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江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编19 空间几何体的表面积与体积 苏教版


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 19:空间几何体的表面积与体积(教 师版)
填空题 1 . (2013 江苏高考数学)如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点, 设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V 2 ,则 V1 :V2 ? ____________.

C1
B1

A1

F
E A

C

B D

【答案】解析:本题主要考察棱柱的体积计算及相似比等有关基础知识. 设三棱柱高为 h ,底面 ?ABC 面积为 S ,∴三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ? Sh ∵ F 是 AA1 的中点 ∴ h1 : h ? 1 : 2 ∵ E,F 分别是 AB,AC 的中点∴ s1 : s ? 1 : 4



V三棱锥 F ? ADE V棱柱 ABC ? A1B2C1

1 Sh V1 3 1 1 1 S1 h1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? V2 Sh 3 S h 3 4 2 24

2 . (2012 年江苏理)如图,在长方体 ABCD ?ABC 1 1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? BB1 D1 D 1 1 D 的体积为____cm .
3

【答案】∵长方体底面 ABCD 是正方形,∴△ ABD 中 BD=3 2 cm, BD 边上的高是

3 2 cm(它也是 2

A ? BB1 D1 D 中 BB1 D1 D 上的高).

1 3 ∴四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ? 2=6 . 3 2 3 . (苏州市第一中学 2013 届高三“三模”数学试卷及解答) 四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在一个球面
上,且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PA ? ABCD , PA ?

2 ,则该球的体积为______.
1

【答案】

4? 3

4 .江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题) ( 已知一个正六棱锥的高为 10cm,底面边长为 6cm, 3 则这个正六棱锥的体积为________cm . 【答案】30 3 5 . (江苏省淮安市 2013 届高三上学期第一次调研测试数学试题)如图,一个封闭的三棱柱容器中盛有水, 且侧棱长 AA1 ? 8 ,若侧面 AA1 B1 B 水平放置时,液面恰好过 AC, BC, A C1 , B1C1 的中点,当底面 ABC 1 水平放置时,液面高度为__________.

【答案】6 6 . (江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题)在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB =PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成 的角为 60°,则该三棱锥外接球的体积为_______. 【答案】

4? 3

7 . (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题) 有一个正四面体的棱长为 3 ,现用一张圆形的包装纸将 其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小半径为________. 【答案】 2 3 8 . (江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学(理)试题)已知一个圆锥的底面圆的半 径为 1,体积为

2 2 ? ,则该圆锥的侧面积为__________. 3

【答案】 3? 9 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)已知正六棱锥的底面边长是 3,侧棱长为 5,则该正六棱锥的体积是________. 【答案】 18 3 10. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别 为 BC,DC 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,则这个四面体的体积为_________. 1 【答案】 ; 3 11. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则三棱锥 A ? B1 D1 D 的体积为_______ cm3 .

2

D1 A1 D B1

C1

C A B

【答案】3 12. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知三棱锥 P ? ABC 的所有棱长都相等, 现沿 PA , PB , PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为

2 6 ,则三棱锥 P ? ABC 的体积为____.
【答案】 9 ; 解答题 13 . 苏 州 市 第 一 中 学 2013 届 高 三 “ 三 模 ” 数 学 试 卷 及 解 答 ) 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 (

1 BC ? a , ?ABC ? 90? , N 、 F 分别为 A1C1 、 B1C1 的中点. 2 (Ⅰ)求证: CF ? 平面 NFB ; (Ⅱ)求四面体 F ? BCN 的体积.
中, AB ? BB1 ?

【答案】(Ⅰ)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, B1B⊥AB, BC⊥AB,又 B1B ? BC=B, ∴AB⊥平面 BB1C1C. 又 N、 F 分别为 A1 C1、B1 C1 的中点 ∴AB∥A1B1∥NF. ∴NF⊥平面 BB1C1C. 因为 FC ? 平面 BB1C1C.所以 NF⊥FC . 取 BC 中点 G,有 BG=GF=GC.∴BF⊥FC ,又 NF ? FB=F, ∴FC⊥平面 NFB

3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, NF ? 平面BCC1 B1 , NF ?

