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含参不等式恒成立问题的求解策略1


含参不等式恒成立问 题的求解策略

设置情境,感受生活
市二模考试结束了,几 人欢喜几人愁!教室外面的 那个同学考试成绩比我们班 同学都低,用不等式的知识 怎样概括表达?可以归结为 什么类型的问题?

简单的生活问题,概 括为“不等式恒成立”的 数学问题,它不但在近几 年高考中频繁出现,而且 出现的试题大多数以大题 为主。2008-2010高考试 卷中恒成立的题目如下:

了解高考,把握热点
08 安徽理第20题 文第21题 全国II文第21题理第22题 陕西理文第22题理第21题 辽宁理第22题 全国I理第19题 39 湖南理第21题文第21题 天津理第20题 文第21题 套 有12套 09 重庆理第5题 浙江文第21题理第22题 上海理第11题 辽宁理第21题 江西理第15,17题 湖北文理21题 39 北京理第18题文18题 湖南理第8题 上海春季招生第17题 套 有11套 20 山东理第14题,全国II文第22题理第20题 全国Ⅲ理第21题 10 湖北理第21题 海南文第20题理第21题 天津理第16题 湖南理第20题 安徽文第17题理第19题 四川理第22题 39 江西文第17题理第19题 福建文第22题理第21题 套 有16套

感悟高考

明确考向

(2010· 山东)若对任意 x>0, x ≤a 恒成立,则 a 2 x +3x+1 的取值范围是___________.

1 解析 对 1 x+x+3 1 任意 x>0 恒成立,设 u=x+x+3, 1 ∴只需 a≥(u)m ax 即可. ∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取 1 1 1 等号).由 u≥5 知 0<u≤5,∴a≥5.

x ∵a≥ 2 = x +3x+1

感悟高考

明确考向

(2010· 山东)若对任意 x>0, x ≤a 恒成立,则 a 2 x +3x+1 ?1 ? ? ? ?5,+∞? ? ? 的取值范围是___________ .

回归课本

提炼方法

例题 1 (新课标选修 2-2 第 28 页例题 4 第 30 页例题 5 改编)已知
1 3 函数 f ( x)= x ? ax ? 4 在区间 [0,3] 上 3

的导数 f ?( x) ? 0 恒成立,则实数 a 的 取值范围是

{a|a≥9}

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2

提炼方法

变式 1 (2009 重庆理第 5 题)不等 式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成 立,则实数 a 的取值范围为( A ) (新课 标选修 4-5 第 20 页第 9 题改编) A.(??, ?1] ? [4, ??) C. [1, 2] B.(??, ?2] ? [5, ??) D. (??,1] ? [2, ??)

归纳总结,概括方法
解决恒成立的不等式问题,可以考虑 如下方法: (1)转化为求原函数的最值

f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)min ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立 ? f ( x)max ? 0

变式 2(2011 年乌鲁木齐二模第 17

?1? 题(2) ) 设 Sn ? 2 ? ? ? , 对 于 ?2? m?4 * ?n ? N ,总有 Sn ? 成立,求 3 整数 m 的最大值.

n ?1

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提炼方法

变式 3(2011 年乌鲁木齐一 模第 21 题)设函数 f(x)=lnx- ax,当 a>0 恒有 f(x)≤-1,求 实数 a 的取值范围.

回归课本

提炼方法

1 解 : 当 a ? 0 时 , f ? x? 在 x ? 处 取 得 极 大 值 a

?1? f ? ? ? ? ln a ? 1 ,此极大值也是最大值. ?a? ?1? 要使 f ( x) ≤ ?1 恒成立, 只需 f ? ? ? ? ln a ? 1 ≤ ?1 ?a?

∴ a ≥ 1 ,∴ a 的取值范围是 ?1, ?? ? .

化隐为显
kx

突出重围

例题 2(2009 北京理 18) 设函数 若函数 f ( x ) 在 f ( x) ? xe (k ? 0) , 区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值 范围.

