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上海高中数学问题备忘录3—函数及其性质


高中数学备忘录——函数及其性质 1.九个基本函数必须熟练掌握:强调函数图象 和 性质 ...... . .. 正比例函数, 反比例函数, 一次函数, 二次函数, 幂、指、对函数, 三角函数,反三角函数。 2.反函数:当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。

y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 互为反函数,设 f ( x) 的定义域为 A

,值域为 C ,则 f [ f ?1(x)] ? x( x ? C) ,

f ?1[ f ( x)] ? x( x ? A) ; f ?1 (a) ? b ? f (b) ? a.
① 求反函数的步骤掌握了吗? ⅰ.解方程,用 y 表示 x ;ⅱ.交换 x 与 y ,写成反函数的形式; ⅲ.注明反函数的定义域。 (先 求原函数 y ? f ( x)( x? A) 的值域) (求解 x 的过程中若出现两个根以上的取舍问题,要注意审清题意,根据定义域,找到正确的根; ) ② 你还记得反函数的四个性质吗? ⅰ.互换性; ; ⅱ.对称性;

ⅲ.单调一致性;

ⅳ .还原性。

例 1.函数 y ? f ?x ?过点 ?1,1? ,则 f ?4 ? x ? 的反函数的图象一定经过点 ③ 若原函数 y ? f ( x) 在定义域上单调,则一定存在反函数;但一个函数存在反函数,则此函数不 一定单调。你能写出一个具体的函数吗?

? ? 1 ?x 1 ?? ? ? 1 x ? 0 例如:分段函数: f ?x ? ? ? ? 或 f ? x ? ? 等。 ?2? x ?? x ? 1 x?0 ?
3.函数的要素:定义域、值域、对应法则 ① 定义域: ⅰ.给出函数解析式,求函数的定义域(即求使函数解析式有意义的 x 的范围) ⅱ.使实际问题有意义的自变量的范围。 ⅲ.求复合函数的定义域: 若 f ?x ? 的定义域为 ?a, b? ,则 f ?g ?x ?? 的定义域由不等式 a ? g ?x ? ? b 解出; 若 f ?g ?x ?? 的定义域为 ?a, b? ,则 f ?x ? 的定义域相当于 x ? ?a, b?时 g ?x ? 的值域; ② 值域:函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法? ⅰ.二次函数型或可化为二次函数型;ⅱ.单调性;ⅲ.基本不等式; ⅳ.换元法;ⅴ.数形结合; 3.函数的基本性质: ①奇偶性: ⅰ.定义判断奇偶性的步骤: ⑴ 定义域 D 是否关于原点对称;⑵ 对于任意 x ? D ,判断 f (? x) 与 f ( x) 的关系: 若 f (? x) ? f ( x) ,也即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ? y ? f ( x), x ? D 为偶函数 若 f (? x) ? ? f ( x) ,也即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ? y ? f ( x), x ? D 为奇函数 ⅱ.图象判断奇偶性:函数图象关于原点对称 ? 奇函数; 函数图象关于 y 轴对称 ? 偶函数;
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ⅲ.判断函数的奇偶性时,注意到定义域关于原点对称了吗? ⅳ.如果奇函数 y ? f ( x) 在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 (可用于求参数,但要给予一般性证明), 但 f (0) ? 0 是一个函数为奇函数的既不充分也不必要条件,因为有定义域的限制; ⅴ.一个函数既是奇函数又是偶函数,则该函数必为: f ( x) ? 0, x ? D (其中定义域 D 关于原点对 称); 确定一个函数既不是奇函数也不是偶函数,通过举反例:如 f (?1) ? f (1) 且 f (?1) ? ? f (1) 等,注 意此时不能用连续的不等号写成 f (?1) ? f (1) ? ? f (1) 的形式; ⅵ.如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空) ,则有: 奇+奇 ? 奇;奇+偶 ? 非奇非偶;偶+偶 ? 偶;奇 ? 奇 ? 偶; 奇 ? 偶 ? 奇; 偶 ? 偶 ? 偶。 ⅶ分段函数的奇偶性分段求值和判断;复杂形式先化简后判断; ②单调性:设任意 x1 , x2 ? D ,且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 无单调性

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 减函数 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 增函数 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

在比较 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 大小时,常用“作差法” ,比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 0 的大小。 (对数型函数判 断证明单调性时可先比较真数部分的大小) ⅰ.奇函数的图象在 y 轴两侧的单调性一致;偶函数的图象在 y 轴两侧的单调性相反。 ⅱ.互为反函数的单调性一致。 ⅲ.增函数+增函数 ? 增函数; 减函数+减函数 ? 减函数。 ⅳ.复合函数单调性由“同增异减”判定。 ⅴ.作差后的运算技巧: f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ?

x12 ? b2 ? x12 ? b2 (ax1 x2 ? b) b b 1 1 (x ? x ) f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ax1 ? ? ax2 ? ? a( x1 ? x2 ) ? b( ? ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x 3 2 3 2 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? x13 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[( x1 ? 2 )2 ? x2 ] 等等. 2 4

2 2 2 x2 1 ?b ? x2 ? b ?

