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静力学问题 解答技巧


物理竞赛专题辅导二

制作:新洲一中 陈建珍

处理静力学平衡问题 技法三巧

巧 用 矢 量 图 解

巧 取 研 究 对 象

巧 解 汇 交 力 系

矢量求和图解法则

矢量求差图解法则

F ? F1 ?

F2
F F2

F ? F1 ? F2
F F1

F2

F1 相加矢量首尾相接,
相减两矢量箭尾共点,

和从第一个加数“尾”
指向最后一个加数“头”

差连接两箭头,方向指
向“被减数”

如图所示,三角形ABC三边中点分别为D、E、F, ???? ??? ???? ? 在三角形中任取一点O,如果 、 、 三个矢量 DO OE OF 代表三个力,那么这三个力的合力为 ???? ??? ? ??? ? ??? ? A. OA B. OB C. OC D. DO

B
D

O

F

C

E

A

如图所示,一个重为G的小环,套在竖直放置的半径为R的光 滑大圆环上.有一劲度系数为k,自然长度为L(L<2R)的轻弹簧, 其上端固定在大圆环的最高点A,下端与小环相连,不考虑一切摩 擦,则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大? 由几何关系知 A

由力△与几何△相似得

L ? ?l cos ? ? 2R

R ? O R

L+Δl

k ? ?l G G ? ?l ? L kR ? G L ? ?l R

G
?

FT FN

mg kL kRL ?1 ? ? cos cos ? ? 2 ? kR ? G ? 2 R ? kR ? G ?

如图所示,倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重 为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ<tan θ,现给A施以一水 平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F多大时物体 能在斜面上静止 ? tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ?

? ? ?1 Fmin ? mg tan ?? ? tan ? ?
Fmax ? mg tan ? ? tan ?
?1

静摩擦力达到最大时, 斜面约束力作用线方向 与斜面法线成摩擦角!

1 ? tan ? tan ?
F约

F约
Fmin m Fmax

?
tan-1 ?

tan-1 ?

mg

sin ? ? ? cos ? sin ? ? ? cos ? mg ? F ? mg cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? sin ?

专题2-问题1将力F分解为F1和F2两个分力,若已知F的
大小及F1和F2的夹角θ,且θ为钝角,则当F1、F2大小相 ? 等时,它们的大小为 ;当F 有最大值时,F2大 F / (2 cos ) 1 2 小为 ? F cot .?
F1

θ

? ??

θ F2

F2 F

? 2

F1 F

F2

专题2-问题2

如图所示,放在水平面上的质量为m的物体,在 水平恒力F1作用下,刚好做匀速直线运动.若再给物体加一个恒 力,且使F1 =F2(指大小),要使物体仍按原方向做匀速直线运 动,力F2应沿什么方向?此时地面对物体的作用力大小如何?

水平恒力与重力、 地面约束力作用而 平衡时,三力构成 闭合三角形:

加F2仍构成闭合三角形:
F地1 1 ? ?2 ? ? ? F1 ? F地2 1 ? ?2 ? ? ? F1 ?

F F2

tan-1μ

F1

G F2

如图所示,一光滑三角支架,顶角为θ=45°,在 AB和AC两光滑杆上分别套有铜环,两铜环间有细线相连,释放两 环,当两环平衡时,细线与杆AB夹角60°,试求两环质量比M/m. 系统处于平衡时,两环所受绳 拉力沿绳且等值反向, 支架施支持力垂直各杆,以 此为依据作每环三力平衡矢 量图: FT Mg 对环M ?
15
?

A

θ FT
θ/2

60?

FT
θ/2

30?

对环M

? ? ? ? sin 30? sin ? ? ? ? 2 2? FT mg ? ? ? ? sin15? ? sin ? ? ? ? 2 2?

mg
C
?

Mg
B

M sin 30 ? m sin15?

