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2014届步步高大一轮复习讲义9.3


§ 9.3
2014 高考会这样考 复习备考要这样做

圆的方程

1.考查圆的方程的形式及应用;2.利用待定系数法求圆的方程. 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点;2.会利用代数法、几何法求

圆的方程,注意圆的方程形式的选择.

1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 4.圆的一般方程 D E - ,- ?, x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0,其中圆心为? 2? ? 2 半径 r= D2+E2-4F . 2

5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2. [难点正本 疑点清源] 1.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直切线的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 2.圆的一般方程的特征 D E x+ ? 2 + ?y+ ? 2 = 圆的一般方程: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ,若化为标准式,即为 ? ? 2 ? ? 2? D2+E2-4F D2+E2-4F .由于 r2 相当于 . 4 4

D E D2+E2-4F - ,- ?,半径 r= 所以①当 D2+E2-4F>0 时,圆心为? . 2? ? 2 2

D E? ②当 D2+E2-4F=0 时,表示一个点? ?- 2 ,- 2 ?. ③当 D2+E2-4F<0 时,这样的圆不存在.

1.若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是______________. 2? 答案 ? ?-2,3? 解析 方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 a?2 3 2 2 转化为? ?x+2? +(y+a) =-4a -a+1, 3 所以若方程表示圆,则有- a2-a+1>0, 4 2 2 ∴3a +4a-4<0,∴-2<a< . 3 2. (2011· 辽宁)已知圆 C 经过 A(5,1), B(1,3)两点, 圆心在 x 轴上, 则圆 C 的方程为________. 答案 (x-2)2+y2=10 解析 设圆心坐标为(a,0),易知 ?a-5?2+?-1?2= ?a-1?2+?-3?2,解得 a=2,∴圆 心为(2,0),半径为 10,∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 3.(2011· 四川)圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是 A.(2,3) C.(-2,-3) 答案 D -4 6 解析 圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标为?- ,- ?,即(2,-3). 2 2? ? 4.(2012· 辽宁)将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是 A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 答案 C 解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选 C. 5.(2012· 湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分 的面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 C.x-y=0 答案 A 解析 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件.圆心 O 与 P 点连线的斜 率 k=1, ∴过点 P 垂直于 OP 的直线方程为 x+y-2=0. B.y-1=0 D.x+3y-4=0 ( ) B.x+y+3=0 D.x-y+3=0 ( ) B.(-2,3) D.(2,-3) ( )

题型一 求圆的方程 例1 根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). 思维启迪:(1)求圆心和半径,确定圆的标准方程. (2)设圆的一般方程,利用待定系数法求解. 解 (1)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将 P、Q 点的坐标分别代入得 ① ? ?2D-4E-F=20,
? ?3D-E+F=-10. ?



又令 y=0,得 x2+Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36,④ 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x-8y=0. (2)方法一 4x0-2 如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得 =1, 3-x0

∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径 r=2 2, 故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 方法二 设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, y =-4x , ? ??3-x ? +?-2-y ? =r , 根据已知条件得? |x +y -1| ? ? 2 =r,
0 0 0 2 0 2 2 0 0

?x0=1, ? 解得?y0=-4, ? ?r=2 2.
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

探究提高 求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有 两种方法:①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法,即设出圆的 方程,用待定系数法求解. (1)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切, 圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为 A.(x+1) +(y-1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 答案
2 2 2 2

( B.(x-1) +(y+1) =2 D.(x+1)2+(y+1)2=2
2 2

)

