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福建省福安一中2015届高三高考考前模拟考试卷数学(理)


福安一中 2015 届高考模拟考试卷 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。

? ,? , ? , ? } ,集合 B ? { x | x ? ?, x ? N? } ,则图中阴影部分所 1.设全集 U ? N? ,集合 A ? { ?,
表示的集合是(

A. { ? } )
U
A B

?} B. { ? , ?} D. { ? , ? ,
) B.(1,0)

?} C. { ? , ? ,
2

2.抛物线 x ? 4 y 的焦点是( A.(0,1)

C.(0,2) D.(2,0)

3.如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图 中的正方形边长为 2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆,则 该器皿的表面积是 A.

? ? 24 C. 2? ? 24

? ? 20 D. 2? ? 20
B.

4. 已知集合 A ? x x 2 ? 1 ? 0 , B ? x x ? m ,若“ a ? A ” 是“ a ? B ”的充分而不必要条件,则实数 m 的取值可以是( A. ) D.

?

?

?

?

1 4

B.

1 3

C.

1

1 2

5.已知等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,公比为 q ,若 a3 ? 2S 2 ? 1, a 4 ? 2S 3 ? 1 ,则 q 等于( ) A. ?3 B.3 C. ?1 D.1

6. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出
s , k 的值依次为(

) B.64,63 D.63,64

A.32,63 C.63,32

7. 已 知 ?ABC 外 接 圆 的 半 径 为 1 , 圆 心 为 O , 且

?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? A C?2 A ,O A ? B 3 , O A C AC B ? 则 的值是(
A.3 B. 3 C.

)

3 2

D.1

8. 设 函 数 f ? x ? ? a? x ? ka x ? a ? 0且a ? 1? 在? ??, ? ?? 上 既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数 , 则

g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是(

)

9. 设 F 是双曲线 最小值为( A. 5 )

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF| +|PA|的 4 12

B. 5 ? 4 3

C. 7

D. 9 )

10.若 a, b ? ? 0,2? ,则函数 f ? x ? ? A.

1 ? 2 ln 2 4

1 3 ax ? 2 x 2 ? 4bx ? 1 存在极值的概率为( 3 3 ? 2 ln 2 1 ? ln 2 1 ? ln 2 B. C. D. 4 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 11.已知 b 为实数,i 为虚数单位,若
n

2 ? bi 为实数,则 b=__________. 1? i

3? ? 12.若 ? x ? ? 的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n=_____. x? ?
13.将编号为 1,2,3,4,5 的五个球放入编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,每个盒内放一个球,若 恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为_____. 14.下列命题中正确命题是_____________(写出所有正确命题的序号) ①命题 “ ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ” 的否定是 “ ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ”; ② f ( x) ?| sin x | ? | cos x | ,则 f ( x) 的最小正周期是 ? ; ③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变; ④平面 ? , ? ,直线 a , b 满足: ? / / ? , a ? ? , b ? ? ,必存在与 a , b 都垂直的直线.
? 15.已知在平面直角坐标系中有一个点列:P .若点 1 ? 0,1? , P 2 ? x2 , y2 ? ,? , P n ? xn , yn ? n ? N

?

?

Pn ? xn , yn ? 到点 P n?1 ? xn?1 , yn?1 ? 的变化关系为: ?

? xn ?1 ? yn ? xn n? N? , y ? y ? x n n ? n ?1

?

?

则P 2015 P 2016 =______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16. (本题满分 13 分)设函数 f (x) ? sin(wx ? 的相邻对称轴的距离为

?
6

) ? 2 cos 2

wx (w ? 0), 已知函数 f(x)的图象 2

? . 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; 3 (Ⅱ)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 f(A)= ,△ABC 的面积为 S= 2 6 3,a=2 7,求 b ? c 的值. 17. (本题满分 13 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, PA ⊥底面

ABCD , M 是棱 PD 的中点,且 PA ? AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 .
(1)求证: CD ⊥平面 PAC ; (2) 如果 N 是棱 AB 上一点, 且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为

