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高中数学选修2-3第二章


鄂托克旗高级中学

高二数学选修 2-3 导学案

第二章 随机变量及其分布

张海树编写

2013.5

第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量 学习目标: 1.理解随机变量的意义 2.学会区分离散型随机变量与非离散型随机变量 3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当定义随机变量 学习重点: 随机变量所表示试验结果的含义,并恰当定义随机变量 学习难点: 理解随机变量的意义,区分离散型随机变量与非离散型随机变量 知识链接: 随机变量的概念 预习检查: 1.定义:在随机实验中,随着________变化而变化的__________称为随机变量. 2.表示:随机变量常用字母_____,_____,_____,_____等表示. 合作探究: 任何随机试验的结果可以用实数表示吗? 离散型随机变量的概念: 定义:所有取值可以__________的随机变量,称为离散型随机变量. 例 1.下列变量中哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)2010 年 5 月 1 日参观上海世博会的旅客人数. (2)2012 年伦敦奥运会上中国取得的金牌数 (3)某人投篮 10 次投中的次数 (4)2012 年某天济南至北京的动车 D36 次列车到北京的时间. 例 3.指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由. (1)一个袋中装有 4 个白球和 4 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数; (2)郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔 50 有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电 线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号; (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.

例 2.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果: (1) 通常棉花纤维德长度在 (10,60) 记一根棉花纤维的长度为 X, 若规定棉花纤维的长度不小于 25mm 的位优质棉,记变量 Y= ?

25 ?0纤维长度< ?1 纤维长度 ? 25

;

(2)一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 2 个,其中所含白球的个数ξ

当堂检测 1.抛掷均匀硬币一次,随机变量为 ( ) A. 出现正面向上的次数 B. 出现正面向上或反面向上的次数 C. 掷硬币的次数 D. 出现正、反面向上次数之和 2.10 件产品中有 4 件次品,从中任取 2 件,可为随机变量的是 ( ) A. 取到产品的件数 B. 取到次品的件数 C. 取到正品的概率 D. 取到次品的概率 3.电台在每个整点都报时,报时所需时间为 0.5 分钟,某人随机打开收音机对表,他所等待的时间为 η 分,则η 的所有可能取值为_______,每一个可能取值表示___________. 4.下列变量中是离散型随机变量的是_______. ①某无线寻呼台 1 分钟内接到的寻呼次数 X; ②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数 X; ③将一个骰子掷 3 次,3 次出现的点数之和 X. 5.袋中装有 50 个大小相同的球,其中记上 0 号的 5 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3…,9)现从中任取 一球,记所取的球的号码是ξ (1)判断ξ 是否是离散性随机变量?如果是,ξ 取哪些值?如果不是,请 说明理由.(2)说明ξ =5 表示的试验结果. 6.一个袋中有 4 个白球和 3 个红球,从中任取 2 个,则随机变量可能为 ( ) A.所取球的个数 B.其中含红球的个数 C.所取白球与红球的总数 D.袋中球的总数 7.下列变量中,不是随机变量的是 ( ) A. 一射手射击一次的环数 B. 水在标准大气压下沸腾的温度 C. 抛掷两枚骰子,所得点数之和 D. 某电话总机在时间区间(0,t)内收到的呼叫次数

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课后作业 8.写出下面随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果: 一袋中装有 5 只同样大小的球,编号为 1,2,3,4,5,现从该袋中随机取出 3 只球,被取出的球最大号码 数ξ .

1.定义:若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 ,x 2 ,…,x i ,…x n ,X 取每一个值 x i (i=1,2,…,n) 的概率 P(X=x i )=_______,以表格的形式如下,此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的__________. X x1 x2 … … xi … … xn

P 为了表达简单,也用等式. 9 小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、 二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入 下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获胜得价值分 别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为

P(X=x i )=_______,(i=1,2,…,n)表示 X 的分布列.或者用图象直观表示.横坐标是___________,纵坐 标为________. 2.表示:离散型随机变量分布列可以用________、________、________表示. 3.性质:①p i _________,i=1,2,3,?,n; ②

4 3 2 , , , 且每个问题回答正确与否相互独立 ,用ξ 表示小王所获奖品的价值 ,写出ξ 的所有可能 5 4 3
取值.

