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江苏省徐州市2014届高三第三次质量检测数学试题(纯word版)含附加题2014050521082957


徐州市 2014 届高三第三次质量检测

数学Ⅰ
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页, 包含填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交 回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、

考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上 . ........ 1.已知集合 M ? 3, 2a , N ? ?a, b? .若 M 2.已知复数 z ?

?

?

N ? ?4? ,则 M


N=






3?i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部是 1? i
▲ .

3.一个正方体玩具的 6 个面分别标有数字 1,2,2,3,3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字 之和为 5 的概率为

4.从高三年级随机抽取 100 名学生,将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图.由图中数据可 知成绩在[130,140)内的学生人数为 ▲ .

频率/组距

S← 0 For I From 1 To 7 Step 2 S←S + I End For
成绩

0.035

a

0.020 0.010 0.005
110 120 130 140 150 160

Print S
(第 5 题图)

(第 4 题图)

5.执行如图所示算法的伪代码,则输出 S 的值为





6.已知圆柱的底面半径为 1,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表面积为 ▲ . x2 y 2 1 7.已知点 P(1,0) 到双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的距离为 ,则双曲线 C 的离心率为 a b 2 ▲ . 3 8.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a4 ? 8 .设 S3 n 为该数列的前 3n 项和, Tn 为数列 an 的前 n 项和.若

? ?

S3n ? tTn ,则实数 t 的值为





1

? x ? y ≥ 0, 1 ? 9.已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ≥ 0, 则 y ? ( ) x 的最大值为 2 ? x ≤ 1, ?
10.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 1 与函数 y ? 3sin





π x(0 ≤ x ≤10) 的图象所有交点的横坐标之和为 2

▲ . O 为圆心的单位圆上的两点, ?POP 11 .已知 P .若 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 是以原点 1 2 ? ? ( ? 为钝角)

π 3 )? ,则 x1 x2 ? y1 y2 的值为 ▲ . 4 5 12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≤ 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 3x ,则不等式 f ( x ? 1) ? ? x ? 4 的 sin( ??
解集是 ▲ . A 13.如图,在△ ABC 中,已知 ?BAC ?

π , AB ? 2 , AC ? 3 , 3
▲ . E C

DC ? 2 BD , AE ? 3ED ,则 BE ?

1 a 14.已知函数 f ( x) ? x ? (a ? R) .若存在实数 m , n , B D e x (第 13 题图) 使得 f ( x) ≥ 0 的解集恰为 ? m, n ? ,则 a 的取值范围是 ▲ .
程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)在△ ABC 中,已知 C ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过 .......

π ,向量 m ? (sin A,1) , n ? (1,cos B) ,且 m ? n . 6

(1)求 A 的值; (2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积. 16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 五 面 体 ABCDEF 中 , 已 知 DE ? 平 面 A B C D, AD / / BC , ?BAD ? 60o , AB ? 2 , E DE ? EF ?1. (1)求证: BC / / EF ; (2)求三棱锥 B ? DEF 的体积. F D C A 17. (本小题满分 14 分) 根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过 20 件,每日产品废品率 p 与日产量 x (件)之间近似地 B
(第 16 题图)

? 2 ,   1≤ x ≤ 9, x ? N* , ? 日废品量 ?15 ? x 满足关系式 p ? ? 2 (日产品废品率 ? ×100%).已知每生产一件 日产量 * ? x ? 60 ,  10 ≤ x ≤ 20, x ? N ? ? 540
正品可赢利 2 千元, 而生产一件废品则亏损 1 千元. (该车间的日利润 y ? 日正品赢利额 ? 日废品亏损 额)

2

(1)将该车间日利润 y (千元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当该车间的日产量为多少件时,日利 润最大?最大日利润是几千元? 18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点,△ A1 B1 B2 是一个边长 a 2 b2 y 为 2 的等边三角形, 其外接圆为圆 M . (1) 求椭圆 C 及圆 M 的方程; (2)若点 D 是圆 M 劣弧 A1B2 上
如图,已知 A1 , A2 , B1 , B2 分别是椭圆 C :
2 C 于点 E , G ,直线 B2G 与 A1B1 一动点(点 D 异于端点 A1 , B2 ) ,直线 B1D 分别交线段 A1 B2 ,椭圆 D

B

GB1 的最大值; (ii)试问: G 两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定 F E ,F E EB1 A1 值;若不是,说明理由. A2 x O M
交于点 F . (i)求

B1 (第 18 题图)

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 3 , anbn ? 2 , bn ?1 ? an (bn ?

