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常见递推数列通项公式的求法


要点梳理
1. 已知数列递推公式求通项公式:
累加法

an?1 ? an ? f (n) ( ? f ( i )可求 )
a n ?1 ? f ( n) ( f (1) f (2)? f (n)可求) an
i ?1

n

累乘法
构造法

an

?1 ? kan ? b
3an?1 an ? ( n ≥ 2) 3 ? an?1

转 化 法

倒数法 对数法
因式分解法

an?1 ? can p (an ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1)
2 2 (n ? 1)a n?1 ? nan ? an?1an ? 0

归纳猜想

?转化法:通过变换递推关系,将非等差(等比)数列转化 为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法.常 用的转化途径有: ① 构造(拼凑)变换:

an?1 ? kan ? b (k , b为常数, k ? 0, k ? 1)
? an?1 ? b ? k (an ? b ) 或an? 2 ? an?1 ? k (an?1 ? an ) k ?1 k ?1 can ②倒数变换: an?1 ? a ? d (c , d为非零常数) n ? 1 ?d? 1 ?1 a n ?1 c a n c an?1 ? can p (an ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1) ③对数变换:

? lg an?1 ? p lg an ? lg c

an+1 an q(n) ④若 an+1=pan+q(n), 则: n+1 = n + n+1 . p p p

⑤因式分解法 ⑥待定系数法

要点梳理
2. 数列通项公式的求法
(1)观察法; (2)定义法(利用等差,等比的通项公式) n ? 1, ? S1 , (3)利用 Sn 求 an ; an ? ? ? S n ? S n?1 , nn≥ 2. (4)累加法: an?1 ? an ? f (n) ;?? (? f ( i )可求 ) ? i ?1 a n ?1 ? f ( n) ( f (1) f (2)? f (n)可求) (5)累乘法: an (6)构造法 an?1 ? kan ? b (7)作商法( a1a2 ?an ? cn 型) ; (8)数学归纳法.

类型1

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

类型1

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

求法:累加法

类型1

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

求法:累加法
例1 在数列{a n }中,已知a1 ? 1,当n ? 2时,

有a n ? a n?1 ? 2n ? 1( n ? 2), 求数列 的通项公式.

类型2

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

类型2

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

求法:累乘法

类型2

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

求法:累乘法
例2 在数列{an }中,已知a1 ? 1, 有nan?1 ?

( n ? 1)an ( n ? N , n ? 2), 求数列{an } 的通项公式.

?

类型3

an?1 ? pan ? q( p ? 0, p ? 1)

类型3

an?1 ? pan ? q( p ? 0, p ? 1)

求法 : 待定系数法.令an?1 ? ? ? p(an ? ? ), 其中?为待定系数, 化为等比数列 {an ? ? }求通项.

类型3

an?1 ? pan ? q( p ? 0, p ? 1)

求法 : 待定系数法.令an?1 ? ? ? p(an ? ? ), 其中?为待定系数, 化为等比数列 {an ? ? }求通项.
例3 已知数列 an }中, 若a1 ? 1, an?1 ? 2an {

? 3( n ? 1), 求数列{an }的通项公式.

类型4

S n ? f (an )

类型4

S n ? f (an )

求法 : 利用n ? 2时, an ? S n ? S n?1化为 {an }或{ S n }的递推关系求解 .

类型4

S n ? f (an )

求法 : 利用n ? 2时, an ? S n ? S n?1化为 {an }或{ S n }的递推关系求解 .
例4 已知各项均为正数的数 {a n }的前 列

n项和S n满足S1 ? 1, 且6 S n ? (an ? 1) (a n ? 2), n ? N ? , 求{a n }的通项公式.

类型5

an?1 ? pan ? f (n)( p ? 0, p ? 1)

类型5

an?1 ? pan ? f (n)( p ? 0, p ? 1)

a n ? 1 a n f ( n) 求法 : 待定系数法或化为 n?1 ? n ? n?1 p p p 后累加法求解 .