(x1 ? x2) ( x1 ? x2 )



ⅵ.注意函数“单调性” 、 “奇偶性”的逆用(即如何体现函数的“奇偶性” 、 “单调性” ) ③最大值和最小值:参见函数的值域 当 x 取 x1 , x2 ?, xn 的中位数时,函数 y ?| x ? x1 | ? | x ? x2 | ??? | x ? xn | 取最小值 ④函数的零点:对于函数 y ? f ( x) ( x ? D) ,如果存在实数 c(c ? D) ,当 x ? c 时, f (c) ? 0 ,那 么就把 x ? c 叫做函数 y ? f ( x) ( x ? D) 的零点。注:零点是数; 用二分法求零点的理论依据是:①函数 f ? x ? 在闭区间 [ a, b] 上连续;② f (a) ? f (b) ? 0

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那么,一定存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 。 (反之,未必)

以下性质不是 函数的基本性质 .. ⑤周期性:对于函数 y ? f ( x) x ? D ,如果存在一个非零常数 t ,使得对于任意 x ? D 时,恒有

f ( x ? t ) ? f ( x) 成立,那么函数 y ? f ( x) x ? D 叫做周期函数,非零常数 t 叫做该函数的周期。
ⅰ. 任意 x ? D , f ?x ? a ? ? ? f ?x ? , 则 T ? 2a ⅱ. 任意 x ? D , f ? x ? a ? ? ?

1 , 则 T ? 2a f ?x ?

ⅲ. 任意 x ? D , f ? x ? a ? ? f ? x ? b? ,则 T ?| a ? b | *ⅳ.若 y ? f ?x ? 图像有两条对称轴 x ? a 、 x ? b ( a ? b ) ,则 y ? f ?x ? 必是周期函数,且一周 期为 T ? 2 a ? b 。 *ⅴ.若 y ? f ?x ? 图像有两个对称中心 A?a,0? 、 B?b,0? ( a ? b ) ,则 y ? f ?x ? 是周期函数,且一 周期为 T ? 2 a ? b 。 * ⅵ.如果函数 y ? f ?x ? 的图像有一个对称中心 A?a,0? 和一条对称轴 x ? b ( a ? b ) ,则函数

y ? f ?x ?必是周期函数,且一周期为 T ? 4 a ? b 。
⑥ 对称性: ⅰ.点 ? x, y ? 关于 y 轴的对称点为 ?? x, y ? ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f ?? x ?。 ⅱ.点 ? x, y ? 关于 x 轴的对称点为 ?x,? y ? ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? 。 ⅲ. 点 ? x, y ? 关于原点的对称点为 ?? x,? y ? ; 函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? *ⅳ.函数图像(或方程曲线)的对称性(中心对称关键:中点坐标公式;轴对称关键:垂直、平分): ① f ( x ) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) (或 f ( x) ? f (2a ? x) ),则 f ( x ) 图像关于 x ? a 对称;

0) 对称; ② f ( x ) 满足 f (a ? x) ? ? f (a ? x) (或 f ( x) ? ? f (2a ? x) ),则 f ( x ) 图像关于 (a, b) 对称; ③ f ( x ) 满足 f (a ? x) ? 2b ? f (a ? x) (或 f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) ),则 f ( x ) 图像关于 (a, y) ? 0 关于 y ? x ? a( y ? ? x ? a) 对称的曲线方程 f ( y ? a, x ? a) ? 0( f (a ? y, a ? x) ? 0) ; ④ f ( x, y) ? 0 关于点 (a、 b) 对称的曲线方程为: f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 ; ⑤曲线 f ( x,

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ⅴ.两函数 y ? f ?a ? x ? 与 y ? f ?b ? x ?的图像关于直线 x ?

b?a 对称。 2

(1)证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像 C1、 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于中心(轴)的对称点仍在 C2 上,反之亦然; 4.函数图象变换: ① 平移变换: ⅰ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅱ.函数 y ? f ( x) 的图象 ② 伸缩变换: ⅰ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅱ.函数 y ? f ( x) 的图象 ③ 对称变换: ⅰ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅱ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅲ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅳ.函数 y ? f ( x) 的图象
关于y轴对称

左加右减 上加下减

函数 y ? f ( x ? a) 的图象; 函数 y ? f ( x) ? b 的图象;
1

沿x轴方向伸缩为原来的 k 倍

函数 y ? f (k ? x) 的图象; 函数 y ? k ? f ( x) 的图象;