2 ) , n ? N* . 1 ? an

1 (1)求证:数列 { } 是等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; bn

(2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? 2an ? 5 ,对于任意给定的正整数 p ,是否存在正整数 q , r ( p ? q ? r ), 使得

1 1 1 , , 成等差数列?若存在,试用 p 表示 q , r ;若不存在,说明理由. cr cq cp

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x (a ? R) . (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单 调增区间; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [ ,1] 上的最小值; (3)记函数 y ? f ( x) 图象为曲线 C ,设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上不同的两点,点 M 为线段

1 2

AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N .试问:曲线 C 在点 N 处的切线是否平行
于直线 AB ?并说明理由.

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数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题)。本试卷满分 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

3

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答 ,若多做,则按 .................... 作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC. A C B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)
(第 21-A 题)

E · O F B D P

? 2 ? ?1? ?1 2 ? 已知矩阵 A ? ? ( c , d 为实数) .若矩阵 A 属于特征值 2,3 的一个特征向量分别为 ? ? , ? ? , ? ?c d ? ?1 ? ?1? ?1 求矩阵 A 的逆矩阵 A . C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
在极坐标系中,已知圆 A 的圆心为 (4,0) ,半径为 4 ,点 M 为圆 A 上异于极点 O 的动点,求弦 OM 中 点的轨迹的极坐标方程. D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 x , y , z ? R ,且 x ? 2 y ? 3z ? 8 ? 0 .求证: ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ≥14 . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 CA ? CB ? 1 , AA1 ? 2 , ?BCA ? 90o . (1)求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值; (2)求二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值. A1 C1 B1

C 23. (本小题满分 10 分) A
(第 22 题图)

B

在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 20 , a2 ? 30 , an ?1 ? 3an ? an ?1 ( n ? N* , n ≥ 2 ).
2 2 ? an?1an?1 的值,判断 an ? an?1an?1 (n ≥ 2) 是否为定值, (1)当 n ? 2 , 3 时,分别求 an

并给出证明; (2)求出所有的正整数 n ,使得 5an?1an ? 1 为完全平方数.

4

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数学Ⅰ参考答案与评分标准

二、解答题 15. (1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 , 又C ?

????????????2 分

π 5π , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , ?????????4 分 6 6 3 1 π cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , ???????????6 分 即 sin A ? 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . ????7 分 6 6 6 3 6 6
(2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x , 由(1)知 A ? C ?

π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3
2π , 3
??10 分

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos

解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 , ?????????12 分 1 1 2π 9 3 ? 所以 SΔ ABC ? BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin . ??????????14 分 2 2 3 4 E 16. (1)因为 AD / / BC , AD ? 平面 ADEF , BC ? 平面 ADEF , 所以 BC / / 平面 ADEF , ????????????3 分 又 BC ? 平面 BCEF ,平面 BCEF 平面 ADEF ? EF , F 所以 BC / / EF . ????????????6 分 (2)在平面 ABCD 内作 BH ? AD 于点 H , D 因为 DE ? 平面 ABCD , BH ? 平面 ABCD ,所以 DE ? BH , C 又 AD , DE ? 平面 ADEF , AD DE ? D , H 所以 BH ? 平面 ADEF , 所以 BH 是三棱锥 B ? DEF 的高. ??????9 分 A B o (第 16 题图) 在直角三角形 ABH 中, ?BAD ? 60 , AB ? 2 ,所以 BH ? 3 , 因为 DE ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AD , 又由(1)知, BC / / EF ,且 AD / / BC ,所以 AD / / EF ,所以 DE ? EF ,??12 分

1 1 1 3 所以三棱锥 B ? DEF 的体积 V ? ? S?DEF ? BH ? ? ? 1? 1? 3 ? . 3 3 2 6 17. (1)由题意可知,

??14 分

? 24 x ? 2 x 2 ,1   ≤ x ≤ 9, x ? N* , ? ? 15 ? x y ? 2 x(1 ? p) ? px ? ? 3 ? 5 x ? x ,  10 ≤ x ≤ 20, x ? N* . ? 3 180 ?