解 : 由 题 意 , f ?( x) ? 0 在 区 间 (?1,1) 恒 成 立 。
kx e ? 0 ,即 e (1 ? kx) ? 0 在区间 (?1,1) 恒成立。因为

kx

1 ? kx ? 0 在区间 (?1,1) 恒成立。
方法 1

(1 ? kx)min ? 0 , x ? (?1,1)

答案: ??1,0? ? ?0,1?

方法 2 分离变量

kx ? ?1 , x ? (?1,1)

对 x ? 0 , x ? 0 , x ? 0 讨论,最后求交集。

从例 2 可以看出, 解决恒成立的不等式问 题,还可以考虑如下方法: (2) 变量分离法 (转化为求新函数最值)
f ( x) ? g (a) ( a 为参数)恒成立

? f ( x)min ? g (a)
f ( x) ? g (a) ( a 为参数)恒成立

? f ( x)max ? g (a)

化隐为显
变式 4 若命题
2

突出重围

“ ? x ? R, 2 x ? 3a x ? 9 ? 0 ” 为假命题, 则实数 a 的取值范围 为 [?2 2,2 2] 。 (新课标选
修 2-1 第 27 页第 3(3)题改编)

例 3 (步步高 P18 第 9 题) (2010 全国课标卷理第 21 题) x 2 设函数 f(x) = x(e - 1) - ax . 若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

解: f(x) = xe - x - ax ,若当 x x≥0 时,f(x)≥0,即 xe -x- 2 ax ≥0 x=0 时, f(x)≥0 显然成 立。x>0 时
思路1 最值求解

x

2

( xe ? x ? ax )min ? 0
x 2

思维受阻!

变中求解
思路2 分离变量

提升思维

e ?1 a? x
x

思维受阻!

(2)f(x)=x(ex-1-ax), 令 g(x)=ex-1-ax,

只需要 g(x)≥0

∵g′(x)=ex-a.

若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0, g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时, g(x)≥0,即 f(x)≥0.

思路3 变形求解

若 a>1, 则当 x∈(0, ln a)时, g′(x)<0, g(x) 为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0,ln a) 时,g(x)<0,即 f(x)<0. 综上,a 的取值范围为(-∞,1].

变中求解

提升思维

变式 5(2007 年 全国 第Ⅰ卷第 20 题)设函数 -x x f(x)=e -e , 若对任意的 x≥0 都有 f(x)≥ax 成立, 求实数 a 的取值范围.

思路1 分离变量

e ?e a? x
x
思路2 最值求解

?x

思维受阻!

(e ? e ? ax)min ? 0
x

?x

解:令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e ? e ? a , x ?x
x ?x

? e ?e ? 2

(1)若 a ≤ 2 ,当 x ? 0 时,
x ?x ? g ( x) ? e ? e ? a ? 2 ? a ≥ 0 ,

? ) 上为增函数, 故 g ( x) 在 (0,∞

所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 f ( x) ≥ ax .

( 2 ) 若 a ? 2 , 方 程 g ?( x) ? 0 的 正 根 为

a? a ?4 , 此 时 , 若 x ? (0,x1 ) , 则 x1 ? ln 2
2

g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数.

所 以 , x ? (0,x1 ) 时 , g ( x) ? g (0) ? 0 , 即
f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾.

综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞, 2? .

增加参数

体会深度

例题 4 (2011 新疆维吾尔 自治区一模第 21 题)已知 4 3 2 f ( x) ? ? x ? ax ? 2x ? 16ln x ? b ,其中 a, b ? R .若对对任意
a ?[?2, 2] , f ( x) ? ? x 在 x ? (0,1] 上恒成立,求实数 b 的取值范围.
4

标准答案

?2 x ? 16 ln x ? b ? a 恒成立 解: f ( x) ? ? x 恒成立即 3 x 2 ?2 x ? 16ln x ? b ? (a)min ? ?2 由 a ?[?2, 2] 得 3 x
2