10 AN ,求 的值 5 NB

18.(本小题满分 13 分) 某市在 2 015 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市 10000 名学生的成 绩服从正态分布 N (120,25),现某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分析,结果这 50 名同 学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间现将结果按如下方式分为 6 组,第一组[85,95),第二 组[95,105) ,??第六组[135,145],得到 如右图所示的频率分布直方图. (I)试估计该校数学的平均成绩; (Ⅱ)这 50 名学生中成绩在 125 分(含 125 分) 以上的同学中任意抽取 3 人,该 3 人在全市前 13 名的人数记为 X,求 X 的分布列和期望。 附:若 X ~ N (u, ? ) ,则
2

P(u ? 3? ? X ? u ? 3? ) ? 0.9974
19.(本小题满分 13 分)

85

95 105 115 125 135 145

P 满足 PF1 ? PF2 ? 2 2 ,记点 P 的轨迹 已知 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) 为平面内的两个定点,动点
为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程;

B, C 是曲线 ? 上的不同三点, (Ⅱ) 设点 O 为坐标原点, 点A, 且 OA ? OB ? OC ? 0 . 试
探究:直线 AB 与 OC 的斜率之积是否为定值?证明你的结论;

??? ? ??? ? ??? ?

?

20.(本题满分 14 分) 函数 f ( x) ? aex , g ( x) ? ln x ? ln a ,其中 a 为常数,且函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图像在其 与坐标轴的交点处的切线互相平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若存在 x 使不等式

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围; f ( x)

(Ⅲ)对于函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公共定义域中的任意实数 x0 ,我们把 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 的 值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有偏差 都大于 2. 21. (本题满分 14 分)本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请任选 2 题做答.如 果多做,则按所做的前两题计分. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 (Ⅰ)对矩阵 A = 琪 琪

骣 3 1 -1 ,求其逆矩阵 A ; 4 2 桫 ì ? 3x + y = 2 . ? ? 4x + 2 y = 3 ?x=2+2cos? ,以坐标原点为极 (? 为参数) ? y=2sin?

(Ⅱ) 利用矩阵知识解二元一次方程组 í

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xoy 中,圆 C1 的参数方程为 ?

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4sin ? . (I)写出圆 C1 的普通方程及圆 C2 的直角坐标方程; (II)圆 C1 与圆 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ?
2 2

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ )若 2 | x ? 1 | ? | x |? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数

x 的取值范围.

福安一中 2015 届高考模拟考试卷
数学(理科) 参考答案
1-10 BADCB 11.-2 12.6 DDCDA 13,20 14.③④ 15. 2
1007

2015.5.22

16. 解: (1) f (x) ? sin(wx ?

?
6

) ? 2cos 2

wx 3 1 ? sinw x ? cosw x ? 1 ? cosw x 2 2 2

? sin(wx ? ) ? 1 6 ? T ? 2? ? ? ,?T ? ? , w ? ? 2 ,? f (x) ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 ? 6
(2)由(1)知 f (x) ? sin(2 x ?

?

?
6

) ?1

? 3 ? 1 ? f (A) ? sin(2 A ? ) ? 1 ? , 即sin(2 A ? ) ? 6 2 6 2
又? S?

?
6

? 2 A?

?
6

?

13? ? 5? ? ,? 2 A ? ? , 即A ? 6 6 6 3

1 3 bcsin A ? bc ? 6 3, 即bc ? 24 2 4
2 2

a 2 ? b 2 ? c ? 2bc cos A,即b 2 ? c ? 24 ? 28, b ? c ? 10
17. 解析: (1)连结 AC . 因为在 ?ABC 中,

AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 ,
P

所以 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ,所以 AB ? AC . 因为 AB ∥ CD ,所以 AC ? CD . 又因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 AC ? PA ? A , 所 以 ⊥ CD PAC .--------------------------- 4 分 平 面
M

A B N C

D

(2)如图以 A 为原点, AB, AC , AP 所在直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0, 0, 0) , P (0, 0, 2) , B (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , D (?2, 2, 0) . 因为 M 是棱 PD 的中点,所以 M (?1,1,1) .
z

???? ? ??? ? 所以 AM ? (?1,1,1) , AB ? (2, 0, 0) .