沿y轴方向伸缩为原来的 k 倍

函数 y ? f (? x) 的图象; 函数 y ? ? f ( x) 的图象; 函数 y ? ? f (? x) 的图象; 函数 y ? f (| x |) 图象; 函数 y ?| f ( x) | 图象;

关于x轴对称

关于原点对称

x>0时,图象不变;然后再关于y轴对称

ⅴ.函数 y ? f ( x) 的图象 f(x)>0时,图象不变;然后再关于x轴对称

5.常见的抽象函数模型: ① 正比例函数模型: f ?x ? ? kx , k ? 0 ┄┄┄ f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? 。 ② 幂函数模型: f ?x ? ? x ┄┄┄ f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? ; f ? 。 ? y? ?? ? ? f ?y?
2 x ③ 指数函数模型: f ?x ? ? a ┄┄┄ f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? ; f ?x ? y ? ?

? x?

f ?x ?

f ?x ? 。 f ?y?

④ 对数函数模型: f ?x ? ? loga x ┄┄ f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? ; f ? ? y? ? ? f ?x ? ? f ? y ? 。 ? ? ⑤ 三角函数模型: f ?x ? ? tan x ┄┄┄ f ?x ? y ? ?

? x?

f ?x ? ? f ? y ? 。 1 ? f ?x ? ? f ? y ?

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6.三个二次(哪三个二次)的关系以及应用掌握了吗? ① 在研究三个二次时,你注意到二次项系数非零了吗? ② 如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。 ③ 一元二次函数的研究强调数形结合,那么数形结合该从哪些方面去研究?(开口、对称轴、定义 域以及偏移度) ④ 特别提醒: 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根即为不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 (?) 解集的端点值, 也
2

是二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 图象与 x 轴交点的横坐标。
7.研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗?8.研究函数的性质注意在定义域内进行了吗? 9.解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗?

10.指数运算法则: ( a ? 0 , b ? 0 , m ? R , n ? R ) ⅰ. a ? a ? a
m n m? n



ⅱ. (a ) ? (a )
m n

n m

? a m?n ;

ⅲ. (a ? b) ? a ? b ;
n n n

11.对数运算法则:

loga M ? loga N ? loga (M ? N ) ;

M log a M ?l o g a N ?lo g a N ;

a loga b ? b ;

loga b ?

logc b ; logc a

log a m b n ?

n log a b ; m

12. 几个重要的基本初等函数的图像和性质: ①耐克函数: f (x) ? ax ? (ab ? 0) 在各种情况下的图像: y
2 ab
? b a ? ? b a

b x

y

y

y
2 ab
? b a b a

0 b a ?2 ab
a ? 0, b?0

x

0

? b a

x

?

? b a

0

x

?

b a

0

x

?2 ab
a ? 0, b?0 a ? 0, b?0 a ? 0, b?0

函数

参数范围

单调递增区间

单调递减区间

a ? 0, b?0

(??,?

y ? ax ?

b x

a ? 0, b?0 a ? 0, b?0 a ? 0, b?0

ab ab ] 和[ ,? ? ) a a (??, 0) 和 (0, ? ?) ab ab , 0) 和 (0,? ] a a


[?

ab ab , 0) 和 (0, ] a a


[

(??,

ab ab ] 和 [? ,? ?) a a (??, 0) 和 (0, ? ?)

②幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质: 幂函数 y ? x
a

指数函数 y ? a (a ? 0,a ? 1)
x

对数函数

y ? loga x(a ? 0,a ? 1)

高中数学备忘录 函数及其性质 第 5 页

第一象限内图像 y Ⅰ ⅡⅢ Ⅳ 1 Ⅳ ⅢⅡ Ⅰ 0 x 1 定点 (1, 1)

a ?1
y

0 ? a ?1
y 0 y 1

a ?1

0 ? a ?1
y x 0 1 x

1 x 0 定点 (0, 1)

1 x 0 定点 (0, 1)

定点 (1, 0)

定点 (1, 0)

(0, ? ?) ? (0, ? ?) ? R? R? a ? 0时[0, ? ?) ? x ? 0 ? y ?1 x ? 0 ? 0 ? y ? 1 x ?1? y ? 0 x ? 1 ? y ? 0 a ? 0时(0, ? ?) ? x ? 0 ? 0 ? y ? 1 x ? 0 ? y ? 1 0 ? x ? 1 ? y ? 0 0 ? x ? 1 ? y ? 0
例题赏析: 1.已知函数 f ( x) ?

