB 上 (2)求以 M 为顶点且过 A1 的抛物线的解析式; (3)设过点 A1 且平行于 x 轴的直线与(2)中 的抛物线的另一交点为 D ,当⊙ D 与⊙ M 相切时, 求⊙ D 的半径和切点坐标 解:易知 P (-1,0), BP ? 1, CP ? 3 . C D
A1

y

M

A B P O

x

PA 与⊙ M 相切于 A , PBC 是⊙ M 的割线,
高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 5 第6页 共6页

? PA2 ? PB ? PC 即 PA2 ? 1? 3 ? 3, PA ? 3
A 在第二象限, 点 A 关于 x 轴的对称点是 A1

? A(?1, 3), A1(?1, ? 3) ,可得 M (?3, 3)
从而直线 MB 的解析式为 y ? ? 3x ? 2 3 当 x ? ?1 时 y ? 3 ? 2 3 ? ? 3 ,即点 A1 在直线 MB 上 (2) 所求抛物线以 M (?3, 3) 为顶点,

?抛物线的解析式可设为 y ? a( x ? 3)2 ? 3 ,将点 A1 坐标带入,可得 a ? ? ?抛物线的解析式为 y ? ?
3 ( x ? 3)2 ? 3 2

3 2

(3)过点 A1 且平行于 x 轴的直线为 y ? ? 3 由y??

3 ( x ? 3)2 ? 3 和 y ? ? 3 解得 x1 ? ?1, y1 ? ? 3.x2 ? ?5, y2 ? ? 3 2

? A1 (?1, ? 3), D(?5, ? 3)
以点 D 为圆心且与⊙ M 相切的圆有两种情况:外切或内切 当⊙ D 与⊙ M 外切时, DM ? 4

?⊙ D 的半径为 2,点 C ? ?4,0 ? 就是切点,
当⊙ D 与⊙ M 内切时,⊙ D 的半径为 6,点⊙ E(?2, ?2

3) 是切点

高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

6

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