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高三复习第一讲 绝对值不等式


选修 4-5

不等式选讲

高三备课组

选修 4-5
第一讲

不等式选讲
绝对值不等式

【考纲速读吧】
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ①|a+b|≤| a |+|b|; ②| a-b|≤| a-c|+|c-b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: | a x+b|≤c;| a x+b|≥c; |x-a |+|x-b|≥c.

【要点集结号】
1 个重要公式
| a±b|≤| a |+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到左是缩小过程,证明不等式可以直接用,也可利 用它消去变量求最值. 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具,但有时还需要通过适当 的变形使其符合绝对值不等式的条件.

2 点必须注意
1.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如|x-a |+|x-b|>m 或|x-a |+|x- b|<m(m 为正常数) ,利用实数绝对值的几何意义求解较简便. 2.含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用重要不等式| a+b|≤| a |+|b|及推广形式 |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行放缩.

3种必会方法
1.分离参数法:运用“f(x)≤a ? f(x)max≤a,f(x)≥a ? f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题. 2.更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时,可转换 思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法. 3.数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形 象思维与抽象思维各自的优势,可直观解决问题.

【课前自主导学】01
1.绝对值不等式的解法 (1)形如| a x+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解. (1) 形如| a x+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式 ① 绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 __________ __________ a=0 ? {x|x≠0} a<0 ? R

② |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax+b|≤c? ________(c>0) , |ax+b|≥c? __________(c>0) .

想一想
解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么?

填一填
|x+1| (1)不等式|2x+1|≤3 的解集是________. (2)不等式 ≥1 的解集是________. |x+2| 2.绝对值不等式的应用 (1)定理:如果 a,b 是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当________时,等号成立. (2)如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当(a-b) (b-c)≥0 时,等号成立. (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式

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①|a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|.

②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

③||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.

想一想
如何求两个或两个以上绝对值和的函数最小值或两绝对值差的函数最大值?

填一填
(1)函数 y=| x-1|+|x-2|的最小值为________. (2)函数 y=|x|-|x-3|的最大值为________.

【自我校对】
1. {x|-a<x<a} {x|x>a 或 x<-a} -c≤ax+b≤c ax+b≥c 或 ax+b≤-c 想一想:提示:关键是根据绝对值的意义或性质去掉绝对值. 3 填一填: (1){x|-2≤x≤1} (2){x|x≤- ,且 x≠-2} 2 2.ab≥0 想一想:提示:关键是根据含绝对值不等式定理或性质转化,消去自变量 x. 填一填: (1)1 (2)3

【核心要点研究】02
【考点一】绝对值不等式的解法
例1 [2012· 湖南高考]不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为________.

【审题视点】应用零点分段法,不等式分情况讨论去掉绝对值符号;也可移项两边平方解不等式.
1 1 ? ? ? ?x≤-2, ?-2<x<1, ?x≥1, [解析] 方法一:原不等式可化为:? 或? 或? ? ?3>0, ? ? ?4x>1 ?-3>0 1 1 ∴?或 <x<1 或 x≥1,∴不等式解集为{x|x> }. 4 4 1 1 方法二:由|2x+1|-2|x-1|>0,得|2x+1|>2|x-1|,平方,得 12x>3,x> .∴解集为{x|x> }. 4 4 1 [答案] {x|x> } 4

【师说点拨】
1.形如|x+a|± |x-b|≥c 不等式的解法常用零点分段讨论法,其步骤为 (1)求零点; (2)划分区间、去绝对值号; (3)分别解去掉绝对值的不等式; (4)取每个结果的并集, 特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值. 2.上述不等式也可用|x-a1|±|x-a2|的几何意义去求解集

【变式探究】

若不等式|2x-a|+a≤6 的解集为{x|-2≤x≤3},求实数 a 的值. 解:由|2x-a|+a≤6,得|2x-a|≤6-a.所以 a-6≤2x-a≤6-a,即 a-3≤x≤3. 由不等式的解集为{x|-2≤x≤3},知 a-3=-2,所以 a=1.

