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直线与圆真题


直线与圆
一、选择填空题 1.(江苏 2004 年 5 分)设 k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在 平面直 角坐标系 xOy 中,函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A 点,它的 反函数 y=f
-1

(x)的图象与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的 】

图象交于 P 点。 已知四边形 OAPB 的面积是 3, 则 k 等于 【 3 【答案】 。 2 【考点】反函数。 【分析】根据题意画出图形,如图。 ∵互为反函数的两个函数的图象关于 y=x 对称,

∴这两个函数的图象交于 P 点必在直线 y=x 上,且 A,B 两点关于 y=x 对称。 ∴AB⊥OP。∴四边形 OAPB 的面积=

1 1 · AB· OP= ? 2 ? OP ? 3 。∴ OP ? 3 2 。 2 2
3 。 2 ▲ .

∴P(3,3) ,代入 f(x)=k(x- 1)得:k=

2.(江苏 2004 年 4 分)以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是
2 2 【答案】 (x ? 1) ? (y ? 2) ? 25 。

【考点】圆的标准方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离。 【分析】求出圆心到直线 4x+3y-35=0 的距离,即圆的半径;由圆标准方程求得圆的方程: ∵圆以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y-35=0 相切,∴圆心到直线的距离等于半径,即:

4 ? 6 ? 35 4 ?3
2 2

2 2 (x ? 1) ? (y ? 2) ? 25 。 ? 5 。∴所求圆的标准方程:

3.(江苏 2006 年 5 分)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1 的切线方程中有一个是【 【答案】x=0。 【考点】圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件。



【分析】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径; (2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。 设直线 ax+by = 0 与( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1相切 ,则

| a ?b 3 | ? 1。 2

1

y 4.(江苏 2008 年 5 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中, 设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0),C(c,0) , 点 P(0, p) 在线段 AO 上的一点(异于端点) , B F O

A P E x C

这里 a, b, c, p 均为非零实数,设直线 BP,CP 分别与边 AC,AB 交于点 E,F,某同学已正确求得直

1 1? ? 1 1? 线 OE 的方程为 ? , ? ? ?x ? ? ? ? ? ?y ? 0 ?b c? ? p a?
请你完成直线 OF 的方程: ( ▲ )x?? ? p ? a? ?y ? 0。 ? ?

?1

1?

【答案】

1 1 ? 。 c b

【考点】直线的一般式方程,归纳推理。 【分析】由对称性可猜想填

1 1 x y x y ? 。事实上,由截距式可得直线 AB: ? ? 1 ,直线 CP: ? ? 1 , c b b a c p

两式相减得 ?

?1 1? ? 1 1? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此 方程,又原点 O ?b c? ? p a?

也满足此方程,故为所求直线 OF 的方程。 5. (江苏 2010 年 5 分)在平面直角坐标系 x O y 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线
2 2

12 x ? 5 y ? c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是
【答案】 (-13,13) 。 【考点】直线与圆的位置关系。



[来源

【分析】求出圆心和半径,圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可: 由 x ? y ? 4 得圆半径为 2。
2 2

由圆心(0,0)到直线 12 x ? 5 y ? c ? 0 的距离小于 1,得

| c| 12 ? ? ?5?
2 2

| c | ? ?1, 13

[来源 :Z 。 xx。

∴c

的取值范围是(-13,13) 。

m ? ? 6.(江苏 2011 年 5 分)设集合 A ? ?? x,y ? | ? ( x ? 2 )2 ? y 2 ? m2 ,x,y ? R ? , 2 ? ?

B ? ?? x,y ? | 2m ? x ? y ? 2m ? 1,x,y ? R?, 若 A B ? ? , 则实数 m 的取值范围是



2

?1 ? 【答案】 ? , 2 ? 2 ? 。 ?2 ?
【考点】集合概念和运算,线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直 线与圆的位置关系,含参数分类讨论,解不等式。 【分析】由 A
2 B ? ? , 得, A ? ? ,∴ m ?

1 m ,即m ? 或m ? 0 。 2 2

当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 为半径的圆,集合 B 是在两条平行线之间。

∵圆心到两直线的距离分别为

2 ? 2m 2

? 2 ? 2m ? ?m ,

2 ? 2m ? 1 2

?

2 ? 2m ? ?m , 2
B ? ? ,与已知 A B ? ? 不符,此时无解。

∴圆心到两直线的距离都大于圆的半径 m ,即 A 当m ?

1 m 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 和 m 为半径的圆环,集合 B 是在两条平行 2 2

线之间。 只要圆心到两直线的距离

2 ? 2m 2

?m或

2 ? 2m ? 1 2

? m 即可,

解得 2 ? 2 ? m ? 2 ? 2 或 1 ?

2 2 ? m ? 1? 。 2 2

?1 ? ∴实数 m 的取值范围是 ? , 2 ? 2 ? 。 ?2 ?
7. (2012 年江苏省 5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ . 【答案】

4 。 3

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离。 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点;∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。

3

∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 解得 0 ? k ?