类型5

an?1 ? pan ? f (n)( p ? 0, p ? 1)

a n ? 1 a n f ( n) 求法 : 待定系数法或化为 n?1 ? n ? n?1 p p p 后累加法求解 .
例5 在数列{an }中a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2
? n

( n ? N ), 求数列{an }的通项公式.

{ 例6 已知数列 a n }满足S n ? a n ? 2n ? 1, 其中S n是{a n }的前n项和, 求{a n }的 通项公式.

pan ( p, q, r均不为零) 类型6 an?1 ? qan ? r

pan ( p, q, r均不为零) 类型6 an?1 ? qan ? r
求法 : 倒数法, 若p ? r , 则化为等差数列求 通项; 若p ? r , 则化为类型3求通项.

pan ( p, q, r均不为零) 类型6 an?1 ? qan ? r
求法 : 倒数法, 若p ? r , 则化为等差数列求 通项; 若p ? r , 则化为类型3求通项.
S n ?1 例7 已知数列 an }中, a1 ? 1, S n ? { , 2 S n ?1 ? 1 求{an }的通项公式.

类型7 其它类型

类型7 其它类型 求法:按题中指明方向求解.

类型7 其它类型 求法:按题中指明方向求解. 例8 设数列{a n }满足a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ?

1 (a n?1 ? 2a n? 2 )( n ? 3,4, ?) 3 (1)求证 : 数列{a n?1 ? a n }是等比数列; ( 2)求数列{a n }的通项公式a n .

已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 an+1 (n?N*), 【1】 2

2?2 则an =_____________.
? an?1 ? 1 an ? 1, 令 an?1 ? ? ? 1 (an ? ? ), 2 2 则 ?=-2. ? an?1 ? 2 ? 1 (an ? 2). 2
∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为0.5 的等比数列.

1? n

? an ? 2 ? ? ( 1 ) n ?1 . 2

? an ? 2 ? 2 .

1? n

2?2 则an =_____________.
解法二 : ? an?1

已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 an+1 (n?N*), 【1】
1? n

2

∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 为首项, 公比为 的等比数列. 2 2

? 1 an ? 1, 2 1 a ? 1, a ? 1 a ? 1, ? an ? n?1 n?1 2 n? 2 2 1 两式相减得: an ? an?1 ? (an?1 ? an? 2 ), n ≥ 3 1 2 1

1 ? ( 1 )n?2 ? ( 1 )n?1 . ? an ? an?1 ? 2 2 2 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1 ) 1 ? ( 1 )2 ? ??? ? ( 1 )n?1 1? n ? 1? ? 2?2 . 2 2 2

2?2 则an =_____________.

已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 an+1 (n?N*), 【1】
1? n

2

1 a ? 1, 解法三 : ? an?1 ? 2 n 1 a ? 1, a ? 1 a ? 1, ? an ? n?1 n?1 2 n? 2 2 an ? an?1 ? 1 (an?1 ? an?2 ), n ≥ 3 两式相减得: 2
∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 1 为首项, 公比为 1 的等比数列. 2 2

? an ? an?1 ? 1 ? ( 1 )n?2 ? ( 1 )n?1 . 2 2 2

? an ? 2 ? 2 .