4

由又 x ? (0,1]
3 2

∴ ?2 x2 ? 16ln x ? b ? ?2 x3 即

b ? (?2x ? 2x ?16ln x)min
设 g ( x) ? ?2 x3 ? 2 x2 ?16ln x ,则 16 2 g ?( x) ? ?6 x ? 4 x ? ,∵ x ? (0,1] ,∴ g ?( x) ? 0 , x 所以 g ( x) ? ?2 x3 ? 2 x2 ?16ln x 在 x ? (0,1] 递减 g ( x)min ? g (1) ? 0 所以实数 b 的取值范围是 b ? 0

我的解答

增加参数

体会深度

变式 6 (08 天津理第 20 题)
a 设 函 数 h( x ) ? ? x ? b , 对 任 意 x 1 1 a ? [ ,2] , 都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒 2 4 成立,求实数 b 的取值范围.

方法 1:化归最值,

h( x) ? 10 ? hmax ( x) ? 10 ;
方法 2:变量分离,

7 b? 4

a 2 b ? 10 ? ( ? x) 或 a ? ? x ? (10 ? b) x ; x
方法 3:变更主元,

1 1 ? (a) ? ? a ? x ? b ? 10 ? 0 , a ? [ ,2] x 2

课堂小结
通过今天这堂复习课,我们领略 了解决恒成立问题的多种常见求解方 法,事实上,这些方法都不是孤立的, 在具体的解题实践中,往往需要综合 考虑,灵活运用,才能使问题得以顺 利解决。但是,不管哪一种解法,都 渗透了数学最本质的思想,通过化归 到函数求其最值来处理。

课后反思巩固

x 2 ? 2x ? a 1. (2000 上海,19)已知函数 f (x)= ,x∈[1,+∞ ) .若 x 对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,实数 a 的取值范围是 .
2. (2009 江西卷) 设函数 f ( x) ? x ?
3

f ?( x) ? m 恒成立, m 的最大值是
2

9 2 x ? 6 x ? a . 对于任意实数 x , 2



3. 函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? mx ? 1 在 (0, ??) 上单调递增,则实数 m 的取值范围为 。 4. (2010 年天津理 16 题)设函数 f ( x) ? x ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? ,
2

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 ?m?
是 .

5. (2008 年新疆二模)设函数 f(x)=(4+x) -8ln(4+x),若当 x∈[ 等式|f(x)|< m 恒成立,求实数 m 的取值范围

2

1 -4,e-4]时,不 e

6. ( 2009 年 浙江理第 21 题)已知函数 f ( x) ? x ? (k ? k ? 1) x ? 5x ? 2 ,
3 2 2

其中 k ? R( . I) 设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) . 若 p ( x) 在区间 (0,3) g ( x) ? k 2 x2 ? kx ? 1 , 上不单调 ,求 k 的取值范围; ...

7. (2009 年 陕西理第 20 题) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? 若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

1? x ,x ? 0, 其中 a ? 0 1? x

8. (2008 年 全国 I 第 19 题)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 ,

? 2 1? a ? R .设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3? b 9. (2010 湖北高考理第 21 题) 已知函数 f ( x ) ? ax ? ? c( a ? 0) 的 x
图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1. (I)用 a 表示出 b,c;(II)若

f ( x) ? ln x在?1,??? 上恒成立,求 a 的取值范围;
10.(2010 年海南理第 21 题)设函数 f ( x) = e ? 1 ? x ? ax .若当 x
x 2

≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围.

当且仅当 x ? 0 时等号成立. f '( x) ? e x ?1 ? 2ax 易证 e x ? 1 ? x ,

1 故 f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x , 从 而 当 1 ? 2a ? 0 , 即 a ? 时 , 2

f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .
由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x ?x

1 ? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ? 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故 当 x ? (0, ln 2a) 时 , f '( x) ? 0 , 而 f (0) ? 0 , 于 是 当

x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 .

1 综合得 a 的取值范围为 (??, ] . 2


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