4k ? 2 k ?1
2

,∴

4k ? 2 k 2 ?1

? 2,

4 4 。∴ k 的最大值是 。 3 3
b 的取值范围 a

b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c ,则 8. (2012 年江苏省 5 分)已知正数 a ,
是 ▲ . 【答案】 ? e, 7? 。 【考点】可行域。

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b a b c ln b ≥a ?c lnc ,可化为: ? ? ? 4 。设 =x,y = ,则题目转化 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c c ?c c a ?b ? ? ec ?c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 为:已知 x ,求 的取值范围。 ,y 满足 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x 。 ,y )所在平面区域(如图) 求出 y =e x 的切线的斜率 e ,设过切点

P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? ,


y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小, x0 x0 x0

须 m =0 。 ∴

y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处, 为e 。 此时, x

点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x ?? ? y =7 x ? =7 , ,y )对应点 C 时 , ? x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x


y 的最大值在 C 处,为 7。 x

[来源:Zxxk.Com]



y 的取值范 x

围为 ? e, 即 7? ,

b 的取值范围是 a
1.(江苏 2005 年 12 分)如图,圆 O1 与圆 O2 的

4

半径都是 1, O1O2 ? 4 ,过动点 P 分别作 圆 O1.圆 O2 的切线 PM、PN(M.N 分别为切点) , 使得 PM ? 2PN 试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

【答案】解:以 O1O2 中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴,建立如图所示平面直角坐标系。 则 O1(-2,0) ,O2(2,0) , 由已知: PM ? 2PN ,即PM =2PN ,
2 2

y M

P

2 ∵两圆的半径都为 1∴ PO1 ? 1 ? 2(PO2 2 ? 1) ,

N O1 O O2

x

设 P ? x, y ? , 则 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 ? 2 ?? x ? 2 ? ? y 2 ? 1? ,即 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 33 。 ? ?
2 2

∴所求轨迹方程为: ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 33 (或 x 2 ? y 2 ? 12x ? 3 ? 0 ) 。 【考点】点与圆的位置关系,勾股定理,两点间距离公式。 【分析】建立直 角坐标系,设 P 点坐标,列方程,化简,即可得到结果。 2.(江苏 2007 年 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C(0, c) 任作一直线,与 抛物线 y ? x 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于 P,Q,
2

(1)若 OA ? OB ? 2 ,求 c 的值; (5 分) (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线; (5 分) (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。 (4 分)
2 【答案】解: (1)设过 C 点的直线为 y ? kx ? c ,∴ x ? kx ? c ? c ? 0? ,即 x ? kx ? c ? 0 。
2

设 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? , OA = ? x1 , y1 ? , OB ? ? x2 , y2 ? , ∵ OA ? OB ? 2 ,
[来源:Zxxk.Com]

∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ,
2 2

即 x1 x2 ? ? kx1 ? c ?? kx2 ? c ? ? 2 , x1 x2 ? k x1 x2 ? kc ? x1 ? x2 ? ? c ? 2 。 ∴ ?c ? k c ? kc k ? c ? 2 ,即 c ? c ? 2 ? 0 。∴ c ? 2 舍去c ? ?1 。
2 2 2

?

?

(2)设过 Q 的切线为 y ? y1 ? k1 ? x ? x1 ? ,由 y ? x 得 y ? 2 x ,∴ k1 ? 2 x1 。
2 /

2 2 ∴ y ? 2x1 x ? 2x1 ? y1 ? 2x1 x ? x1 ,它与 y ? ? c 的交点为

5

M?

2 ? x1 ? ? c ?k ? ?x ?x y ? y ? ?k k ? , ?c ? 。又 P ? 1 2 , 1 2 ? ? ? , ? c ? ,∴Q ? , ?c ? 。 2 ? ?2 2 ? 2 ?2 ? ? ? 2 2 x1 ?

∵ x1 x2 ? ?c ,∴ ?

c ?x x ? ?k ? ? x2 。∴M ? 1 ? 2 , ?c ? ? ? , ?c ? 。 x1 ? ?2 2 ? ?2

∴点 M 和点 Q 重合,即 QA 为此抛物线的切线。 (3) (2)的逆命题是成立。由(2)可知 Q ?