6? 2 ? 2

如图所示,用细绳拴住两个质量为m1、m2(m1< m2)的质点,放在表面光滑的圆柱面上,圆柱的轴是水平的,绳长 为圆柱横截面周长的1/4.若绳的质量及摩擦均不计,系统静止时,
m1处细绳与水平夹角α是多少? 系统处于平衡时,两质点所受 绳拉力沿绳切向且等值, 圆柱施支持力垂直柱面,以 此为依据作每质点三力平衡 矢量图: 对质点1 F ? m g sin
T 1

m2 m1
? ?

?

FT m1g

O T F

?

m2g

对质点2

FT ? m2 g cos ?

m2 sin ? ? ? tan ? m1 cos ?

m2 ? ? tan m1
?1

如图所示,两个质量相等而粗糙程度不同的物体m1和m2, 分别固定在一细棒的两端,放在一倾角为α的斜面上,设m1和m2与斜面的摩擦因 数为μ1和μ2 ,并满足tanα= ,细棒的质量不计,与斜面不接触,试求两物 ?1 ?2 体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB的夹角θ. B 系统处于平衡时,两物体所受轻杆力等值反向, 沿斜面上每物体受下滑力、最大静摩擦力及杆 m2 作用力,每物体三力平衡矢量关系如图: θ 在力矢量三角形中运用余弦定理: m
2 2 2
1

cos ? ?

b ? ? 2c ? ? a ? 4ca cos ? ? 2 A 2 2 2 2 2 2 2 ? 4ac ? ? ? 4c ? a ? b ? 分别以a、b、c表示各力: 4c ? a ? b
4ca

sin ? ?

在力矢量三角形中运用余弦定理: ? 2 ? a sin ? ? c ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ? 2 ? sin ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? a ? b ? mg sin ? a sin ? 2 ? 1? 2 2 F sin ? ? 2 2 8c ? a ? c 2 ? 2c 2 ? a ? c ? 2 ac cos ? 2 2 ? a ? b ? 代入题给数据: ?1 ? ?2 c cos ? ? cos ? ?
8c 2 ? a 2 ? c 2 ? 2c 2 ?

4ca

?2 mg cos ?

a

?1 mg cos ?

b

2 2?1 ? ?2 mg sin ?

尽量取整体

需“化内为外”时取部分 方程数不足时取部分
整、分结合,方便解题

一个直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙,OB竖直,表面 光滑,AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m,两环间 由一不可伸长的轻绳相连,并在某一位置平衡,如图所示.现将P向 左移一小段距离,两环再次达到平衡,那么移动后的平衡状态与原来 相比,AO杆对P环的支持力FN、摩擦力Ff及细绳上的拉力FT的变化 O A P 情况是 A. FN不变,Ff变大 , FT变大 B. FN不变,Ff变小, FT变小 取两环一线为研究对象 变大 Q C. FN变大,Ff不变 ,FT FN 取下环为研究对象 D. FN变大,Ff变小,FT变大 B FT N

F ? 2mg
F

Ff

FT

F

Ff ? F

2mg

mg

F

三根不可伸长的相同细绳,一端系在半径为r0的环1上,彼此间距相等.绳穿 过半径为r0的第3个圆环,另一端用同样方式系在半径为2r0的圆环2上,如图所 示.环1固定在水平面上,整个系统处于平衡.试求第2个环中心与第3个环中心 之距离(三个环用同种金属丝制作,摩擦不计)

取2、3两环为研究对象,3环重力设为G

T ?G
取2环为研究对象

T T

1

T
3

由几何关系得

2G T cos? ? 3
r0 tan ? ? h

2 cos? ? 3

?

h

?

2
r0

2 5r0 h ? r0 cot ? ? 5

2G 3G

专题2-问题3

取小球为研究对象 求绳中拉力: 一个底面粗糙质量为M的劈放在粗糙的水平

面上,劈的斜面光滑且与水平面成30°夹角,用一端固定的轻 取整体为研究对象求地面k值 绳系一质量为m的小球,轻绳与斜面的夹角为30°,如图所 F地 示.当劈静止时,求绳中拉力的大小;若地面对劈的最大静摩 FT FT FT Φ=tan-1k 擦力等于地面对劈的支持力的k倍,为使整个系统静止,求k的 最小值 tan-1k
30?

