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新疆乌鲁木齐2015年高三第一次诊断性测验数学(文)试卷 Word版含解析


2015 年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(文科)
一.选择题 1.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)已知集合 M={x|x≤0},N={﹣2,0,1},则 M∩N=( A. {x|x≤0} B. {﹣2,0} C. {x|﹣2≤x≤0} D. {0,1} 【考点】: 交集及其运算. 【专题】: 集合. 【分析】: 由 M 与 N,找出两集合的交集即可. 【解析】: 解:∵M={x|x≤0},N={﹣2,0,1}, ∴M∩N={﹣2,0}, 故选:B. 【点评】: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. )

2.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)在复平面内,复数

对应的点位于(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【考点】: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【专题】: 计算题. 【分析】: 先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分 子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限. 【解析】: 解:∵复数 ∴复数对应的点的坐标是( ∴复数 故选 B. 【点评】: 本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,在解题时用到复数的加减乘除运 算,是一个比较好的选择或填空题,可能出现在高考题的前几个题目中. 3.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)设函数 f(x)满足 f(sinα+cosα)=sinαcosα,则 f(0)=( A. ﹣ B. 0 C. D. 1 ) = ) = = ,

在复平面内对应的点位于第二象限,

【考点】: 同角三角函数基本关系的运用;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】: 三角函数的求值. 【分析】: 本题主要是利用同角的三角函数的基本关系,根据 sinα+cosα 与 sinαcosα 的关系,即 (sinα+cosα) =1+2sinαcosα 进行求解即可. 【解析】: 解:∵f(sinα+cosα)=sinαcosα,
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2

∴sinα+cosα=0?(sinα+cosα) =0?sinαcosα=﹣ 即 f(0)=﹣ . 故选:A. 【点评】: 本题考查了函数的值,但阶梯的关键在于利用同角的三角函数的基本关系进行求解, 属于基础题. 4.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)“?x∈R,e ﹣2>m”是“log2m >1”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】: 简易逻辑. 【分析】: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解析】: 解:若 e ﹣2>m,则 m<﹣2,m >4,则 log2m >2,故 log2m >1 成立, 若 log2m >1 则 m >2,则 m>
x 2 2 2 x 2 2 2 x 2

2



或 m<﹣

,则 e ﹣2>m 不一定成立,

x

故“?x∈R,e ﹣2>m”是“log2m >1”充分不必要条件, 故选:A 【点评】: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质求出对应的等价条件是 解决本题的关键.

5.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)将函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< 单位后的图形关于原点对称,则函数 f(x)在上的最小值为( A. B. C. ﹣ D. ﹣ )

)的图象向左平移



【考点】: 正弦函数的图象. 【专题】: 三角函数的图像与性质. 【分析】: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性可得 +φ=kπ,k∈z,由此根据|φ|< 求得 φ 的值. ) 的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=sin=sin

【解析】 : 解: 函数 f ( x) =sin (2x+φ) (|φ|< (2x+ +φ)的图象,

再根据所得图象关于原点对称,可得 ∴φ=﹣ ,f(x)=sin(2x﹣ ),

+φ=kπ,k∈z,

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由题意 x∈,得 2x﹣ ∴sin(2x﹣ )∈

∈,

∴函数 y=sin(2x﹣ 故选:D.

)在区间的最小值为﹣



【点评】: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,考查 了正弦函数最值的求法,解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质,能根据正弦函数的性质求最值, 属于基础题. 6.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角 形,俯视图为正方形,则这个几何体的体积为( )

A.

B.

C. 1 D.

【考点】: 由三视图求面积、体积. 【专题】: 空间位置关系与距离. 【分析】: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,分别求出底面面积 和高,代入锥体体积公式,可得答案. 【解析】: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 棱锥的底面面积 S= × 1× 1= , 棱锥的高 h=2, 故棱锥的体积 V= 故选:A 【点评】: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形 状. 7.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)从 1,2,3,4,5 这五个数中,随机取出两个数字,剩下三个 数字的和是奇数的概率是( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【考点】: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】: 计算题;概率与统计. = ,

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【分析】: 根据题意,先计算从 5 个数字中选 2 个的情况数目,进而分析可得若剩下三个数字的 和是奇数,即取出的两个数为两个偶数,或两个奇数;由组合数公式可得其情况数目,由等可能事 件的概率公式,计算可得答案. 【解析】: 解:根据题意,从 5 个数字中选 2 个,共有 C5 =10 种情况, 满足条件的是剩下三个数字的和是奇数,即取出的两个数为两个偶数,或两个奇数; 有 C3 +1=4 种结果, 故剩下两个数字的和是奇数的概率是 P= 故选:B. 【点评】: 本题考查利用排列、组合公式计算等可能事件的概率,注意“剩下三个数字和是奇数” 与“取出的两个数为两个偶数,或两个奇数”是等价的,属于基本知识的考查. 8.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)设{an}是公差不为零的等差数列,a2=2,且 a1,a3,a9 成等比 数列,则数列{an}的前 n 项和 Sn=( A. + B. + C. ) + D. + =0.4.
2 2