?p
i ?1

n

i

=_________.

思考探究: 1.如何求离散型随机变量在某一范围内的概率? 学后反思: 2.离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是什么关系?

2.1.2 离散型随机变量的分布列 学习目标: 1.理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 2.掌握离散型随机变量分布列的表示法和性质 3.理解两点分布和超几何分布及其导出过程, 并 X 学习重点:理解有限个值的离散型随机变量及 P 学习难点:理解两点分布和超几何分布及其导 用 预习检查: 离散型随机变量的概率分布列 两点分布与超几何分布 能进行简单应用 其分布列的概念 出过程,并能进行简单应 1.两点分布:若随机变量 X 的分布列具有 的形式,

0

1 p

则称这样的分布列为两点分布列.如果随机变量 X 的分布列为两点分布列,就称 X 服从两点分布, 而称 p=__________为成功概率. 2.超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}发生的 概率为 P(X=k )=________________________,k=0,1,2,?,m,其中 m=min{M,n}且 n≤N,

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M≤N,n,M,N∈N 称分布列 X P 0 1 ? ? m

?

当堂检测 1.一盒中放有大小相同的红色,绿色,黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数 是绿球个数的一半,现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出黄球得 0 分,取出绿球 得-1 分,试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ 的分布列.

为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何分布. 思考探究: X 1 2 1 分 布 列 是两点分布列吗? P 0.5 0.5 X P -1 0 1-2q 1

2.设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ 表示方程 x +bx+c=0 实根的个数 (重根按一个计算),求ξ 的分布列.

2

合作探究 例 1.一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号分 1,2,3,4,5,6,现从中随机取出 3 个球,以 X 表 大号码,求 X 的分布列.

1 2

q2

别 为 示取出球的最

3.设 X 是一个随机变量,其概率分布列是 ,则 q 的值是__________.

4.设随机变量ξ 的分布是 P(ξ =k)= 值.

1 5 c (k ? 1,2,3,4), 其中 c 为常数,求 P( <ξ < )的 2 2 k (k ? 1)

k )=ak(k=1,2,3,4,5). 5 3 1 7 (1)求常数 a 的值; (2)求 P(ξ ≥ )的值;(3)求 P( <ξ < )的值. 5 10 10
例 2.设随机变量ξ 的分布列 P(ξ = X P 0 9n -n
2

1 3-8n 5.若离散型随机变量的分布列为 试求出常数 n,并写出 X 的分布列.

例 3.从某医院的 3 名医生,2 名护士中随机选派 2 人参加抗震救灾,设其中医生的人数为 X,写出 随机变量 X 的分布列. 6.从一副不含大小王的 52 张扑克牌中任意抽取 3 张,求至少有 2 张 A 的概率(用组合数表示).

3

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课后作业 7.某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量ξ 描述 1 次试验的成功次数, 则P(ξ =1)等于 ( ) A.0 B.

1 2

C.

1 3

D.

2 3

8.已知离散型随机变量的分布列为 则 k 的值为______.

件 B 发生的条件概率;其中 P(B│A)读作“A 发生的条件下 B 发生的概率”. 2.性质: (1) 0≤P(B│A)≤1; (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C│A)=________+__________. 思考探究: 1.P(A│B) =P(B│A)吗?为什么? X 1 2 3

… …



1 3 2 . 已 知 P(B │ A)= , P(AB) = ,则 2 10
P(A)=________.



k n

2k n

3k n

nk n

9.某产品40件,其中有次品3件,现从其中任取3件,求取出的3件产品的次品数 X 的分布列.

3. 试探究 P(B│A) 与 P(A B)的联系.

学后反思: 合作控究 例 1.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率 是

1 1 ,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为 ,求出第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次 2 6

闭合后出现红灯闪烁的概率.

2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 学习目标: 1.理解条件概率的定义 2.掌握条件概率的两种计算方法 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 学习重点:条件概率的两种计算方法 学习难点:理解条件概率的定义 预习检查 条件概率 1.定义:一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B│A)=_______为在事件 A 发生的条件下,事 例 2.已知一个盒子中有 6 只节能灯,其中 4 只是不合格产品,任取两次,每次取一只,每一次取后不 放回,若已知第一次取到的节能灯是合格品,求第二次取到的也是合格品的概率.

