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2.3.2离散型随机变量的均值


2.3.1离散型随机变量的 均值
高二数学组 文丽莉 2016.5.31

1.离散型随机变量的分布列
2.某同学5次测试的成绩为80,68,75,70,82,求该 同学5次考试的平均分
算术平均数

3.某同学期末考试成绩是85分,平时表现为 80分,学校规定按期末考试70%,平时表现 30%计算最后成绩,该生最后成绩为
加权平均数

权:权衡轻重的数值 加权平均:在计算若干个数量的平均数时, 考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不 同,分别给予不同的权数

18



kg

24



kg

36



kg

按3:2:1的比例混合

定价为混合糖果的平均价格才合理

按3:2:1混合

X

18

18 元

24

kg

36

24



kg

36



kg

P

1 3 2 3 2 1权数 平均价格为 m千克混合糖果的总价格为 186 ? m ? 24 ? m ? 36 ? m 6 6

6 6    6 3 2m 1 m + 36× m 18×6 m + 24 × 6 3 加权平均 26 1 ? 18 ? ? 24 ? ? 36 ? 6 6 6 =23 元 kg

教学过程

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
· · · · · ·
xn

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P
则称

x1

x2

· · · · · ·

xi

p1

p2

pi

pn

为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。

X P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · · · · ·

xn

p1

p2

pi

pn

思考:
设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随 机变量. (1) Y的分布列是什么? (2) E(Y)=?

X P

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · · · ·

pn

xn

x2 X x1 · · · xi · · · xn Y ax1 ? b ax2 ? b · · · axi ? b · · · axn ? b p1 p2 · · · pi · · · pn P
E(Y) ? (ax 1 ? b)p 1 ? (ax 2 ? b)p 2 ? ? ? (ax n ? b)p n
? a(x 1p1 ? x 2p 2 ? ? ? x npn ) ? b(p 1 ? p 2 ? ? ? pn )

? aE(X) ? b

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

X P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · · · · ·

p1

p2

pi

pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、数学期望的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b

随机变量ξ的分布列是
ξ P 1 0.5 3 0.3 5 0.2

(1)则E(ξ)= 2.4

. .

(2)若η=2ξ+1,则E(η)= 5.8

例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中 得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球 1次的得分X的均值是多少? 如果罚球3次呢?

小结:
一般地,如果随机变量X服从两点分布,
X P 1 p 0 1- p



E(X) ? 1 ? p ? 0 ? (1 ? p) ? p
结论

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; 求他得到的分数X的期望。 解: X~B(3,0.7)
X P 0 1 2 3

1 2 C 0 . 7 ? 0 . 3 0.3 3

3

C 0.7 ? 0.3 0.7
2 3 2

3

1 2 EX ? 0 ? 0.33 ? 1? C3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C3 0.72 ? 0.3 ? 3 ? 0.73

EX ? 2.1 ? 3 ? 0.7

证明:若ξ~B(n,p),则Eξ=np
证明: ? P(ξ ? k) ? C p q
k n k n ?k

(k ? 0,1,2, ? ? ?, n)

k k ?1 kC n ? nC n ?1

0 n 1 1 n ?1 ? Eξ ? 0 ? C 0 p q ? 1 ? C ? ??? ? n np q k n ?k n n 0 kCk p q ? ? ? ? ? nC n np q

0 n ?1 1 1 n ?2 ? np(C0 p q ? C p ? ??? ? n ?1 n ?1 q

C

k ?1 k ?1 ( n?1)?( k?1) n ?1

p q

? ??? ? C

n ?1 n ?1

p

n ?1 0

q )

? np( p ? q)
所以

n ?1

? np.

若ξ~B(n,p),则Eξ=np.

小结: 一般地,如果随机变量X服从二项分布,

即X~B(n,p),则

EX ? np

基础训练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球 次数的数学期望是

3

.

思考:随机变量的均值和样本的平均值有何 区别与联系?
随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着样本 的不同而变化的,因此样本的平均值是随机变量。对 于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均 值越来越接近于总体的均值。

例2一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中 有且只有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或 选错不得分,满分100分,学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语 单元测验中的成绩的期望。
解:设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2, 则X1~B(20,0.9) X2~B(20,0.25)

所以:E(X1)= n p =20×0.9=18
E(X2) = n p =20×0.25=5 由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的 成绩分别是5 X1和5 X2 ,这样,他们在测验中成绩的均值分 别是 E(5X1)=5 E(X1) =5×18=90 E(5X2) =5 E(X2) =5×5=25
小结

例3 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60000元,遇到 小洪水时要损失 10000元。为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800. 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防 小洪水. 方案3:不采取措施. 试比较哪一种方案好.

练习:
1、抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上 得 -1分,求得分X的均值。 2、同时抛掷5枚质地均匀的硬币,求出现正面向上 的硬币数X的均值。 3、产量相同的2台机床生产同一种零件,它们在一 小时内生产出的次品数X1,X2的分布列分别如下:
X1 0 1 2 3

P
X2 P

0.4
0 0.3

0.3
1 0.5

0.2

0.1
2 0.2

问:哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际 含义。

数学期望小结
1、离散型随机变量均值的定义 2、两点分布的均值:EX= p 3、二项分布的均值:若X~B(n,p),则EX= np 4、求数学期望的方法: 1)已知是两点分布或二项分布,直接代用公 式; 2)其它分布的随机变量,先画出分布列,在 对应求值。

作业:课时14


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