30°

30?

FT ? ? sin ? sin 30 ? ?

? M ? m? g

?

?

FT ?

mg 2cos 30
?

?

mg 3

3m ? 30° k?sin 130 ? ? ? 3 ? M?? m ? m 2 3 M? ? ?6 M ? 3m ? 3 mm sin k ?

(M+m)g

?

?

专题2-问题4

如图所示,一长L、质量均匀为M的链条套在一 表面光滑,顶角为α的圆锥上,当链条在圆锥面上静止时,链条中 的张力是多少?
α

链条的受力具有旋转对称性.链条各部分 间的张力属于内力,需将内力转化为外力,我 们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象, 链条其它部分对微元的拉力就成为外力,对微 元根据平衡规律求解: FT ? ? FT 当?? ? 0时, sin ? 2 2 Fi ?? ?? Fi ? 2FT sin ? 2FT ? 2? 2 2 ?? ?

? 2

链条微元处于平衡

FNi

n

?? ? 2FT ? ? ?mg cot 2 2 n M ? ? Mg cot ? FT ? ? g cot 2? 2 2? n 2

Fi

△mg

压延机由两轮构成,两轮直径各为d=50 cm,轮间的间隙为a=0.5 cm,两轮按反方向转动,如图 2-15上箭头所示.已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系 数μ=0.1.问能压延的铁板厚度b是多少?
分析铁板受力如图:

铁板能前进,应满足

? FN cos ? ? FN sin ?
分析几何关系求角θ:
?d ? ?d b?a? ? 2? ?? 2 ? 2 ? ? ? ? ? tan? ? d b?a ? 2 2
2 2

b

a

??
?

d 2

d b?a ? ? 2 2

?

解得 b≤0.75 cm

FN

Ff

物体处于平衡时,其各部分所 受力的作用线延长后必汇交于一 点,其合力为零.

如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O是球心,碗 的内表面光滑.一根轻质杆的两端固定有两个小球,质量分别是m1 、m2,当它们静止时,m1、m2与球心的连线跟水平面分别成 60°30°角,则碗对两小球的弹力大小之比是 A. 1∶2 B. 3 ∶1 C. 1∶ 3 D. 3 ∶2 O 取两球一杆为研究对象,分析受力 ? 30? m 60 2 N1 研究对象处于静止,所受 N2 m1

三力矢量构成闭合三角形!

由力矢量三角形即得

N2 1 tan 30 ? ? N1 3
?

30?

N1 ? N 2 ? 3 ? 1

(m1+m2)g

如图所示,BC两个小球均重G,用细线悬挂而静止于A、G两 点,细线BC伸直.求:⑴AB和CD两根细线的拉力各多大?⑵细线BC 与竖直方向的夹角是多大?

解:BC球系统为一“三力杆”!
FAB

⑴由三力平衡关系图得

A
30?

D
60?

FAB ? 2G sin60 ? 3G
?

FAB

60?

B C
60?

FCD ? 2G cos60? ? G
⑵由几何关系图得

细线BC与竖直成60°角

滑竖直墙面相切,一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙 静止,求棒长. 棒 AB受三力:

专题2-问题5 如图所示,光滑半球壳直径为a ,与一光

棒 AB处于静止,三力作用线 汇交于一点!
在三角形BCD中由正弦定理:
L ? sin 60? L2 ? 2 sin ? sin 30? ? ?

FA

?
C

30

?

A

FB
O



?

?

? ? tan

?1

3 6

B

G

a L ? sin 30 ? 2 ? L ?1 sin ? ? a a/2
?

L ?1? a

3 39

L?