【考点】: 等比数列的性质. 【专题】: 等差数列与等比数列. 【分析】: 设出等差数列的公差,由已知结合 a1,a3,a9 成等比数列求得公差,进一步求得首项, 代入等差数列的前 n 项和得答案. 【解析】: 解:设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 由 a2=2,且 a1,a3,a9 成等比数列,得 (2+d) =(2﹣d)(2+7d),解得 d=1. ∴a1=a2﹣d=2﹣1=1. ∴ 故选:D. 【点评】: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,考查了等比数列的性 质,是基础题. = .
2

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9.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点,则打出的点

在圆 x +y =10 内的个数是( A. 2 B . 3 C. 4 D . 5 【考点】: 程序框图. 【专题】: 算法和程序框图.

2

2



【分析】: 根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用 是打印满足条件的点,执行程序不难得到所有打印的点的坐标,再判断点与圆 x +y =10 的位置关 系,即可得到答案. 【解析】: 解:根据流程图所示的顺序,该程序的作用是打印如下点: (1,1)、(2, )、(3, )、(4, )、(5, ))、(6, ) 其中(1,1)、(2, )、(3, )满足 x +y <10, 即在圆 x +y =10 内, 故打印的点在圆 x +y =10 内的共有 3 个, 故选:B. 【点评】: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理 方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析 出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数 学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型?③解模.
2 2 2 2 2 2 2 2

10. (3 分) (2015?乌鲁木齐模拟) 若双曲线 相离,则其离心率 e 的取值范围是( A. e>1 B. e> C. e> )



=1 (a >0 , b >0 ) 的渐近线与圆 (x﹣2) +y =1

2

2

D. e >

【考点】: 双曲线的简单性质.
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【专题】: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】: 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线,进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得 a 和 b 的关系,进而利用 c =a +b 求得 a 和 c 的关系,则双曲线的离心率可求. 【解析】: 解:∵双曲线渐近线为 bx± ay=0,与圆(x﹣2) +y =1 相离, ∴圆心到渐近线的距离大于半径,即
2 2 2 2 2 2 2

>1

∴3b >a , ∴c =a +b > a , ∴e= > 故选:C. 【点评】: 本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等.考 查了学生数形结合的思想的运用. 11.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B, 交其准线于点 C,若
2 2 2 2 2 2 2



=﹣2

,|
2

|=3,则抛物线的方程为(
2



A. y =12x B. y =9x C. y =6x D. y =3x 【考点】: 抛物线的简单性质. 【专题】: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】: 根据过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,作 AM、BN 垂 直准线于点 M、N,根据|BC|=2|BF|,且|AF|=3,和抛物线的定义, 可得∠NCB=30° , 设A (x1,y1), B(x2,y2),|BF|=x,而 x1+ =3,x2+ =1,且 x1x2= 得 p 的值,抛物线的方程. 【解析】: 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),作 AM、BN 垂直准线于点 M、N,则|BN|=|BF|, 又|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|, ∴∠NCB=30° , 有|AC|=2|AM|=6, 设|BF|=x,则 2x+x+3=6?x=1, 而 x1+ =3,x2+ =1,且 x1x2= ∴(3﹣ )(1﹣ )= ∴p= , 得 y =3x. 故选:D.
2 2

,可得(3﹣ )(1﹣ )=

,即可求





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【点评】: 此题是个中档题.考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程.体现了数 形结合的思想,特别是解析几何,一定注意对几何图形的研究,以便简化计算. 12.(3 分)(2015?乌鲁木齐模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=1,则 Sn 的取值 范围是( ) A. (0,1) B. (0,+∞) C. ①当 0<a<1 时,a ﹣1<0,a﹣a >0, 当 0≤x<a 时,x ﹣(a ﹣1)x +a﹣a >0,即 g′(x)≥0, 则函数 g(x)在[0,a)上为增函数, ∴g(x)≥g(0)=0,即此时 f(x)≥2x+ ②当 a>1 时,a ﹣1>0,a﹣a <0 ∴0
4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

,成立.

时,x ﹣(a ﹣1)<0,
2

2

2

从而 x ﹣(a ﹣1)x +a﹣a <0,即 g′(x)<0, 即函数 g(x)在(0, ∴当 0<x< )上为减函数,

时,g(x)<g(0)=0,与题意不符, 时.a 的取值范围是 0<a<1.