??????????4 分

5

? 24 x ? 2 x 2 ,1   ≤ x ≤ 9, ? ? 15 ? x (2)考虑函数 f ( x) ? ? 3 ? 5 x ? x ,  10 ≤ x ≤ 20, ? 180 ?3

当 15 ? 3 5 ? x ≤ 9 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (15 ? 3 5,9] 上单调减. 所以当 x ? 15 ? 3 5 时, f ( x) 取得极大值,也是最大值,

64 64 , f (9) ? 9 ,所以当 x ? 8 时, f ( x) 有最大值 .??10 分 7 7 2 2 5 x 100 ? x ? ≤ 0 ,所以函数 f ( x) 在 [10, 20] 上单调减, 当 10 ≤ x ≤ 20 时, f '( x) ? ? 3 60 60 100 所以当 x ? 10 时, f ( x) 取得极大值 ,也是最大值. 9 100 64 由于 ? ,所以当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大. 9 7 100 答:当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大,最大日利润是 千元.??14 分 9 18. (1)由题意知, B2 (0,1) , A1 (? 3,0) , x2 ? y 2 ? 1 , ?????????2 分 所以 b ? 1 , a ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 3 3 2 3 3 2 4 ,0) , A1M ? ) ? y 2 ? .?4 分 易得圆心 M (? ,所以圆 M 的方程为 ( x ? 3 3 3 3 3 ), (2)证明:设直线 B1D 的方程为 y ? kx ? 1(k ? ? 3 2 3 3k ? 1 3 , ) , ?????6 分 x ? 1 联立,解得点 E ( 与直线 A1 B2 的方程 y ? 3 3k ? 1 3k ? 1 ? y ? kx ? 1 6k 3k 2 ? 1 ? 2 2 G ( , ), (1+3 k ) x ? 6 kx ? 0 联立 ? x 2 ,消去 并整理得, ,解得点 y 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?3
又 x 是整数, f (8) ? ?????9 分 (i)

GB1 ? ? EB1 xE

xG

6k 3k 2 ? 1 2 3 3k ? 1
1 ?

?

3k 2 ? 3k 3k ? 1 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ?( 3k ? 1) ? ?2 ?( 3k ? 1)
2 ?1 6? 3 ,当且仅当 k ? ? 时,取“=” , 3 2
??????????12 分

2 2?2 2 ?1 GB1 所以 的最大值为 . 2 EB1

≤1 ?

6

3k 2 ? 1 ?1 2 1 3 k ? 1 y ? x ? 1 ? ? x ? 1, (ii)直线 B2G 的方程为 6k 3k 3k 2 ? 1 ?6k 3k ? 1 3 , ), x ? 1 联立,解得点 F ( 与直线 A1B1 的方程 y ? ? 3 3k ? 1 3k ? 1
所以 E 、 F 两点的横坐标之和为

??14 分

2 3 3k ? 1

+

?6k 3k ? 1

? ?2 3 .
???????16 分

故 E 、 F 两点的横坐标之和为定值,该定值为 ?2 3 . 2 19. (1)因为 anbn ? 2 ,所以 an ? , bn 则 bn ?1 ? anbn ?

2an 2bn 4 , ?????????2 分 ? 2? ? 2? ? 2 1 ? an bn ? 2 bn ? 2 1? bn 1 1 1 ? ? , 所以 bn ?1 bn 2
又 a1 ? 3 ,所以 b1 ? 即

4 bn

?1? 2 3 1 ,故 ? ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, 3 2 2 ? bn ?

??4 分

1 3 1 n?2 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,所以 bn ? . ?????????6 分 bn 2 2 2 n?2 (2)由(1)知 an ? n ? 2 ,所以 cn ? 2an ? 5 ? 2n ? 1 , ①当 p ? 1 时, c p ? c1 ? 1 , cq ? 2q ? 1 , cr ? 2r ? 1 ,


1 2 1 1 1 ?1? , , 成等差数列,则 (?) , 2q ? 1 2r ? 1 cr cq cp
2 1 ? 1 ,1 ? ?1 , 2q ? 1 2r ? 1 ??????????9 分

因为 p ? q ? r ,所以 q ≥ 2 , r ≥ 3 ,

所以( ? )不成立. 1 1 1 ②当 p ≥ 2 时,若 , , 成等差数列, cr cq cp 则

2 1 1 1 2 1 4 p ? 2 q ?1 ? ? ? ? ? ,所以 , 2q ? 1 2 p ? 1 2 r ? 1 2r ? 1 2q ? 1 2 p ?1 (2 p ?1)(2 q ?1)

即 2r ? 1 ?

(2 p ? 1)(2q ? 1) 2 pq ? p ? 2q ,所以 r ? , 4 p ? 2q ? 1 4 p ? 2q ? 1

?????????12 分 ??????14 分

欲满足题设条件,只需 q ? 2 p ? 1 ,此时 r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,

因为 p ≥ 2 ,所以 q ? 2 p ? 1 ? p , r ? q ? 4 p2 ? 7 p ? 3 ? 4( p ? 1)2 ? p ? 1 ? 0 , 即r ? q. ??????????15 分 综上所述,当 p ? 1 时,不存在 q , r 满足题设条件; 当 p ≥ 2 时,存在 q ? 2 p ? 1 , r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,满足题设条件.?16 分 20. (1) f ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a ) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? , ??2 分 ? x x x 因为 a ? 0 , x ? 0 ,所以 2ax ? 1 ? 0 ,解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 所以 f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) . ???????4 分
7

(2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? ①当 ?

