当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学必修五第二章数列知识复习

高中数学必修五第二章数列知识复习


数列知识总结
【知识复习】 1、相关概念: ①数列:按一定次序排列的一列数,数列中的每一个数叫做数列的项。 ②数列的通项公式:如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做数 列的通项公式。 ③数列的递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前 n 项,且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项) 间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 ④若数列{an}的前 n 项和为 Sn 则

?S n ? S n ?1 (n ? 2 ) an ? ? (n ? 1) ?S1
2、等差与等比数列 等差数列 等比数列 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的 项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差 比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列。 即 数列。即 an-an-1=d,公差 d 可为正数、负数和 a n ? q ,公比 q 是一个不等于零的常数。 零 an ?1
n ?1 an ? a1 ? (n ? 1)d (来源:定义,迭加,迭代)a n ? a1q (a1 ? 0,a ? 0)

定义

通项公 式 an ? am ? (n ? m)d (证明)

a n ? am q n?m (a m ? 0,q ? 0) (定义,迭乘,迭代)

若 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 若 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比 a?b 中项,且 G2=ab。 (a, b 是同号) 等差中项,且 A ? 中项 2 (q ? 1) ?na1 n(a1 ? an ) ? Sn ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) 2 (q ? 1) 前n项 ? 1? q n(n ? 1) ? 或Sn ? na1 ? d (错位相减) 和 2 (倒序相加)

1

n n?1 n ?r ?1 ?? (1) a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ? ? ar ? an?r ?1 ? ? (1) a1q ? a2 q ? ? ? a1q

(2) m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) 性质

(2) m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? )

? am ? an ? a p ? aq

? am ? qn ? a p ? aq

(3)若{an}为等差数列,则 an,a2n,a3n 也为 (3)若{an}为等比数列,则 an,a2n,a3n 也为等比 等差数列 数列。 (4)若{an}为等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n (4)若{an}为等比数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也 也为等差数列 为等比数列。 (5) 若{an}, {bn}都是等差数列, 则{an+c}, {kan}, (5)若{an},{bn}都是等比数列,则{kan}(k≠0) , {an+bn}也是等差数列(其中 k、c 为任何常数) ?a ? ?anbn ?,? n ? ? bn ? 也是等比数列。 (1) an ? an?1 ? d (常数) ? {an}为等差数列 (1) an ?1 ? q (q≠0 常数) ? {an}为等比数列。 an a ? kn ? b (2) n (k、 b 不同时为 0 的常数)? an ? cq n (c ? 0,q ? 0 常数)? {an}为等比数 ( 2 ) 等价条 {an}为等差数列 件 列。 Sn ? An 2 ? Bn(A、B 不同时为 0 的常数) (3) 2 (3)an?1 ? an ? an?2( a n ? 0 )? {an}为等比数列。 ? ?an ? 为等差数列 (4) 2 A ? B ? C ? B, A, C 为等差数列
设元技巧 三数等差: a ? d , a, a ? d 四数等差: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 四数等比: a, aq, aq , aq 联系 真数等比,对数等差; 指数等差,幂值等比
2 3

三数等比:

a , a, aq或a, aq, aq 2 q

3、数列求和及数列实际问题 1.数列求通项与和

?s ? sn?1 n ? 2 (1) 求通项常用方法: 观察, 归纳, 叠加, 叠乘, 数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式: an= ? n 。 n ?1 ?s1
(2)数列前 n 项和
1 1 1 ①重要公式:1+2+…+n= n(n+1);12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1);13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2; 2 6 4 ②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd; ③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn; ④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项, 这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:

2

an ?

1 1 1 1 1 1 1 = - 等。 ? ( ? )、 n ?1 n(n ? 1) n ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

⑤错位相减法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错项相消法。

an ? bn ? cn , 其 中 ?bn ? 是 等 差 数 列 , ?cn ? 是 等 比 数 列 , 记 S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn , 则 q Sn ? b b c ? 1 c 2 ???? n ? 1 n
⑥并项求和 ⑦通项分解法 4、数列有关结论 1.由 Sn 求 an, an={
S1 (n ? 1) Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N * )
n ?n 1

,? b c

例如:求这个数列的前 n 项和: 1? ,3 ,...( 2n ?1)

1 2

1 4

1 2n

,...

