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9.1.1直线的方向向量与点向式方程


直线的方向向量与点向式方程 学习目标:
1.理解直线的点向式方程的推导过程,掌握直线的点向式方程. 2.会运用直线的点向式方程. 3.培养数形结合的思想和转化的思想和能力. 4.培养分析问题,解决问题的能力.

学习重点:直线的点向式方程. 学习难点:直线的点向式方程的推导. 学习过程: 一、复习回顾
1. 向量共线(或平行)的概念____

__________________________________________. 2.平行向量基本定理:_____________________________________________________ _________________________________________________________________________ 3.已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则向量 AB =_____________________________.

二、思考:
1.如图 9-1. P0 是一定点, l 是过点 P0 与 v 共线(或平行)的直线, P 为 l 上的任意一点,由平 行向量基本定理可知___________________________________________________ 2. 已知直线 l 过一点 P0 且和一个非零向量 v 共线 (或平行)这条直线是否唯一确定?除此之外, , 还有其它条件可以确定直线吗?

三、讲解新课:
方向向量: ___________________________叫做这条直线的方向向量,通常用_______表示。 注:一条直线的方向向量不唯一,若 v ? (v1 , v 2 ) 是直线 l 的一个方向向量,则 t v(t ? 0, t ? R ) 也是这条直线的一个方向向量。 问题探究:

1

2.已知直线 l 经过点 P ( x 0 , y 0 ) ,且与 l 平行的一个向量 v ? (v1 , v 2 ) , 求这条直线 l 的方程. 点向式方程:设 P( x, y ) 是一动点,点 ∈

? _________________________,
(1) (2) (3) (4)

即___________________________, ∈ , 将(1)换用坐标表示,得 ___________________________, 即 _____________________________________________ ≠0, ≠0 可得到 _____________________ 消去参数 ,得 ___________________________________ 在方程(2)中,如果

方程(3)和(4)都叫做通过 P0 ( x0 , y 0 ) ,方向向量为 v ? (v1 , v 2 ) 的直线的点向式方程. 注: 当 =0(此时 ≠0,否则 v 为零向量)时,则由(3)式得到方程 = ,

它表示______________________________________________(图 9–2(1). 当 =0(此时 ≠0,)则由(3)式得到方程 = , 它表示_________________________________________________(图 9–2(2)).

有了直线的点向式方程,只要知道直线 上一点的坐标和一个方向向量,就可以直接根据直 线的点向式方程求出直线 的点向式方程. 讲解例题

例 1.求通过下列点 P ,且一个方向向量为 v 的直线方程:

, v ⑴ P(1 ? 2), ? (?1,3);
⑵ P(3,?2), v ? (0,2) ⑶ P (2,?1), v ? (3,0)

2

解: (1)

(2)

(3)

变式 1.求过点 P(5,3) ,且平行于向量 v ? (3,?6) 的直线方程

变式 2.写出下列直线经过的一个点和直线的一个方向向量: (1) x ? y (2) y ? 0 (3)

x ?3 y ?5 ? 4 3

1) , 例 2.求过点 A(?2,和点B(1 3) 的直线方程

3

解:

变式:求过点 A(?1 3),B(2, 的直线方程 , 4)

.

四、归纳总结
通过今天的学习,大家学到了 1.一个点和一个非零向量可以确定一条直线. 2.直线的点向式方程.

五.拓展练习与能力提高
1.下列各点中,在直线 y ? 2 x ? 1 的是 (A)(2,0) (B) (0,1) (C) (0,-1) (D) (-2,3) 2 直线 y ? ?3x ? b 经过原点的充要条件是 (A) b ? 0 3.直线 (B) ( ( ) )

x ? 0 (C) y ? 0

(D) b ? 0 ( )

x ?1 y ? 2 经过的一个点和一个方向向量是 ? ?2 3
(B)(1,2)(2,3) , (D)(-1,-2)(-2,3) ,

(A) (1,2)(-2,3) , (C)(-1,-2)(2,3) ,

六、课后作业
课本 P104 1(1)(4)(5)(6) 、 、 、

4


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