例 3.在某次考试中,要从 20 道题中随机地抽出 6 道题,若考生至少能答对其中 4 道题即可通过;若

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至少能答对其中 5 道题就获得优秀.已知某考生能答对其中 10 道题,并且知道他在这次考试中已 经通过,求他获得优秀成绩的概率.

A. P(A│B)= P(B│A). B. 0<P(B│A)<1. C. P(AB)= P(A)· P(B│A). D. P(A∩B│A)= P(B). 7.四张奖劵中有 1 张能中奖,现分别由 4 名同学无放回地抽取,若已知第一名同学没有抽到中奖奖 劵,则最后一名同学抽到中奖奖劵的概率是 ( ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.1

当堂检测 1. 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 所 出 现 的 点 数 的 所 有 可 能 结 果 为 ? ={1,2,3,4,5,6}. 记 事 件 A={2,3,5,},B={1,2,4,5,6},则 P(A│B)= ( ) A.

8.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙厂的产品 合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( ) A.0.665 B.0.56 C. 0.24 D.0.285 课后作业 9.已知 P(A│B)=

1 2

B.

1 5

C.

2 5

D.

3 5 1 4 ,既刮东风又下雨的概率是 ,则在 4 3 15

3 1 ,P(AB)= 则 P(B)=________. 7 3

2.根据历年的气象资料统计,某地 4 月份刮东风的概率是 月份刮东风的条件下,该地下雨概率是________.

10.一个家庭中有两个小孩,求: (1)该家庭中有一个是女孩的概率; (2)两个都是女孩的概率; (3)已知其中一个是女孩,另一个也是女孩的概率.

3.一个盒子内装有 4 个产品,其中 3 个一等品,1 个二等品,从中取出两次,每次任取一个且不放回, 设事件 A 为“第一次取到的是一等品”,事件 B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率 P(B │A).

11.某生在一次口试中,共 10 题供选择,已知该生会回答其中的 6 题,随机从中抽取 5 题供考生回答, 答对 3 题及格,求该考生在第一题不会答的情况下及格的概率.

1 1 , P(C│A)= ,则 P(B∪C│A)=_________. 3 2 3 1 5.某种元件用满 6000 小时未坏的概率是 ,用满 10000 小时未坏的概率是 ,现有一个此种元件, 4 2
4.若 B 与 C 是互斥事件且 P(B│A)= 已经用过 6000 小时未坏,则它能用到 10000 小时的概率为__________.

五、学后反思

6.下列关系式中,正确的是

(

)

5

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2.2.2 事件的相互独立性
学习目标: 1.通过实例了解相互独立事件的概念 2.相互独立事件与互斥事件之间的区别 3.掌握相互独立事件概率的乘法公式 4.应用公式解决实际问题,掌握解决概率问题的步骤 学习重点:相互独立事件概率的乘法公式;相互独立事件与互斥事件之间的区别; 学习难点:应用公式解决实际问题,掌握解决概率问题的步骤 预习检查 事件的相互独立性 设 A,B 为两个事件,若___________,则称事件 A 与事件 B 相互独立. 思考探究: 1.事件 A 与 B 相互独立是 P(AB)= P(A)P(B)成立的充要条件吗? 2.如何判断两个事件是否相互独立事件? 相互独立事件的性质 如果事件 A 与 B 相互独立 , 那么事件 ______ 与 ________,________ 与 __________,_______ 与 _________也是相互独立的. 思考探究: 1.相互独立事件与互斥事件的概率等性质有哪些异同? 2.两人打靶,甲击中概率为 0.8,乙击中的概率为 0.7,若两人同时射击一目标,则它们都击中靶的概 率是__________. 合作探究 例 1.一个家庭中有 3 个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令 A={一个家庭中既有男孩又有女 孩},B={一个家庭中最多有一女孩}试判断 A 与 B 是否相互独立,并说明理由.

在一定的时期内各自独立研制出疫苗的概率分别是 (1)这三家机构都研制出疫苗的概率; (2)这三家机构都没有研制出疫苗的概率; (3)这三家研究机构研制出疫苗的概率.