13 ? 13

a

专题2-问题6 如图所示,在墙角处有一根质量为m 的均匀绳,一端悬于天花板上的A点,另一端悬于 竖直墙壁上的B点,平衡后最低点为C,测得绳长 取BC段绳为研究对象: 取AC段绳为研究对象: AC=2CB,且在B点附近的切线与竖直成α角,则 FB α FA 绳在最低点C处的张力和在A处的张力各多大?
mg/3 2mg/3 FTC 最低点C处的张力FTC为
mg tan ? 3

A

FTC

α C

FTC

mg ? tan ? 3

2mg/3
2 2

? 2mg ? ? mg tan ? ? ? mg 4 ? tan2 ? FA ? ? ? ?? ? 3 3 ? ? 3 ? ?

如图所示,有一轻杆AO竖直放在 粗糙的水平地面上,A端用细绳系住,细绳另一 端固定于地面上B点,已知θ=30°,若在AO杆中 点施一大小为F的水平力,使杆处于静止状态, F 这时地面O端的作用力大小为________,方向 ________ 。 与杆成30°
分析杆AO受力: A θ

研究对象处于静止,所受 三力矢量构成闭合三角形!
60°

F

B

O

一均匀光滑的棒,长l,重G,静止在半径为R 的半球形光滑碗内,如图所示,R<l/2<2R.假如θ为平衡时的角 度,P为碗边作用于棒上的力.求证: ⑴ P=(l/4R)G; ⑵(cos2θ/cosθ)=l/4R.

处于平衡,三力作 用线汇交于一点! ? 2? 90 由几何关系: PAQ ? O?AQ ?
?

分析棒的受力如图:棒

O? P
?

B

AO? ? 2R
由正弦定理:
l/2 ?? ? sin ? ? 2? ? ?2 ? ?

P
2R

O

FB
A

在力三角形中 P
??

cos 2? 2 R l l/2 ? ? 4R cos cos 2?? cos ?
? G ??

?? ? sin ? ? 2? ? ? ? ?2 ?

?

Q
?
90? ? 2?

三力构成闭合三角形!

G

? sin ? ? 2? ? ?2 ?

? sin ? ? 2? ? ? ? ?2 ?

l P G P? ? G cos 2? cos ? 4R

一吊桥由六对钢杆悬吊着,六对钢杆在桥面上 分列两排,其上端挂在两根钢绳上,如图所示为其一侧截面图. 已知图中相邻两钢杆间距离均为9m,靠桥面中心的钢杆长度为 5m(即CC′=DD′=5m),AA′=FF′,BB′=EE′,又已知两端钢绳 14 8 与水平成45°角,若不计钢杆与钢绳自重,为使每根钢杆承受负 综合运用三技巧 荷相同,则 AA′=____ m,BB′= m.

FCD ? 3F 45° 1 2 tan ? ? tan ? ? FA 3 3 BB? ? 5 ? 9 tan ? 45° A AA? ? 8 ? 9tan ? F
A B

F

45°

E C D

A′

B′

C′

FFA
D′

45° E′

F′

B

β

B

FB
2F FCB F 3F
β ? 45

3F

FCB C αC F 2F

E
D

FCD

α

FCD

如图所示,一根重量为G的绳子,两端固定在高 度相同的两个钉子上,在其最低点再挂上一重物.设α、β分别是 绳子在最低点和悬点处的切线与竖直方向的夹角,试求所挂物体 的重量.

绳最低点受重物拉力: 半边绳的受力:

β

G0 FT ? 2cos ?

β
?

对力三角形运用正弦定理:

α

FT G FT ? FT sin ? 2sin ? ? ? ? ? ? 2cos ? sin ? G0 FT G0 ? G G/2 2sin ? ? ? ? ? 三力构成闭合三角形! G cos ? sin ? ? ? G tan cos ? ? ? 1 sin? ? cot ? cos ? sin ?