P

? 设 n ? ( x, y , z ) 为平面 MAB 的法向量,
? ?? x ? y ? z ? 0 ?n ? AM ? 0 所以 ? , 即 ? , 2 x ? 0 ? n ? AB ? 0 ? ?
A B x N C

M

D

y

?x ? 0 ? 令 y ? 1 ,则 ? y ? 1 , ? z ? ?1 ?
所以平面 MAB 的法向量 n ? (0,1, ?1) .--------------------------------- 8 分 因为 N 是在棱 AB 上一点,所以设 N ( x,0,0) , NC ? (? x, 2, 0) . 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 ? , 因为平面 MAB 的法向量 n ? (0,1, ?1) ,
P

?

????

?

z

? ???? n ? NC 所以 sin ? ? cos( ? ? ) ? ? ???? 2 n ? NC

?

M

A

D

?

2 2? x ?4
2

?

10 . 5

B x

N C y

解得 x ? 1 ,即 AN ? 1 , NB ? 1 ,所以

AN ? 1 .---------------------------- 12 分 NB

18.解: (1)由频率分布直方图可知 [125,135) 的频率为
1 ? (0.01?10 ? 0.024 ?10 ? 0.03 ?10 ? 0.016 ?10 ? 0.008 ?10) ? 0.12

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为 90?0.1?100? 0.24 ?110?0.3 ?120? 0.16 ?130?0.12 ?140?0.08 ? 112 13 (2)由于 ? 0.0013 根据正态分布: P(120 ? 3 ? 5 ? X ? 120 ? 3 ? 5) ? 0.9974 10000 1 ? 0.9974 故 P( X ? 135) ? ? 0.0013, 即0.0013 ?10000=13 2 所以前 13 名的成绩全部在 130 分以上 根据频率分布直方图可知这 50 人中成绩在 135 以上(包括 135 分)的有 50? 0.08=4 人,而在 [125,145) 的学生有 50 ? ( 0.12 ? 0.08) ? 10 所以 X 的取值为 0,1,2,3

19. 解法一:(Ⅰ)由条件可知, 点 P 到两定点 F 1 (1,0), F 2 (?1,0) 的距离之和为定值 2 2 , 所以点 P 的轨迹是以 F 1 (1,0), F 2 (?1,0) 为焦点的椭圆.?????????2 分

又a ?

2 , c ? 1 ,所以 b ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1.????????????????4 分 2

故所求方程为

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由 OA ? OB ? OC ? 0 ,得 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 .????5 分 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? n (k ? 0) , 代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 并整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4knx ? 2n2 ? 2 ? 0 ,

??? ? ??? ? ??? ?

?

4kn 2n , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2n ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 4kn 2n ,? ) , kOC ? ? . 从而可得点 C 的坐标为 ( 2 2 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 因为 k AB ? kOC ? ? ,所以直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值.?????8 分 2
依题意, ? ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? 解法二: (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由 OA ? OB ? OC ? 0 得: x1 ? x2 ? x3 ? 0 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 ?????5 分 (ⅰ)因为点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在椭圆上, 所以有: x12 ? 2 y12 ? 2 , x22 ? 2 y22 ? 2 , 两式相减,得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 从而有

??? ? ??? ? ??? ?

?

y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ?? . x1 ? x2 x1 ? x2 2 y3 , x3

又 y1 ? y2 ? ? y3 , kOC ? 所以 k AB ? kOC ? ?

1 ,即直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值.??????8 分 2
1 , y ? f ? x ? 的图像与坐标轴的交点为 ? 0 , a ? , y ? g ? x ? x 1 a

20.解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? aex , g ? ? x ? ?

的图像与坐标轴的交点为 ? a , 0? ,由题意得 f ? ? 0? ? g? ? a ? ,即 a ?

又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 。 x?m x?m ? x 得 x ? x ,故 m ? x ? xex 在 x ? ?0 , ? ?? 有解, (Ⅱ)由 f ?x? e

令 h ? x ? ? x ? xex ,则 m ? h max ? x ? 。当 x ? 0 时, m ? 0 ;
? 1 x ? ? 1 ? 当 x ? 0 时,∵ h ? ? x ? ? 1 ? ? e ? xe x ? ? 1 ? ? ? x ? e x ,∵ x ? 0 , ?2 x ? ?2 x ?



1 2 x

? x ?2

? 1 ? ? x ? 2 , e x ? 1 ,∴ ? ? x ? ex ? 2 2 x ?2 x ? 1

? 1 ? 故 h? ? x ? ? 1 ? ? ? x ? ex ? 0 ?2 x ?