1 1 2 , , 求: 4 3 5

例 3.设三台机器甲、乙、丙是否需要照看,相互之间没有影响.已知在某一小时内,机器甲、乙都需 要照看的概率是 0.05,机器甲、 丙都需要照看的概率为 0.1,机器乙、 丙都需要照看的概率是 0.125. (1)求甲、乙、丙三台机器在这一个小时内需要照看的概率分别是多少? (2)计算在这一小时内至少有一台机器需要照看的概率是多少?

当堂检测 1.若 P(A)=

2 1 1 ,P(B)= 且 P(AB)= ,则事件 A 与 B 的关系是 3 2 3

(

)

A. 事件 A 与事件 B 互斥 B. 事件 A 与 B 对立 C.事件 A 与 B 独立 D. 事件 A 与事件 B 既互斥又独立 2.从一副 52 张扑克牌(去掉大小王)中任抽取一张,设事件 A=“抽到 K”,事件 B=“抽到红牌”, 事件 C=“抽到 J”,判断下列事件是否独立?是否互斥?是否对立?为什么? (1) 事件 A 与 B; (2) 事件 A 与 C.

3.某气象站预报天气的准确率是 0.8,则在两次预报中恰有一次准确的概率是 A. 0.96 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.16 例 2.各国多家医疗研究机构在研制一种新型疫苗,现有甲、乙、丙三个独立的研究机构,已知他们 4.一项工程,甲公司承包的概率是

( )

1 1 1 ,乙公司承包的概率是 ,丙公司承包的概率是 ,则这项工程 5 3 4

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被甲、乙、丙三个公司中的一家承包的概率是__________. 5.甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是 0.7,计算: (1)两人都投中的概率; (2)至少有一人投中的概率.

6.下列事件是独立事件的是 ( ) A.一枚硬币掷两次,E=“第一次为正面”,F=“第二次为反面” B.袋中有 3 个红球,2 个白球,2 个黑球,不放回地摸两球,E=“恰有一个白球”,F=“恰有 2 个白球” C.掷一枚骰子,E=“出现点数为奇数”,F=“出现点数为偶数” D.事件 E=“人能活到 20 岁”,F=“人能活到 50 岁”

12.某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9,数学为 0.8,英 语为 0.85,问一次考试中该生 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少?

学后反思

7.袋内有 3 个白球和 2 个黑球,从中不放回地摸球,用 A 表示“第一次摸到白球”,用 B 表示“第 二次摸到白球”,则 A 与 B 是 ( ) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 8.打靶时,甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次可中 7 次,若两人同时射击一目标,则他们同时中靶 的概率是 ( ) A.

14 25

B.

12 25

C.

3 4

D.

3 5

2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标: 1.理解 n 次独立重复试验的模型机意义 2.理解二项分布,并能解决一些简单的实际问题 3.掌握独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法 学习重点:n 次独立重复试验的模型机意 学习难点:独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法 预习检查 n 次独立重复试验: 一般地,在_________下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. 思考探究: 1.如何理解 n 次独立重复试验的概念中的独立的含义? 二项分布的概率:

9.在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击 (各发射一枚导 弹),由于天气原因,三枚导弹命中目标的概率分别为 0.9,0.9,0.8,若至少有两枚导弹命中目标方可 将其摧毁,则目标被摧毁的概率为 ( ) A.0.998 B.0.046 C.0.002 D.0.954 课后作业 10.要生产一种产品,甲机床的废品率是 0.04,乙机床的废品率是 0.05,从生产的产品中各任取一件, 求: (1)至少有一件废品的概率; (2)恰有一件废品的概率; (3)无废品的概率; (4)至多有一件废品的概率.

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一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p, 则 P(X=k)=_________,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量 X 服从二项分布,记作____________称 p 为 _____________. 思考探究: 1.二项分布与超几何分布有何联系? 2.二项分布与两点分布有何联系?