1 1 A1 B1 ? a , 2 2

1 1 1 VF ? BCN ? VN ? BCF ? S ?BCF ? NF ? ? ? BC ? BB1 ? NF 3 3 2 1 1 1 ? ? 2a ? a ? a ? a 3 6 2 6
14. (江苏省 2013 届高三高考模拟卷 (二) (数学) ) 如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=4,E,F 分别为边 AB,AD 的中点.现将△ADE 沿 DE 折起,得四棱锥 A-BCDE. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)若平面 ADE⊥平面 BCDE,求四面体 FDCE 的体积.
A E B F F D C D (第 16 题图) E A

B

C

【答案】证明:(1)取线段 AC 的中点 M,连结 MF、MB.因为 F 为 AD 的中点,
A

F

M E B

D

C

1 所以 MF∥CD,且 MF= CD 2 在折叠前,四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 1 所以 BE∥CD,且 BE= CD. 2 所以 MF∥BE,且 MF=BE 所以四边形 BEFM 为平行四边形,故 EF∥BM. 又 EF?平面 ABC,BM?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC (2)在折叠前,四边形 ABCD 为矩形,AD=2,AB=4,E 为 AB 的中点, 所以△ADE、△CBE 都是等腰直角三角形,且 AD=AE=EB=BC=2. 所以∠DEA=∠CEB=45°,且 DE=EC=2 2. 又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°, 所以∠DEC=90°.
4

又平面 ADE⊥平面 BCDE, 平面 ADE∩平面 BCDE=DE,CE?平面 BCDE, 所以 CE⊥平面 ADE,即 CE 为三棱锥 C-EFD 的高 因为 F 为 AD 的中点, 1 1 1 所以 S△EFD= × ×AD·AE= ×2×2=1. 2 2 4 1 1 2 2 所以四面体 FDCE 的体积 V= ×S△EFD·CE= ×1×2 2= 3 3 3 15.江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学 ( (理) 试题) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AD⊥ 平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ABB1A1; (2)若 AD ? 3 ,AB=BC=2,P 为 AC 中点,求三棱锥 P ? A1BC 的体积.

【答案】证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥平面 ABC, ∴A A1⊥BC, ∵AD⊥平面 A1BC, ∴AD⊥BC, ∵A A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线, ∴BC⊥平面 ABB1A1, 又∵ BC ? 平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ABB1A1 (2) 由等积变换得 VP ? A1BC ? VA1 ? PBC , 在直角三角形 A1 AB 中,由射影定理( AB 2 ? BD ? BA1 )知 AA1 ? 2 3 , ∵ AA1 ? 平面PBC , ∴三棱锥的高为 AA1 ? 2 3 又∵底面积 S?PBC ? 1

1 2 3 ∴ VP ? A1BC ? VA1 ? PBC = S ?PBC ? AA1 ? 3 3

5

法二:连接 CD ,取 CD 中点 Q ,连接 PQ ,∵P 为 AC 中点,? PQ // AD, PQ ?

1 AD 2

? AD ? 3 ,? PQ ?

3 , 2 由(1)AD⊥平面 A1BC,∴ PQ ⊥ 平面 A1BC, ∴ PQ 为三棱锥 P- A1BC 的高,
由(1)BC⊥平面 ABB1A1 ? BC ? BA1 ,? S?PBC ? 4

2 3 , 3 16. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 SAB 是等边三角形,侧面 SCD 是以 CD 为斜边的直角三角形, E 为 CD 的中点, M 为 SB 的中点. (1)求证: CM // 平面 SAE ;(2)求证: SE ? 平面 SAB ; (3)求三棱锥 S ? AED 的体积. ?VP-A1BC ?

S M C E D A B

【答案】

6

17. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角 梯形,AD//BC,PB ? 平面 ABCD,CD ? BD,PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA. (1)求三棱锥 E-BAD 的体积; (2)求证:PC//平面 BDE.

【答案】

7

8


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