把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。

an ? bn ? cn

注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中, 若不符合要单独列出。

一般已知条件中含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑用上述公式 2.等差数列 {an} ? an ? an ?1 ? d (d为常数) ? 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N*) ? an ? an ? b ? sn ? An2 ? Bn ; 3.等比数列 {a n } ? a n ? a n-1 ? a n?1 (n ? 2, n ? N) ? a n ? a1 ? q n-1 ; 4.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项, 公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数 5.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 解决;或者由 S ? d n 2 ? (a ? d )n 利用二次函数的性质来确定 n 的值,进而求出前 ? 或? ? n 1 ? ? ? 2 2 ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?
2

n 项

和最值 6.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,在用等比数列前 n 项和公式时,勿忘分类 讨论思想 7.等差数列中, am=an+ (n-m)d,
d ? am ? an m?n

; 等比数列中,an=amqn-m; q= n ? m

an am

8.当 m+n=p+q (m、 n、 p、 q∈N*) 时, 对等差数列 {an} 有: am+an=ap+aq; 对等比数列 {an} 有: aman=apaq; 9.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(k、b、a 是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比数列,则 {kan} 、{anbn}等也是等比数列 10.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” (如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是 等差(或等比)数列 11.对等差数列{an},当项数为 2n 时,S 偶—S 奇=nd;项数为 2n-1 时,S 奇-S 偶=a 中(n∈N*) 12.若一阶线性递归数列 an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形式:
an ? b b (n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式 ? k (an ?1 ? ) k ?1 k ?1

3

【例题】 例 1、数列 ?an ? 中 a1 ? 1 , a n ?
1 a n ?1 ? 1( n ? 2) ,求该数列的通项公式 an 2

2 2 * 例 2、设 ?an ? 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an ?1 ? nan ? an?1 ? an ? 0(n ? N ) ,求其的通项公式

例 3 、已知等差数列前三项为 a ,4 , 3a ,前 n 项和为 S n ,若 S k ? 2550(1) 求 a 及 k 的值; (2) 求
1 1 1 ? ????? S1 S 2 Sn

例 4、设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 4an ? 1(n ? N ? ) ,设 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列
4

5


更多相关文档:

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳及单元检测题

高中数学必修五第二章数列知识点归纳及单元检测题_数学_高中教育_教育专区。1. 已知等差数列 的前 n 项和为 Sn,若 A.18 B.36 C.54 D.72 2. 已知...

必修五第二章数列知识点

数学必修 5 知识第二章 数列 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数...

高中数学必修5第二章复习资料

高中数学必修5第二章复习资料_数学_高中教育_教育专区。必修五 第二章 §5-5...必修五 第二章 §5-5 数列的概念及表示 一、基础知识梳理: 1. 数列的定义...

高中数学必修五数列知识点

高中数学必修五数列知识点_数学_高中教育_教育专区。...等比数列的前 n 项和公式及其推导方法. 二、方法...高一数学复习(修改版) 97页 免费 高中数学必修五数列...

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳及单元检测题

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳及单元检测题_数学_高中教育_教育专区。数列知识点总结一、 数列的定义: (1)按一定次序排成的一列数 (2)数列可以看作...

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)

高中数学必修5__第二章数列复习知识点总结与练习(一)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 5__第二章数列复习知识点总结与练习(一)一.数列的概念与...

必修5第二章《数列》基础知识总结

必修5第二章数列》基础知识总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。———...二、知识复习 (1) 有关概念: 1°数列:按一定次序排列的一列数,数列中的每一...

高中数学必修5第二章_等差数列知识点

高中数学必修5第二章_等差数列知识点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列 1、等差数列的概念: d ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N)d 为常数(用来...

人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

人教版高中数学必修五数列》基础知识要点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。知识总结 第二章数列》基础知识小结一、数列的概念与表示方法 1、 数列的...

人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解

人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解_数学_高中教育_教育专区。人教版高中...第 3 页共 11 页 第二章参考答案一、选择题 1.C 数列 解析:由题设,代入...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com