即 h ? x ? ? x ? xex 在区间 ?0 , ? ? ? 上单调递减,故 h ? x ?max ? h ? 0? ? 0 ,∴ m ? 0 即实数 m 的取值范围为 ? ?? , 0? 。 (Ⅲ)解法一: ∵函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 的偏差为: F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ex ? ln x , x ? ? 0 , ? ?? ∴ F? ? x ? ? ex ?
1 1 ,设 x ? t 为 f ? ? x ? ? ex ? ? 0 的解,则当 x ? ? 0 , t ? , F? ? x ? ? 0 ; x x

当 x ? ? t , ? ?? , F? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 在 ? 0 , t ? 单调递减,在 ? t , ? ?? 单调递增 ∴ F ? x ?min ? et ? ln t ? et ? ln
1 ? et ? t et

1 ?1? ∵ f ? ?1? ? e ? 1 ? 0 , f ? ? ? ? e ? 2 ? 0 ,∴ ? t ? 1 2 ?2?

故 F ? x ?min ? e t ? t ? e 2 ?

1

1 1 1 ? e ? ? 2.25 ? ? 2 2 2 2

即函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2。 解法二: 由于函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 的偏差: F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ex ? ln x , x ? ? 0 , ? ??
x 令F 2 ? x ? ? x ? ln x , x ? ? 0 , ? ? ? 1 ? x ? ? e ? x , x ? ? 0 , ? ? ? ;令 F

1 1? x x ? ? ∵F ,∴ F1 ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 单调递增,F2 ? x ? 在 ? 0 , 1? 单调递 ? 1 ? x ? ? e ? 1 ,F 2 ?x? ? 1 ? x x

减,在 ?1 , ? ?? 单调递增
x ∴F 1 ?x? ? F 1 ? 0? ? 1 , F 2 ?x? ? F 2 ?1? ? 1 ,∴ F ? x ? ? e ? ln x ? F 1 ?x? ? F 2 ?x? ? 2

即函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在其其公共定义域内的所有偏差都大于 2。

骣 1 琪 1 琪 2 -1 21.1.解:(1) A = 琪 ???3 分 3 琪 -2 琪 桫 2
(2)方程组可写为 A 琪 =琪 , 琪 y 琪 3

骣 x 桫

骣 2 桫

4分

骣 ì 1 1 琪 ?x= 骣 骣 x 2 ? 琪 2 2 = A-1 琪 = 琪 ,即 í 因此原方程组的解为 琪 .7 分 琪 琪 y 3 琪 1 1 ? 桫 桫 琪 ?y= 桫 2 ? 2
2. 解 ( Ⅰ ) 圆 C1 的 普 通 方 程 为
2

( x - 2)

2

+ y 2 = 4 , 圆 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为

x 2 +( y - 2) = 4 ?2 分
(Ⅱ)因为两圆圆心距 d =

( 2 - 0) +( 0 - 2)

2

2

= 2 2 < r1 + r2 = 4 ,所以两圆相交.

ì x - 2 2 + y2 = 4 ) ?( 由í ,两式相减, x - y = 0 此即为两圆公共弦方程. ? x 2 +( y - 2) 2 = 4 ?
同时注意到两圆均过原点, 所以圆 C1 圆心到公共弦的距离为

2- 0 2
2

= 2 ,所以公共弦长 = 2 2 2 -

( )
2

2

=2 2.

(3)解:(Ⅰ)由柯西不等式,

( a + b)

? a 2 b 2 ? 12 12 = 9 ,即 a + b ? 3 .

(

)(

)

又 a ? b ? m 恒成立,则 m ? a b

(

)

max

= 3 .所以 m 的最小值为 3 ??..3 分

(Ⅱ) 由 2 | x ? 1 | ? | x |? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,则 2 | x - 1| + | x |? 3 .

所以, í 解得 x ?

ì ì ì ? x? 0 ? 0 < x <1 ? x? 1 或í 或í ? ? 2 ( 1 - x) - x ? 3 ? ? 2 ( 1 - x) + x ? 3 ? ? 2 ( x - 1) + x ? 3
1 5 或无解或 x ? . 3 3

即实数

x 的取值范围为 琪 -? , 琪




1 轹 5 ? , +? ? 3? 滕 3

…………7 分


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