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2014届高考数学理科试题大冲关:5.1平面向量的概念及其线性运算


2014 届高考数学理科试题大冲关:平面向量的概念及其线性运算
一、选择题 1.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )

? ??? ? ???? ??? A. EF = OF + OE ??? ? ??? ? ???? C. EF =- OF + OE

? ??? ? ???? ??? B. EF =

OF - OE ??? ? ??? ? ???? D. EF =- OF - OE ???? ???? ??? ? 2.在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, AN =λ AB +μ AC ,则 λ+μ
的值为( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 D.1

3.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA =2 BP ,则( A.P、A、B 三点共线 C.P、B、C 三点共线 B.P、A、C 三点共线 D.以上均不正确

??? ?

??? ?

??? ?

)

4.已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且| OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC =0, 则点 O,N 依次是△ABC 的( A.重心 外心 C.外心 重心 ) B.重心 内心 D.外心 内心

??? ?

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??? ?

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????

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 5.如图, 已知 AB =a,AC =b,BD =3 DC , 用 a, b 表示 AD , ??? ? 则 AD =( )
3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4 1 1 C. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4 6.已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点,

???? ??? ? ??? ? ???? 1 4 若 AB =λ AE (λ>0), AC =μ AF (μ>0),则 + 的最小值是( λ μ
A.9 C .5 7 B. 2 9 D. 2

)

二、填空题 7.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 8.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=________. 9.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四 个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若 OP =a OP 1 +b OP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a,b 满足 a________0,b________0(用“>”,“<”或“=”填空). 三、解答题

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 2 ??? ? 10.△ABC 中, AD = AB ,DE∥BC 交 AC 于 E,BC 边上的中线 3

BC 、DE 、 AM 交 DE 于 N.设 AB =a,AC =b, 用 a、 b 表示向量 AE 、
???? ???? ? ???? DN 、 AM 、 AN .

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? ???? ??? ? ???

11.已知 OB =λ OA +μ OC (λ、μ 为实数),若 A、B、C 三点共线,求证 λ+μ=1.

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12.已知△ABC 中, AB =a, AC =b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 P 满足 OP = OA +λa+λb,则动点 P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.

??? ?

????

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??? ?

详解答案
一、选择题 1.解析:由减法的三角形法则知 EF = OF - OE .

????

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答案:B 2.解析:∵M 为边 BC 上任意一点, ∴可设 AM =x AB +y AC (x+y=1). ∴N 为 AM 中点,

???? ?

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????

???? ???? 1 ???? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? ∴ AN = AM = x AB + y AC =λ AB +μ AC . 2 2 2
1 1 ∴λ+μ= (x+y)= . 2 2 答案:A 3.解析:∵ BC + BA =2 BP ,∴ BC - BP = BP - BA . 即 PC = AP , ∴P、A、C 三点共线. 答案:B 4.解析:由| OA |=| OB |=| OC |知,O 为△ABC 的外心; NA + NB + NC =0,知,N 为△ABC 的重心. 答案:C

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??? ? ??? ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ? ???? ??? ? ??? ? 5. 解析:CB = AB - AC =a-b, 又 BD =3 DC , ∴ CD = CB = (a-b), ∴ AD = 4 4 ???? ??? ? 1 1 3 AC + CD =b+4(a-b)=4a+4b.
答案:B

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? λ ??? ? μ ???? 6.解析:由题意得, AB + AC =2 AD =λ AE +μ AF ? AD = AE + AF ,又 D、 2 2
λ μ 1 4 λ μ 1 4 5 2λ μ 5 9 E、F 在同一条直线上,可得 + =1.所以 + =( + )( + )= + + ≥ +2= ,当且仅 2 2 λ μ 2 2 λ μ 2 μ 2λ 2 2 当 2λ=μ 时取等号. 答案:D 二、填空题 7.解析:设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x2+y2=20,解得 x=4,y=2(舍去), 或者 x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2). 答案:(-4,-2) 8. 解析: 因为 8a+kb 与 ka+2b 共线, 所以存在实数 λ, 使 8a+kb=λ(ka+2b), 即(8-λk)a
? ?8-λk=0, +(k-2λ)b=0.又 a,b 是两个不共线的非零向量,故? 解得 k=± 4. ?k-2λ=0, ?

答案:± 4 9. 解析:由于点 P 落在第Ⅲ部分,且 OP =a OP 1 +b OP 2 ,

??? ?

??? ?

??? ?

则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知 a>0,b<0. 答案:> < 三、解答题

? ???? ??? ? ∥ , BC DE ??? ? 2 ???? 2 ? ? 2 ??? ? 10. 解: ? ??? ? AE = AC = b, 3 3 ? ? AD =3 AB ??? ? ???? ??? ? BC = AC - AB =b-a. ? 2 ???? 2 ??? 由△ADE∽△ABC,得 DE = BC = (b-a). 3 3
又 AM 是△ABC 的中线,DE∥BC,

???? 1 ???? 1 得 DN = DE = (b-a). 2 3
???? ? 1 ??? ? ???? 1 又 AM = ( AB + AC )= (a+b). 2 2
△ADN∽△ABM? ???? ? ? ???? ??? ? 2 ??? ? ?? AN =2 AM =1(a+b). 3 3 AD =3 AB ? ? 11.证明:∵ OB =λ OA +μ OC

??? ?

??? ?

??? ?

∴ AB = OB - OA =(λ-1) OA +μ OC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB = OB - OC =λ OA +(μ-1) OC
又∵A、B、C 三点共线 ∴ AB =k CB 即 λ-1 μ = =k λ μ-1

??? ?

??? ?

∴λ+μ=1. 12. 解: 依题意, 由 OP = OA +λa+λb, 得 OP - OA =λ(a+b), 即 AP

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

=λ( AB + AC ).如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交 于 O,则 AP =λ AD , ∴A、P、D 三点共线,即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹必过△ABC 边 BC 的中点.

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