又 an ? 1 an?1 ? 1, 2
1? n

【1】设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 5 ,且

nSn?1 ? 2n(n ? 1) ? (n ? 1)Sn (n ? N? ) , 则数列 an 的通项公式 是 ( A ) A. 4n ? 1 B. 4n ? 1 C. 2n ? 5 D. 2n ? 5 S 1 SS Sn?n?1 ? n n ? 2, 【解析】由条件知 【解析】由条件知 ? n ? 1 nn? 2, n ?1 S Sn?1 Sn?1 Sn S Sn 【解析】由条件知 ? n ?S2,n ? 5 ? 2(n ?1) ? 2n ? 3. 知 ? ∴? { n } } 是等差数列,∴ n ? 5 ? 2(n ?1) ? 2n ? 3. 2, 是等差数列,∴ S n ?1 n { n ?1 n ∴ nn nn Snn S 是等差数列,∴ Sn ∴ { n = 5 ? 2(n ?1) ? 2n 3. 5 ? 2( 等差数列,∴ = ? 2n+ + 3n,从而 a ??? n ? 1. n ?1) ? 2n ? 3. ∴S } 2n2 2 3n,从而 a n 4n ? 1. ∴Sn ? 4 n n n n
∴S = 2n 1. + 3n,从而 an n? 4n ?+ 3n,从而 an ? 4n ? 1.
2

2

n n 已知 a1 ? 2, an ? 4an?1 ? 2n (n ≥ 2), 则an =______. 【2】 4 ?2

an an?1 ? 2 ? n?1 ? 1, n 2 2

an an ?1 即 n ? 1 ? 2( n?1 ? 1). 2 2

an 所以数列 { n ? 1} 是首项为2,公比为2的等比数列, 2

an n ?1 ? n ? 1 ? 2? 2 , 2

? an ? 4 ? 2 .
n n
n

an ? 4an?1 ? 2

an an?1 1 n ? n ? n?1 ? ( ) 2 4 4

an ? 4an?1 ? 2 ? an ? 2n ? 4(an?1 ? 2n?1 )
n

a1 ? 3, an ? Sn?1 ? 2n , 求an及 Sn . 【3】数列 {an} 中, n n ?1 解: an ? Sn ? Sn?1 , ? Sn ? 2Sn?1 ? 2n , ? Sn ? Sn?1 ? 1. ? 2 2
Sn ? n ? n ? 1 , 即 Sn ? 2n?1 (2n ? 1). 2 2 当n≥2时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ? 3) ? 2n?2 ,

Sn S1 a1 3 所以 { n } 是以 1 ? ? 为首项,1为公差的等差数列. 2 2 2 2

a1=3不适合上式.
n ? 1, ? 3, ? an ? ? (2n ? 3) ? 2n? 2 , n ≥ 2. ?

a 【补偿1】已知数列{an}中, 1 ? 1, an ? 0,
1 (n ? 1)a n?1 ? na ? an?1an ? 0, n ? N , 则an=_______. n
2 2 n ?

(an?1 ? an )[(n ? 1)a n?1 ? nan ] ? 0
an ? 1 ? n (n ? 1)a n?1 ? nan ? 0 ? an n ? 1 an an ?1 a 3 a2 an ? ? ? ? ? ? ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1
? n ? 1 ? n ? 2 ? ?? 2 ? 1 ? 1 ? 1 . n n n?1 3 2

n ? 1, ?1, an ? ? 则数列 ?an ? 的通项公式为______________________. 2 ? 3n? 2 , n ≥ 2. ?

【1】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 1 ? 1 , an?1 ? 2Sn , a

Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,

Sn?1 ? 3 Sn ? Sn ? 3 .

n?1

n ? 1, ?1, ? an ? ? n? 2 ?2 ? 3 , n ≥ 2.

③综上 Sn ? 2 ? ( 2 ) .

? 2, n ? 1, 1S ?a ?? ① an?1 ? ? 3 n? 2 n 2 n ?( 2 ) , n ≥ 2. ? 3 )0 ? ( 3 )11 ? ? ? ( 3 )n? 2 S ②当 n ≥ 2 时, n ? 2 ? ( 2 21 2 3 )n? 1? ( 2 3 )n?1. ? 2? ? 2? ( 2 1? 3 2 3 n ?1

Sn ? 2 ? ( 3 )n?1. 2

【2】
? 3, n ? 1, ? n ? 1, 则an = ?2n , n ≥ 2. ? __________.

log 2 ( Sn ? 1)

Sn ? 2

n?1

? 1.

① 当 n=1 时, a1 = S1 = 3. ② 当 n≥2 时,

an = (2n+ 1 - 1) - (2n - 1) = 2n.
③经检验 n=1时 a1=3不适合上式.