【考点二】绝对值不等式的证明
1 1 5 [2012· 江苏高考]已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 [证明] 因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 2 1 5 5 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< ,从而 3|y|< + = ,所以|y|< . 3 6 3 6 6 18 4 奇思妙想:本例条件不变,问题改为“|x-5y|< ”,该如何证明? 3 例2
? ? ?m+2n=1, ?m=-3, ? 证明:令 x-5y=m(x+y)+n(2x-y) ,则有? ∴ ?m-n=-5, ?n=2, ? ? 第 2 页 共 6 页

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1 1 4 ∴ |x-5y|=|-3(x+y)+2(2x-y)|≤3|x+y|+2|2x-y|,由题知|x+y|< ,|2x-y|< ,从而|x-5y|< . 3 6 3

【师说点拨】
含绝对值不等式的证明题主要分两类,一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝 对值符号转化为常见的不等式证明题,或利用绝对值三角不等式性质定理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适 当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则 特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明. 5 【变式探究】 设 a∈R,函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1) ,若|a|≤1,求证:|f(x)|≤ . 4 证明:证法一:∵ -1≤x≤1,∴ |x|≤1. 又∵ |a|≤1, 1?2 5 5 ∴ |f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-? 、 ?|x|-2? +4≤4. 2 2 证法二:设 g(a)=f(x)=ax +x-a=(x -1)a+x. 5 ∵ -1≤x≤1,当 x=± 1 即 x2-1=0 时, |f(x)|=|g(a)|=1≤ ; 4 当-1<x<1 即 x2-1<0 时,g(a)=ax2+x-a 是单调递减函数. ∵ |a|≤1,∴ -1≤a≤1. 1 1 5 5 x- ?2+ ; g(a)min=g(1)=x2+x-1=?x+ ?2- . ∴ g(a)max=g(-1)=-x2+x+1=-? ? 2? 4 ? 2? 4 5 ∴ |f(x)|=|g(a)|≤ . 4

【考点三】绝对值不等式的综合应用
[2012· 辽宁高考]已知 f(x)=|ax+1|(a∈ R) ,不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. x ? (1)求 a 的值; (2)若? ?f?x?-2f?2??≤k 恒成立,求 k 的取值范围. 例3

【审题视点】

(1)先解绝对值不等式,注意对字母 a 的讨论,然后利用集合相等求 a; (2)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,将原函数转化为分段函数求最大值. [解] (1)由|ax+1|≤3,得-4≤ax≤2.又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 4 2 所以当 a≤0 时,不合题意.当 a>0 时, - ≤x≤ ,得 a=2. a a

? 1 ? x ?=|2x+1|-2|x+1|,则 h(x)= -4x-3,-1<x<-2, (2)记 h(x)=f(x)-2f? ? ?2? 1 ? ?-1,x≥-2,
【师说点拨】
不等式有解是含参数的不等式存在性问题,只要求存在满足条件的 x 即可;不等式的解集为 R 是指不 等式的恒成立问题,而不等式的解集为? 的对立面(如 f(x)>m 的解集是空集,则 f(x)≤m 恒成立)也 是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即 f(x)<a 恒成立? a>f(x)max,f(x)>a 恒成立? a<f(x)min.

1,x≤-1,

【变式探究】

已知关于 x 的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中 a>0) . π (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式在[- ,+∞)内有解,求实数 a 的取值范围. 2 解: (1)当 a=4 时,不等式即为|2x+1|-|x-1|≤2, 1 1 1 1 2 当 x<- 时,-x-2≤2,得-4≤x<- ,当- ≤x≤1 时,3x≤2,得- ≤x≤ , 2 2 2 2 3 2 当 x>1 时,x≤0,此时 x 不存在.∴ 不等式的解集为{x|-4≤x≤ }. 3