?k ? ?k ? , ?c ? ,∵PQ ? x 轴,∴ P ? , yP ? 。 ?2 ? ?2 ?



x1 ? x2 k ? ,∴P 为 AB 的中点。 2 2

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算。 【分析】 (1)设过 C 点的直线的方程,与抛物线方程联立设出 A,B 的坐标则, OA 和 OB 可分别表示 出来,根据 OA ? OB ? 2 得 ?c ? k c ? kc k ? c ? 2 ,求得 c。
2 2

(2)设过 Q 的切线方程,通过对抛物线方程求导求得切线的斜率,从而可表示出 切线方程求得与 y ? ? c 的交点为 M 的坐标,从而根据 P 为线段 AB 的中点,求得 Q 点的坐标,根据 x1 x2 ? ?c 可表示出 M 的坐标,判断出以点 M 和点 Q 重合,也就 是 QA 为此抛物线的切线。 (3)根据(2)可知点 Q 的坐标,根据 PQ⊥ x 轴,推断出点 P 的坐标,从而求得

x1 ? x2 k ? ,判断出 P 为 AB 的中点。 2 2
3.(江苏 2008 年 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,记二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? b ( x ? R )
2

与两坐标轴有三 个交点.经过三个交点的圆记为 C . (1)求实 数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论 . 【答案】解: (1)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0, b ) 。 令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b ≠0 且 Δ>0,解得 b <1 且 b ≠0。
2

(2)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b ? 0 是同一个方程,
2 2

6

故 D=2,F= b 。 令 x =0 得 y 2 ? Ey ? 0 ,此方程有一个根为 b ,代入得出 E=― b ―1。 所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 。 (3)圆 C 必过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点 ( x0 , y 0 )( x0 , y 0 不依赖于b) ,将该点的坐标代入圆 C 的方
2 2 程,并变形为 x0 ? y0 ? 2x0 ? y0 ? b(1? y 0 ) ? 0

(*)

为使(*)式对所有满足 b ? 1(b ? 0) 的 b 都成立,必须有 1 ? y0 ? 0 ,结合(*)
2 2 式得 x0 ? y0 ? 2x0 ? y0 ? 0 ,解得 ?

? x0 ? 0, ? x0 ? -2, 。 或 ? y ? 1 , y ? 1 , ? 0 ? 0

经检验知,点 (0, 1), (?2, 0) 均在圆 C 上,因此圆 C 过定点。 【考点】二次函数的图象与性质,圆的标准方程。 【分析】 (1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即 b 不等于 0,然后抛物线 与 x 轴有两个交点即令 f ? x ? ? 0 的根的判别式大于 0,即可求出 b 的范围。 (2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令 y =0 得到与 f ? x ? ? 0 一样 的方程;令 x =0 得到方程有一个根是 b 即可求出圆的方程。 (3)设圆的方程过定点 ( x0 , y 0 ) ,将其代入圆的方程得
2 2 x0 ? y0 ? 2x0 ? y0 ? b(1? y 0 ) ? 0 ,因为 x0 , y 0 不依赖于 b 得取值,所以得到 2 2 1 ? y0 ? 0 即 y0 =1,代入 x0 ? y0 ? 2x0 ? y0 ? 0 中即

可求出定点的坐标。 4.(江苏 2009 年 16 分 )在平面直角坐标系 x O y 中, 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和圆 C2 :( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .

(1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求 线 l 的方程;



(2) 设 P 为平面上的点, 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 , 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标。 【答案】解:(1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,
7

由垂径定理:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 由点到直线距离

2 3 2 ) ?1 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k ?1
2

? 1, 得: 24k 2 ? 7k ? 0 ,解得 k ? 0 或 k ? ?

7 。 24

当 k ? 0 时,直线 l 的方程为 y ? 0 ; 当k ??

7 7 时,直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 4) ,即 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 。 24 24

∴所求直线 l 的方程为 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 。 (2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) , k
即: kx ? y ? n ? km ? 0, ?

1 1 x? y?n? m?0 。 k k

∵直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得弦长相等,两圆半径相等, ∴由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。 ∴ | ?3k ? 1 ? n ? km |
k2 ?1 4 1 |? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3 或 (m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 。

?2 ? m ? n ? 0 ?m ? n ? 8 ? 0 ∵关于 k 的方程有无穷多解,∴ ? 或? 。 ?m ? n ? 3 ? 0 ?m ? n ? 5 ? 0
解之得:点 P 坐标为 (? ,

3 2

13 5 1 )或( , ? )。 2 2 2

【考点】直线的一般式方程,直线和圆的方程的应用。 【分析】 (1)因为直线 l 过点 A(4,0) ,故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长 为 2 3 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得 到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程。 (2)与(1)相同,我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l1 的点斜式方程,由直线 l1 被圆 C1 截得的 弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等,得到一个关于直线斜率 k 的方程。由存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,故关于 k 的方程有无穷多解。因此得方程组求解即可。 5、 (201 3 江苏卷 17) 17.本小题满分 14 分。如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径 为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;
8

(2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 y A O l x

答案:17.解: (1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3)

? ( y ? 2) 2 ? 1

显然切线的斜率一定存 在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a)
2

? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为(x,y)则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
即:圆 C 和圆 D 有交点

设为圆 D,∴ 点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2
2

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1 ,由 5a 2 ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R
12 5
,终上所述, a 的取值范围为: ?0,

由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

? 12 ? ? 5? ?

9


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