综上当 x≥0 时,f(x)≥2x+

【点评】 :本题主要考查导数的综合应用, 利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键. 综 合性较强,难度较大. 22.(12 分)(2015?乌鲁木齐模拟)过以 AB 为直径的圆上 C 点作直线交圆于 E 点,交 AB 延长 线于 D 点,过 C 点作圆的切线交 AD 于 F 点,交 AE 延长线于 G 点,且 GA=GF. (Ⅰ)求证 CA=CD; (Ⅱ)设 H 为 AD 的中点,求证 BH?BA=BF?BD.

【考点】: 与圆有关的比例线段. 【专题】: 立体几何. 【分析】: (I)由于 GF 是圆的切线,可得∠CGE=∠GAC,可得∠DCF=∠GAC.由 GA=GF, 可得∠GAF=∠AFG.再利用三角形的外角定理即可证明. (II)连接 CH,CB.由 CA=CB,AB=BD.可得 CH⊥AD.利用射影定理可得 CB =BH?BA.利 用△BCF∽△BDC.可得 ,即可证明.
2

【解析】: (I)解:∵GF 是圆的切线,∴∠CGE=∠GAC,
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又∵∠CGE=∠DCF, ∴∠DCF=∠GAC. ∵GA=GF, ∴∠GAF=∠AFG. 又∠GAF=∠GAC+∠CAF,∠AFG=∠D+∠DCF, ∴∠CAF=∠D. ∴CA=CD. (II)证明:连接 CH,CB. ∵CA=CB,AB=BD. ∴CH⊥AD. 由 AB 为圆的直径,∴∠ACB=90° , ∴CB =BH?BA. ∵∠BCF=∠CAB=∠D, ∴△BCF∽△BDC. ∴
2 2



∴BC =BF?BD, ∴BH?BA=BF?BD.

【点评】: 本题考查了三角形的外角定理、圆的弦切角定理、圆的性质、等腰三角形的性质、射 影定理、三角形相似的性质定理,考查了推理能力,属于中档题. 23.(12 分)(2015?乌鲁木齐模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,P 是直线 2x+2y﹣1=0 上的一点, Q 是射线 OP 上的一点,满足|OP|?|OQ|=1. (Ⅰ)求 Q 点的轨迹; (Ⅱ)设点 M(x,y)是(Ⅰ)中轨迹上任意一点,求 x+7y 的最大值. 【考点】: 简单曲线的极坐标方程;轨迹方程. 【专题】: 计算题;坐标系和参数方程. 【分析】: (Ⅰ)设射线 OP 的极坐标方程为 ρ= ,依题意可知,动点 Q 的极坐

标为(ρ,θ),P(ρ′,a),由|OP|?|OQ|=1,可得 ρ′?ρ=1,即可求出 Q 点的轨迹; (Ⅱ)设 M(1+ 求 x+7y 的最大值. 【解析】: 解:(Ⅰ)设射线 OP 的极坐标方程为 ρ= , cosα,1+ sinα),可得 x+7y=1+ cosα+7+7 sinα=8+10sin(α+γ),即可

依题意可知,动点 Q 的极坐标为(ρ,θ),P(ρ′,a),由|OP|?|OQ|=1,可得 ρ′?ρ=1.

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∴ρ=
2 2

=2cosθ+2sinθ,

∴ρ =2ρcosθ+2ρsinθ, ∴x +y =2x+2y, ∴(x﹣1) +(y﹣1) =2, ∴Q 点的轨迹是以(1,1)为圆心, (Ⅱ)设 M(1+ ∴x+7y=1+ cosα,1+ cosα+7+7 为半径的圆; sinα),
2 2 2

sinα=8+10sin(α+γ),

∴x+7y 的最大值为 18. 【点评】: 本题考查极坐标与参数方程,考查轨迹方程,考查学生的计算能力,比较基础. 24.(12 分)(2015?乌鲁木齐模拟)设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(﹣ )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围.

【考点】: 绝对值不等式的解法;其他不等式的解法. 【专题】: 计算题;分类讨论;不等式的解法及应用. 【分析】: (Ⅰ)运用绝对值不等式的性质和基本不等式,即可得证; (Ⅱ)通过对 x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号,转化为一次不等式,求得(f(x)+f(2x))
min 即可.

【解析】: (Ⅰ)证明:函数 f(x)=|x﹣a|,a<0, 则 f(x)+f(﹣ )=|x﹣a|+|﹣ ﹣a| =|x﹣a|+| +a|≥|(x﹣a)+( +a)| =|x+ |=|x|+ ≥2 =2.

(Ⅱ)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则 f(x)≥﹣a; 当 a<x< 时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣ <f(x)<﹣a; 当x 时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则 f(x)≥﹣ .

则 f(x)的值域为[﹣ ,+∞), 不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,即为 >﹣ ,解得,a>﹣1,由于 a<0, 则 a 的取值范围是(﹣1,0).
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【点评】: 本题考查绝对值不等式的解法,通过对 x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号是关键, 考查不等式恒成立问题转化为求最值问题,考查分类讨论思想,属于中档题.

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