1 , x2 ? 1 , 2a

1 1 >1,即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数, 2 2a 1 所以 f ( x) 在 [ ,1] 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a . ???????6 分 2 1 1 1 ②当 ≤ ? ≤1 ,即 ?1≤ a ≤ ? 时, 2 2a 2 1 1 1 f ( x) 在 [ , ? ] 上是减函数,在 [? ,1] 上是增函数, 2 2a 2a 1 1 所以 f ( x) 的最小值为 f (? ) ? 1 ? ????????8 分 ? ln(?2a) . 2a 4a 1 1 1 ③当 ? ? ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 [ ,1] 上是增函数, 2 2a 2 1 1 3 所以 f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? a ? ln 2 . 2 2 4 ?1 3 a ? ?1, ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 1 ? ? ln( ?2a ), ? 1 ≤ a ≤ ? , 综上,函数 f ( x) 在区间 [ ,1] 上的最小值 ? f ( x)?min ? ?1 ? 2 2 ? 4a 1 ? ? ? a ? 0. ?1 ? a, 2 ?
?????????10 分

x ? x2 (3)设 M ( x0 , y0 ) ,则点 N 的横坐标为 x0 ? 1 , 2 y ? y2 1 ? a( x12 ? x2 2 ) ? (1 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ? ? 直线 AB 的斜率 k1 ? 1 ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? ln x2 ? ln x1 = a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ? , x1 ? x2 1 曲线 C 在点 N 处的切线斜率 k2 ? f ?( x0 ) ? 2ax0 ? (1 ? 2a) ? x0 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ? , x1 ? x2 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB,则 k1 ? k2 , ln x2 ? ln x1 2 =? 即 , ????????????13 分 x1 ? x2 x1 ? x2 x 2( 2 ? 1) x 2(t ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 所以 ln ? ,不妨设 x1 ? x2 , 2 ? t ? 1 ,则 ln t ? , ? x2 x1 x1 x1 ? x2 1 ? t 1? x1
令 g (t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? ? 0, (t ? 1) , g ?(t ) ? ? t (1+t) 2 t (1 ? t ) 2 1? t

所以 g (t ) 在 (1, +?) 上是增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 g (t ) ? 0 ,即 ln t ? 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB.

2(t ? 1) 不成立, 1? t

??????????16 分

8

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数学Ⅱ参考答案与评分标准

B.选修 4-2:矩阵与变换 ? ? 2? ?1 2 ? ?1? ?3 ? ?1? ?1 2 ? ? 2? ? 4 由题意知, ? ?? ? 2? ? , ? ?? ? 3? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ?c d ? ?1 ? ? 2c ? d ? ?1 ? ?c d ? ?1? ?c ? d ? ?1?

?2c ? d ? 2, ?c ? ?1, 所以 ? 解得 ? ?c ? d ? 3, ?d ? 4.

????????5 分

1? ?2 ? ? ? ? 1 2? 3 3 . 所以 A ? ? ,所以 A?1 ? ? ????????10 分 ? ? ? ?1 4? ?1 1 ? ? ?6 6 ? ? C.选修 4-4:坐标系与参数方程 由题意知,圆 A 的极坐标方程为 ? ? 8cos? , ??????4 分 设弦 OM 中点为 N ( ? ,? ) ,则 M (2 ? ,? ) , 因为点 M 在圆 A 上,所以 2? ? 8cos? ,即 ? ? 4cos? , ??????9 分 又点 M 异于极点 O ,所以 ? ? 0 , 所以弦 OM 中点的轨迹的极坐标方程为 ? ? 4cos? ( ? ? 0) . ??????10 分 D.选修 4-5:不等式选讲 因为 [( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ](12 ? 22 ? 32 ) ≥[( x ? 1) ? 2( y ? 2) ? 3( z ? 3)]2

? ( x ? 2 y ? 3z ? 6)2 ? 142 ,???8 分

x ?1 y ? 2 z ? 3 ,即 x ? z ? 0, y ? ?4 时,取等, ? ? 1 2 3 所以 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ≥14 . ???????10 分
当且仅当 22.如图,以 CA, CB, CC1 为正交基底,建立空间直角坐标系 C ? xyz . 则 A(1,0,0) , B(0,1,0) , A1 (1,0, 2) , B1 (0,1, 2) ,所以 CB1 ? (0,1,2) , AB ? (?1,1,0) ,

?