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?-x-2,x<-2, ? 1 (2)∵ 设 f(x)=|2x+1|-|x-1|=? 3x,- ≤x≤1, 2 ? ?x+2,x>1,
3 3 3 ∴ f(x)∈ [- ,+∞) ,即 f(x)的最小值为- .若 f(x)≤log2a 有解,则 log2a≥- , 2 2 2 2 2 解得 a≥ ,即 a 的取值范围是[ ,+∞) . 4 4

1

【经典演练提能】04
1.不等式 1<|x+1|<3 的解集为( ) A. (-4,-2) B. (0,2) C. (-4,2) D. (-4,-2)∪(0,2) 答案:D ? ? ? ?|x+1|>1 ?x+1>1或x+1<-1 ?x>0或x<-2 解析:原不等式可化为? ?? ?? ?-4<x<-2 或 0<x<2. ?|x+1|<3 ?-3<x+1<3 ?-4<x<2 ? ? ? 2.[2013· 皖南八校联考]不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.[-1,4] B. (-1,4] C.[-1,4) D. (-1,4) 答案:A 解析:y=|x+3|+|x-1|的最小值为 4,∴ a2-3a≤4.∴ -1≤a≤4,选 A 项. 3.[2012· 广东高考]不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为_______. 1 答案:{x|x≤- } 2 ? ? ? ?x≥0, ?-2<x<0, ?x≤-2, 1 解析:原不等式等价于? 或? 或? ,解之得 x≤- . 2 ?x+2-x≤1 ?x+2+x≤1 ?-x-2+x≤1 ? ? ? 1 所以不等式的解集为{x|x≤- }. 2 4.[2012· 陕西高考]若存在实数 x 使| x-a|+| x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案:-2≤a≤4 解析: 在数轴上确定点 1, 再移动点 a 的位置, 观察 a 点的位置在-2 和 4 的位置时是边界位置, 所以-2≤a≤4. 5.[2013· 宝鸡统考]已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解: (1)由 f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3.又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}, ? ?a-3=-1, 所以? 解得 a=2. ?a+3=5, ? (2)∵ a=2∴ f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+5) , -2x-1,x<-3, ? ? 于是 g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2, ? ?2x+1,x>2. 所以当 x<-3 时,g(x)>5;当-3≤x≤2 时,g(x)=5;当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞,5].



【限时规范特训】05
(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1.[2013· 株洲模拟]不等式(1+x) (1-|x|)>0 的解集是( ) A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0 且 x≠1} C.{x|-1<x<1}
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D. {x|x<1 且 x≠-1}