【3】 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ≥ 2 时,其前

3

? 3 ? n ? 1? an ? ? 2 ? n ≥ 2? ? ? 1 ? 4n 2

2Sn2 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 n 项和 Sn 满足 an ? 2Sn ? 1 ? 1

2 2 Sn S n ? S n ?1 ? 2 Sn ? 1

1 . ? Sn ? 2n ? 1

1 1 ? S n ?1 ? S n ? 2 S n S n ?1 ? ? ? 2(n ≥ 2) S n S n ?1

方程法
【补偿 1】函数 f ( x) ? 2x ? 2? x ,数列 {an} 中, an 满足
2 f (log2 an ) ? ?2n . 则 an ? _______________. n ?1 ? n

方程法
【2】
4017 则 a2009 ? _______ . 5

Tn an ? ? (5 ?1)2 ? 52 n?1. 当 n≥2 时, Tn?1 5 n

n2

? a2009 ? 5

2?2009?1

?5

4017

.

方程法
数列{an }中, a1 ? 1, 对所有n ? N?,都有 【3】
n ? 1, ?1, ? 2 a1a2 ? ? ? an ? n , 则 an ? ? n2 , n ≥ 2. ? ( n ? 1)2 ?

a1a2 ??? an ? n

2

a1a2 ??? an?1 ? (n ? 1)2 , n ≥ 2

n2 , n ≥ 2. ? an ? ( n ? 1)2

方程法
【4】

解: a1 ? 1, ?
? a2 ? 1,
a3 ? a1 ? 1 a2 ? 3 . 2 2

? an?1 ? an ? 1 an (n ≥ 2). n

方程法
【4】

an an?1 a3 ? an ? ? ? ? ? ? a2? n ? n ? 1 ??? 4 ? 3 ? 1, an?1 an?2 a2 n?1 n? 2 3 2 ? an ? n ( n ≥ 2). 又a1 ? 1 ? 1 , 2 2
?1, n ? 1, ? ? an ? ? n ? 2 , n ≥ 2. ?

a n ?1 n ? 1 ? ? ( n ≥ 2). an n

方程法
【5】

4( n ? 1) 则 an ? ____________ .
2

?3(n ? 1) ②

归纳猜想
【1】(2010 重庆理 21)在数列 {an} 中, a1 =1,

an?1 ? can ? cn?1(2n ?1) (n ? N? ) ,其中实数 c ? 0 .

an ? ( n ? 1)c ? c 则数列 ?an ? 的通项公式是__________________.
2 n n?1

a1 ? 1, 2 2 2 2 a2 ? ca1 ? c ? 3 ? 3c ? c ? (2 ? 1)c ? c 3 a3 ? ca2 ? c ? 5 ? 8c 3 ? c 2? (32 ? 1)c 3 ? c 2
4
4 3

a4 ? ca3 ? c ? 7? 15c ? c ? (4 ? 1)c ? c 2 n n?1 ? ? an ? (n ? 1)c ? c (n ? N )
2 4

3

an ? 4 【2】已知数列 {an } 满足 an ?1 ? ,且 a1 ? 1, n ?N? ,求 an . an ? 3

归纳猜想

观察法

? 0 ( n为奇数) an ? ? ?1 ( n为偶数)

1 ? ( ?1) an ? 2

n

1 ? cos n π an ? 2

【1】已知a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 3an?1 ? 2an?2 (n ≥ 3).
n?1 则 (1)an ? an?1 ? ___; (2)an ? _______ . 2 2 an ? 3an?1 ? 2an? 2 ?an ? an?1 ? 2(an?1 ? an? 2 )

n? 2

??an ? an?1? 是以a2-a1=1为首项,以2为公比的等比数列,

an ? an?1 ? 1? 2n? 2.

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1 )

=1+1+2+22+·+2n-2 · · n?1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2n?1. 1? 2


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