[0,50,],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3) 求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率 .( 结果用分数表示 , 已知 5 =78125, 2 =128,
7 7

3 2 7 3 8 123 ? ? ? ? ? ,365 ? 73 ? 5 ) 1825 365 1825 1825 9125 9125

3.若随机变量 X~B(5,

1 ),则 P(X=3)=__________. 2

合作探究 例 1.甲乙两位射击运动员各进行 3 次射击,甲每次射击击中目标的概率是 0.90,乙每次射击击中目 标的概率是 0.95,求: (1)甲恰好击中目标 2 次的概率; (2)甲至少击中目标 2 次的概率; (3)乙恰好比甲多击中 2 次的概率,

当堂检测 1.有 6 粒种子,每粒种子发芽的概率都是 96%,则在 6 粒种子中恰有 5 粒发芽的概率是 A.0.96 ×0.04
5

(
5

)

B.0.960.×04

5

5 C. C6 ×0.96 ×0.04

5

5 D. C6 ×0.960.×04

例 2.一名学生骑自行车去上学,从他家到学校的中途有 6 个交通岗,假设在各个交通遇到红灯的事 件是相互独立的,并且概率都是

1 . 3

2.一项试验每次试验成功的概率都是 率是__________. 3.已知 X~B(n, ), 且 P(X=1)= 4.甲射击命中目标的概率是

2 ,且各次试验相互独立,那么在 5 次试验中有 3 次成功的概 3

(1)设ξ 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求ξ 的分布列; (2)设η 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求η 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

3 5

96 ,则 n=__________, 625

1 2 2 ,乙射击命中目标的概率是 ,丙射击命中目标的概率是 .现在三 2 5 3

例 3.根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: API 级别 Ⅰ 状况 优 Ⅱ 良 [0,50] (50,100] (100,150] Ⅲ1 轻微污染 (150,200] Ⅲ2 轻度污染 (200,250] Ⅳ1 中度污染 (250,300] Ⅳ2 中度重污 染 (300,+∞) Ⅴ 重度污染

个人同时射击同一个目标,则目标被命中的概率是________. 5.某次知识竞赛规则如下:在主办方设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答 题,晋级下一轮,假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立, 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_________. 6.一射手对同一目标独立地射击 4 次,若至少命中一次的概率为 为 ( ) A.

80 ,则该射手一次射击的命中率 81

1 4

B.

1 3

C.

2 5

D.

2 3

对 某 城 市 一 年 (365 天 ) 的 空 气 质 量 进 行 监 测 , 获 得 的 API 数 据 按 照 区 间

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7.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 ( ) A.[0.4,1] B.(0,0.4] C.[0.6,1] D.[0.6,1) 8.设随机变量ξ ~B(2,p),η ~B(4,P),若 P(ξ ≥1)= 课后作业 9.某种试验每次试验成功的概率均为

2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 学习目标: 1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义 2.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望) ,并能解决一些实际问题 3.会求两点分布和二项分布的均值 学习重点:通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义 学习难点:.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望) ,并能解决一些实际问题 预习检查 离散型随机变量 X 均值的定义 若离散型随机变量的分布列为: X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

5 则 P(η ≥2)=___________. 9,

2 ,每次试验相互独立,那么在 6 次试验中 4 次成功概率为 3

____(用分数表示). 10.某气象站天气预报的准确率为 80%.试计算; (1)3 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)3 次预报中至少有 2 次准确的概率. 10.在一次数学考试中,第 4 题和第 15 题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选中做一题. 设 4 名考生做这两题的可能性均为

1 . 2

求:(1)其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 15 题的学生数为 X 个,求 X 的分布列.

称 E(X)=____________为随机变量 X 的均值或____________. 2.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 思考探究: 1.在实际问题中,为什么可用样本均值来估计总体均值?

四、高考真题体验:(选做题) 1.(2010· 江西高考)一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣 作弊,他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱各任意抽查两枚。国 王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p 1 和 p 2 .则 A. p 1 =p 2 B. p 1 <p 2 C. p 1 >p 2 D.以上三种情况都有可能

2.概率值 p i (i=1,2,…,n)在均值中的作用是什么? 离散型随机变量均值得性质 如果离散型随机变量 X 的均值是 E(X),那么离散型随机变量 Y=aX+b(其中 a,b 为常数) 有如下性质: (1)P(Y=ax i +b)=__________(i=1,2,3,…,n); (2)随机变量 Y=aX+b 的分布列是: Y ax 1 +b p1 ax 2 +b p2 … … ax i +b pi … … ax n +b pn

学后反思: P

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高二数学选修 2-3 导学案

第二章 随机变量及其分布

张海树编写

2013.5

(3)E(Y)=_______=__________. 思考探究: 1.如何理解性质 E(aX+b)=aE(X)+b? 2.若得分布列为 X P 1 2 3

(1)X=3 时的概率; (2)X 的分布列和数学期望.