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答案:D 解析:当 x≥0 时, (x+1) (x-1)<0,∴0≤x<1.当 x<0 时, (x+1)2>0,∴x≠-1,综上可知,选 D 项. 1 1 2.[2013· 西安质检]已知不等式|2x-t|+t-1<0 的解集为(- , ) ,则 t=( ) 2 2 A.-1 B.0 C.1 D.2 答案:B 1 1 解析:∵|2x-t|<1-t,∴t-1<2x-t<1-t.∴2t-1<2x<1,t- <x< ,∴t=0. 2 2 3.[2013· 淮安模拟]设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若 A?B,则实数 a,b 必满足 ( ) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3 答案:D 解析:由题意可得集合 A={x|a-1<x<a+1},集合 B={x|x<b-2 或 x>b+2},又因为 A?B,所以有 a+1≤b-2 或 b+2≤a-1,即 a-b≤-3 或 a-b≥3.因此选 D. 4.不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是( ) A.[-5,7] B.[-4,6] C. (-∞,-5]∪[7,+∞) D. (-∞,-4]∪[6,+∞) 答案:D 解析:|x-5|+|x+3|表示数轴上的点到-3,5 的距离之和,不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是 (-∞,-4]∪[6,+∞) .故应选 D. 5.[2013· 大连模拟]已知命题 p:?x∈R,|x+2|+|x-1|≥m,命题 q:?x∈R,x2-2mx+m2+m-3=0, 那么,“命题 p 为真命题”是“命题 q 为真命题”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由绝对值不等式的几何性质可知,?x∈R,|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3,故若命题 p 为 真命题,则 m≤3;当命题 q 为真命题时,方程 x2-2mx+m2+m-3=0 有根,则 Δ=(-2m)2-4(m2+ m-3)=12-4m≥0,解得 m≤3;所以“命题 p 为真命题”是“命题 q 为真命题”的充要条件. 6.[2013· 江门模拟]设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0.若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},则 a 的 值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 答案:B 解析:由 f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0. x≥a, x<a, ? ? ? ? ? ? ?x≥a, ?x<a, ? ? 此不等式化为不等式组 或 即? a 或? a ?x-a+3x≤0 ?a-x+3x≤0, ? ? ?x≤4 ?x≤-2. ? ? a a 因为 a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤- }.由题设可得- =-1,故 a=2. 2 2 二、填空题 |2a+b|+|2a-b| 7.已知 a 和 b 是任意非零实数,则 的最小值为________. |a| 答案:4 解析:∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|对于任意的 a,b 恒成立,∴最小值为 4. 8.若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是________. 答案: (-∞,-3]∪[3,+∞) 解析:由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以只需|a|≥3 即可,所以 a≥3 或 a≤-3. 1 9.[2013· 天津模拟]已知集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+ -6,t∈(0,+∞)},则集 t 合 A∩B=________. 答案:{x|-2≤x≤5} 解析:|x+3|+|x-4|≤9,当 x<-3 时,-x-3-(x-4)≤9,即-4≤x<-3; 当-3≤x≤4 时,x+3-(x-4)=7≤9 恒成立;当 x>4 时,x+3+x-4≤9,即 4<x≤5. 1 综上所述,A={x|-4≤x≤5}. 又∵x=4t+ -6,t∈(0,+∞) , t
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1 1 4t·-6=-2,当 t= 时取等号.∴B={x|x≥-2},∴A∩B={x|-2≤x≤5}. t 2 三、解答题 10.[2013· 贵阳模拟]设函数 f(x)=|x-a|+x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤3x 的解集为{x|x≥2},求实数 a 的值. 解: (1)当 a=1 时,f(x)≥x+2 可化为|x-1|≥2,解得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}. ∴x≥2

? ?x≥a, ?x<a, ?x≥a, ? ? ? ? (2)由 f(x)≤3x,得|x-a|≤2x,此不等式等价于不等式组? 或? 即? 或?a ? ? ? ?x-a≤2x ?a-x≤2x, ?-a≤x ? ≤x,

x<a,

?3 1 因为 a>0,所以不等式组的解集为{x|x≥ a},由题设可得 a=6. 3 11.[2013· 郑州模拟]设 f(x)=2|x|-|x+3|. (1)求不等式 f(x)≤7 的解集 S; (2)若关于 x 不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解,求参数 t 的取值范围.
-x+3,x<-3, ? ? 解: (1)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, ? ?x-3,x>0. 如图,函数 y=f(x)的图象与直线 y=7 相交于横坐标为 x1=-4,x2=10 的两点,由此得 S=[-4,10]. (2)由(1)知 f(x)的最小值为-3,则不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解必须且只需-3+|2t-3|≤0, 解得 0≤t≤3,所以 t 的取值范围是[0,3]. 12.[2013· 南宁模拟]已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m) . (1)当 m=5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥1 的解集是 R,求 m 的取值范围. 解: (1)由题意知,|x+1|+|x-2|>5, ?x≥2, ?-1≤x<2, ?x<-1, ? ? ? 则有? 或? 或? 解得 x<-2 或 x>3. ?x+1+x-2>5 ?x+1-x+2>5 ?-x-1-x+2>5, ? ? ? ∴函数 f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞) . (2)由对数函数的性质知,f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m)≥1=log22,不等式 f(x)≥1 等价于不等式 |x+1|+|x-2|≥2+m,∵当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 而不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 的解集是 R, ∴m+2≤3,故 m 的取值范围是(-∞,1].

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