1 1? x ? log 2 ,求其 f ( x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. x 1? x x?0 ? 1 1? x ? , 0) ? (0, 1) ; 详解:函数 f ( x) ? ? log 2 的定义域由 f ( x) ? ?1 ? x 确定,∴ D ? (?1 ?0 x 1? x ? ?1 ? x
, 0) ? (0, 1) , 对任意 x?(?1

1 1? x 1 1? x 1? x 1? x ? log 2 ? ? log 2 ? ?(log 2 ? log 2 )?0 x 1? x ? x 1? x 1? x 1? x 1 1? x ∴ f ( x) ? ? log 2 是奇函数; x 1? x
有 f ( x) ? f ( ? x) ?

x ?x x ?x 设 0 ? x1 ? x2 ?1 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,∴ 1 ? 1 ? 2 1 ? 0 ,即 1 ? 1 ? 2 1 ???① x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
设 u ( x) ?

1? x 1? x1 1? x2 2( x1 ? x2 ) ? ? ? 0 ,即 0 ? u ( x1 ) ? u ( x2 ) ,则 u ( x1 ) ? u ( x2 ) ? 1 ? x 1 ? x (1 ? x1 )(1? x2 ) 1? x 1 2

∴ log2 u( x1 ) ? log2 u( x2 ) ??log2 u( x1 ) ??log2 u( x2 )???② , 以上两式相加,得 1 ? log 2 u( x1 ) ? 1 ? log 2 u( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2 1) 上递减,同理 f ( x) 在 (?1, 0) 上递减. ∴ f ( x) 在 (0, 2.设 f ( x) ? ?

x b](a ? b) , x ? M } 则使 M ? N 区间 M ? [a, 集合 N ? { y | y ? f ( x), ( x ? R) , 1? x f ( x) ? ?

的实数对 (a, b) 存在吗?如果存在,请求出来;如果不存在,请说明理由. 详解:显然函数

x ( x ? R) 是定义在 R 上的奇函数, 1? x x 1 ? ?1 ? ,? ?) 上单调递减. 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 在 [0 1? x 1? x x ∴函数 f ( x) ? ? 在 R 上单调递减, 1? x
a ? ? f (a) ? ? 1? | a | ? b a b ? b) 存在,则 ? 若 M ? N 的实数对 (a, ? ? ? ba b 1 ? | a | 1 ? | b | ? f (b) ? ? ?a ? 1? | b | ?
高中数学备忘录 函数及其性质 第 6 页

若 a ? 0 ,则 b ? 0 ,矛盾, 于是 (1? | a |)(1? | b |) ? 1 ?| a | ? | b | ? | ab |? 0 ? a ? b ? 0 ,矛盾 故不存在
3.在交通拥挤及事故多发地段, 为了确保交通安全, 规定在此地段内, 车距 d 是车速 v(km / h) 的平方与车身长 S ( m) 的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一半,现假定当车速为 50 km / h 时,车距恰为车身长. (1)试写出 d 关于函数关系式(其中的 s 为常数); (2)问应规定怎样的车速,才能使此地段的车流量 Q ?

1000v 最大? d ?S

详解:(1)设 d ? kv 2 S ,由 S ? k ?502 ? S ? k ?

1 ;由 S ? v 2 S ? v ? 25 2 2500 2 2500

?S 0 ? v ? 25 2 ? ∴ d ? ?2 2 v S v ? 25 2 ? ?2500
(2)当 0 ? v ? 25 2 时, Q ? 1000v ? 2000v ? 50000 2 ? Q1

d ?S 3S 3S 1000 v 1000 50000 当 v ? 25 2 时, Q ? 2 ? ? ? Q2 , 2S v S ? S vS ? S 2500 v 2500 (当且仅当 vS ? S ? v ? 50km / h 等号成立),又 Q1 ? Q2 2500 v ∴ v ? 50km / h 时,车流量最大.
4.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围;

(2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) , 求函数 y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数. 详解:(1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0 由 0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ?1) ? lg 2 ? 2 x ? 1 得 1 ? 2 ? 2 x ? 10 . x ?1 x ?1 因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? 2 ? x ? 1 . 3 3 ? 1 ? x ? 1 ? ? 由? 2 1 得?2 ? x? 1. ? ? x ? 3 3 ? ? 3 3
(2)依题意,当 ? x ?[0,1] 时, g ( x) ? f ( x) ? lg( x ?1) ,

,0] 时, ? x ?[0,1] ,∵ g ( x) 是偶函数 当 x ?[?1
∴ g ( x) ? g (? x) ? lg(? x ?1) 又 g ( x) 是以 2 为周期的周期函数,

,2] 时, x ? 2 ?[?1 ,0] 当 x ?[1 y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? lg[?( x ? 2) ?1] ? lg(3 ? x) . 由单调性可得 y ?[0,lg2] .
由 y ? lg(3 ? x) ,得 x ? 3 ? 10 ,
y

∴所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ?[0,lg2] .
x

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