?

AB1 ? (?1,1,2) , BA1 ? (1, ?1,2) .
30 ? ? (1)因为 cos CB1 , BA1 ? , 10 6? 5 CB1 BA1
30 . 10 ??????????4 分 (2)设平面 CAB1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
所以异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值为

z

C1

CB1 ? BA1

3

B1

A1

C

B

y

? ?? x ? y ? 2 z ? 0, ? m ? AB1 ? 0, 则? 即? ? y ? 2 z ? 0, ? ? m ? CB1 ? 0, 取平面 CAB1 的一个法向量为 m ? (0, 2, ?1) ;

x

A

(第 22 题图)

9

所以二面角

10 . ??????????10 分 5 22. (1)记“演出成功”为事件 A , 则事件 A 由三个互斥事件构成: X ? 6 , X ? 7 , X ? 8 , 3 C1 C1 C1 C2 C1 ? C2 C1 8 13 2 ? C3 ? , P( X ? 7) ? 3 2 3 2 2 ? , 因为 P( X ? 6) ? 2 3 3 C7 35 C7 35
平面角的余弦值为 B? AB C 1 ?

P( X ? 8) ?

1 C2 3 24 2 C3 ? .所以 P( A) ? P( X ? 6) ? P( X ? 7) ? P( X ? 8) ? . 3 C7 35 35

24 .???4 分(2) X 的可能取值为 4,5,6,7,8. 35 C2 C1 3 C2 C1 ? C2 C1 8 因为 P( X ? 4) ? 2 3 3 ? , P( X ? 5) ? 3 2 3 2 2 ? . C7 35 C7 35 所以 X 的概率分布为
所以演出成功的概率为

X
P

4

5

6

7

8

3 35

8 35

13 35

8 35

3 35
??????8 分

4 ? 3 5 ? 8 6 ?13 7 ? 8 8 ? 3 所以 E( X ) ? ? ? ? ? ? 6. 35 35 35 35 35
答:演出节目总数的数学期望为 6. 23. (1)由已知得 a3 ? 70 , a4 ? 180 . ???????????????10 分

2 2 ? an?1an?1 ? ?500 ;当 n ? 3 时, an ? an?1an?1 ? ?500 .???2 分 所以 n ? 2 时, an

猜想: an 2 ? an?1an?1 ? ?500 ( n ≥ 2 ). ????????????????3 分 下面用数学归纳法证明:①当 n ? 2 时,结论成立. ②假设当 n ? k (k ≥ 2, k ? N* ) 时,结论成立,即 ak 2 ? ak ?1ak ?1 ? ?500 , 将 ak ?1 ? 3ak ? ak ?1 代入上式,可得 ak 2 ? 3ak ak ?1 ? ak ?12 ? ?500 . 则当 n ? k ? 1 时,

ak ?12 ? ak ak ?2 ? ak ?12 ? ak (3ak ?1 ? ak ) ? ak ?12 ? 3ak ak ?1 ? ak 2 ? ?500 .
故当 n ? k ? 1 结论成立, 根据①,②可得, an 2 ? an?1an?1 ? ?500 ( n ≥ 2 )成立.????????????5 分 (2)将 an ?1 ? 3an ? an ?1 代入 an 2 ? an?1an?1 ? ?500 ,得 an?12 ? 3an an?1 ? an 2 ? ?500 , 则 5an?1an ? (an?1 ? an )2 ? 500 , 5an an?1 ? 1 ? (an?1 ? an )2 ? 501 , 设 5an?1an ? 1 ? t 2 (t ? N? ) ,则 t 2 ? (an?1 ? an )2 ? 501, 即 ?t ? (an?1 ? an )? (t ? an?1 ? an ) ? 501 , ??????????????7 分 又 an ?1 ? an ? N ,且 501=1 ? 501=3 ? 167,

10

?an ?1 +an ? t ? ?1, ?an ?1 +an ? t ? ?3, 或? ?an ?1 +an ? t ? 501, ?an ?1 +an ? t ? 167, ?t ? 251, ?t ? 85, 所以 ? 或? ?an ?1 ? an ? 250, ?an ?1 ? an ? 82,
故? 由 an ?1 ? an ? 250 解得 n ? 3 ;由 an ?1 ? an ? 82 得 n 无整数解. 所以当 n ? 3 时,满足条件. ?????????????10 分

11


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