如图所示,半圆柱体重G,重心C到圆心O的距离 为4R/(3π ),其中R为圆柱体半径.如半圆柱体与水平面间的摩 擦因数为μ,求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ. 由半圆柱处于平衡,三力作

用线汇交于一点来确定
地面约束力! 半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形

F约 C?
? ? P

?

F

摩擦角 tan ? ? ? ? F G

由三角形与几何三角形相似,得

F G ? a sin ? R ? 1 ? sin ? ?

G

3?? sin? ? 4 1 ? sin ?

3?? sin? ? 3?? ? 4

如图所示,一个半径为R的 光滑圆柱面放置在水 平面上.柱面上置一线密度为λ的光滑均匀铁链,其一端固定在柱 面顶端A,另一端B恰与水平面相切,试求铁链A端所受拉力以及均 匀铁链的重心位置. FA 求A处拉力介绍两种方法 A 1 ?m 将铁链均匀细分n等分,n→∞,研究 方法一 第i元段: ? i ? i ? ?? ? 微元法 ? i ?? ? ?m ? ? R ? ?? ? ?0 2n 2n 微元处于静止,有 B ?? ?? ? Ti ?1 cos ? Ti cos ? ? gR ? ? sin ? i ?? ? Ti ? 1 2 ?? 2 ? 2n 即,i=1 FA ? T1 cos ? ? gR ? .sin ? ?? ?
n

1 4

i=2 T1 cos ?? ? T2 cos ?? ? ? gR ? ? .sin ? 2?? ? i=n 则
?? ? Tn?1 cos ? ? gR ? .sin ? n?? ? 2 2n 2 2 2n

2

2n

?
?mg



Ti
续解

FA ? ? gR ?

?

2n

?sin ?? ? sin 2?? ? ? ? sin n?? ?

? lim ? ? gR ?
n?? i ?1

n

?

2n n ? ? ? ? ? ? gR lim ? ? .sin ? i n? ? 2n 2n ? ? ? i ?1

.sin ? i ?? ?

sin x ? sin 2 x ? sin 3 x ? ?? ? sin nx

利用数列和公式

读题

? ? gR lim
n ??

?
2n

?

n n?1 sin x sin x 2 2 ? x sin ?n ? ? ? n?1 ? ? 2 sin ? ? ? sin ? ? ? ?

? 2 2n ?

4n ?n ? ? ? n?1 ? ? sin ? ? ? ? sin ? 2 ? 2n ? ? 2 2n ? ? ? ? ? gR lim 2
n ??

sin

?

? 2

2n ?

利用极限
sin x lim ?1 x ?0 x

sin
sin

?

?
4

? ? gR ? 2

? sin 1

?
4

4n 4n

/

?

? ? gR
续解

方法二 元功法

读题

FT ? x ? ? xg ? R

FA
x

A

FT ? ? gR
确定链子重心,可用三力杆平衡法! 由图示三力汇交平衡关系得
O

?m
B

在图示三角形中由正弦定理

2

FA
θ

θ

xC R ? ? sin? cos? ? sin45 tan ? 2 2 xC ? R R ? ? sin 45 ?

R

C
?? R
2

xC

45?

θ

FA ? Rg tan? ? ? mg ?? Rg

?

2

FN

?

如图所示,对均匀细杆的一端施力F,力的方向垂 直于杆.要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起,试求杆与地面间的 最小摩擦因数.
杆处于一系列可能的动态平 衡,当杆抬起α,重力、地面

F
F
?

F约 约束力及F力三力汇 θ 交,以此为依据作杆三力 平衡矢量图: tan ? ? ?? α 由图示几何关系 l cot ? ? l cot ?? ? ? ? G 2 1 1 ?2 2 ? cot? ? 2tan? ? cot ? 整理得 ??? 2tan ? ? cot ? ? 2 恒定 ?min ? ? 2 利用基本不? 当2tan ? ? cot ? 2 ?min ? 等式性质: tan ? ? 时 4
θ


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