1 2

1 3

1 6

例 3.已知某公司在 2006 年至 2010 年的产品质量抽检情况如下表所示: 年份 项目 2006 年 1000 801 2007 年 1000 789 2008 年 1000 798 2009 年 1000 803 2010 年 1000 800 抽查量 合格数 合格率 由于受到国际形势的影响,2011 年计划生产 12000 件该产品.若生产一件合格品盈利 0.6 万元,生产 一件次品亏损 0.3 万元. (1)填写表格中的合格率,并指出该工厂生产的该产品的合格率最接近于哪个数值 p? (2)以(1)中的数值 p 作为该产品的合格率,试预测 2011 年该工厂生产该产品的礼润是多少?

若 Y=aX+3,E(Y)=

7 ,则 a=___________. 3

几种典型分布的离散型随机变量的均值 (1)两点分布的均值: 若 X 服从两点分布,则 E(X)=__________ (2)二项分布的均值: 若 X~B(n,p),则 E(X)=________ 思考探究: 1.如何计算两点分布和二项分布的均值? 2.若 X~B(4,

1 ),则 E(X)的值是________. 2

合作探究 例 1 已知随机变量的分布列为: X P -2 -1 0 1 m 2

1 4

1 3

1 5

1 20

当堂检测 1.已知离散型随机变量的分布列是 X P 1 P 2 3

试求:(1) E(X) ;(2)若 Y=2X-3,求 E(Y).

1 3

1 6

例 2.某计算机程序每运行一次 都随机出现一个五位的二进制数 A= a3 a1 a2 其中 A 的各

则 E(X)=____________. 2.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张劵中有一等劵 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等奖 3 张, 每张可获价值 10 元的奖品,其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张劵中任抽 2 张,求该顾客获得的奖品 总价值 X(元)的概率分布列和期望 E(X). a4 a5 位数中,a 1 =1,a k (k=2,3,4,5)出现 0 的概率是

1 , 3

2 出现 1 的概率是 .记 X=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 ,当程序运行一次时,求: 3

3.若随机变量 X 服从二项分布 B(4,

1 ),则 E(X)的值是 ( 3

) A.

4 3

B.

8 3

C.

13 8 D. 3 9

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第二章 随机变量及其分布

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2013.5

4.若离散型随机变量ξ ~B(n,0.6),且 Eξ =3,则 P(ξ =1) A. 2×0.4 B. 2×0.4 C.3×0.4
4 5 4

D.3×0.6

4

5.某公司有 10 万元资金用于投资开发新项目,如果成功,一年后可获利 25%;一旦不成功,一年后将 丧失资金的 6%,对过去 200 例类似项目的开发结果进行统计,有 192 次成功,8 次不成功,根据此成 功的比例,则该公司一年后可获收益的期望值是_________. 6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需要再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 7.已知随机变量 X 的分布列是 X P -1 0 1

2 ,得到乙、丙公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试 3 1 是相互独立的,记 X 为该毕业生得到面试公司的个数,若 P(X=0)= ,则随机变量 X 的数学期望 12
毕业生得到甲公司面试的概率为 E(X)=____________.

1 2
( ) A. 0

1 3
B. -1

1 6
C. -

则 E(X)=

1 3

D.

1 2
2.(2011·山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分布为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ).

8.已知随机变量ξ 的分布列为 ξ P 0 0.4 2 0.3 4 0.3 C. 11 D. 13

则 E(5ξ +4)= ( ) A. 2.2 B. 2.3 9.已知随机变量 X 的分布列如下表, X P 0 0.4 1 x 2 y

随机变量 X 的均值 E(X)=1,则 x 的值为( ) A.0.3 B.0.2 C.0.4 D.0.24 10.已知随机变量ξ 和η ,其中η =12ξ +6,若ξ 的分布列如下表: ξ P 1 2 m 4 n 4

1 4

1 12
学后反思

则 E(η )的取值范围是 ( ) A.[7,12] B.[29, ) C.[29,37] D.(29,37) 课后作业(高考真题体验) : 1(2011·浙江高考)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该

11


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