(2)经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为_________________. (1)B (2)(x-4)2+(y-5)2=10 |a-?-a?| |a-?-a?-4| 解析 (1)设圆心坐标为(a,-a),则 = ,即|a|=|a-2|,解得 a=1, 2 2 2 故圆心坐标为(1,-1),半径 r= = 2, 2 故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ?5-a? +?2-b? =r ? ? 2 2 2 则??3-a? +?2-b? =r ? ?2a-b-3=0 可得 a=4,b=5,r2=10. 题型二 与圆有关的最值问题 例2 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. y (1)求 的最大值和最小值; x (2)求 y-x 的最大值和最小值. 思维启迪:根据代数式的几何意义,借助图形来求最值. y (1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆.设 =k,即 x |2k-0| y=kx,当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值和最小值,此时 2 = 3,解得 k k +1 y =± 3.故 的最大值为 3,最小值为- 3. x 解 (2)设 y-x=b,即 y=x+b,当 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值和最小值,此 |2-0+b| 时 = 3,即 b=-2± 6.故 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. 2 探究提高 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如 t=ax+by x-a 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值 问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; n-3 (2)若 M(m,n),求 的最大值和最小值. m+2
2 2 2





(1)由 C: x2+y2-4x-14y+45=0 可得(x-2)2+(y-7)2=8, ∴圆心 C 的坐标为(2,7),

半径 r=2 2. 又|QC|= ?2+2?2+?7-3?2=4 2. ∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2. n-3 (2)可知 表示直线 MQ 的斜率, m+2 设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), n-3 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. m+2 |2k-7+2k+3| 由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 ≤2 2. 1+k2 可得 2- 3≤k≤2+ 3, n-3 所以 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2 题型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹. 思维启迪:结合图形寻求点 P 和点 M 坐标的关系,用相关点法(代入法)解决. x y? 解 如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为? ?2,2?,线段 MN 的中 x0-3 y0+4? 点坐标为? ? 2 , 2 ?.由于平行四边形的对角线互相平分,

x x0-3 y y0+4 故 = , = . 2 2 2 2 ? ?x0=x+3 从而? . ?y0=y-4 ? N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4, 9 12? ? 21 28? 但应除去两点? ?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?(点 P 在直线 OM 上时的情况). 探究提高 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程. ④代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 )

B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 答案 A 解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y), ? ? ?2x=x0+4 ?x0=2x-4 则? ?? , ?2y=y0-2 ?y0=2y+2 ? ? 2 2 2 代入 x2 0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1.

利用方程思想求解圆的问题 典例: (12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P, Q 两点, 且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 审题视角 (1)求圆心及半径,关键是求 m. (2)利用 OP⊥OQ,建立关于 m 的方程求解. (3)利用 x1x2+y1y2=0 和根与系数的关系或利用圆的几何性质. 规范解答 解 方法一 将 x=3-2y, 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20y+12+m=0.[2 分] 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件: 12+m y1+y2=4,y1y2= .[4 分] 5 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. -27+4m ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= .[6 分] 5 -27+4m 12+m 故 + =0,解得 m=3,[9 分] 5 5 1 ? 5 此时 Δ>0,圆心坐标为? ?-2,3?,半径 r=2.[12 分] 方法二 如图所示,设弦 PQ 中点为 M,

∵O1M⊥PQ,∴kO1M=2.[2 分] 1? ∴O1M 的方程为 y-3=2? ?x+2?, 即 y=2x+4.[4 分]

? ?y=2x+4 由方程组? . ?x+2y-3=0 ?

解得 M 的坐标为(-1,2).[6 分] 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2. ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即 r2=5,|MQ|2=r2. 在 Rt△O1MQ 中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2. 1+?-6?2-4m ? 1 ?2 ∴ =?-2+1? +(3-2)2+5. 4 ∴m=3.[9 分] 1 ? 5 ∴半径为 ,圆心为? ?-2,3?.[12 分] 2 方法三 设过 P、Q 的圆系方程为 x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.[2 分] 由 OP⊥OQ 知,点 O(0,0)在圆上. ∴m-3λ=0,即 m=3λ.[4 分] ∴圆系方程可化为 x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0. 即 x2+(1+λ)x+y2+2(λ-3)y=0.[6 分] 1+λ 2?3-λ?? ∴圆心 M?- ? 2 , 2 ?,又圆心在 PQ 上. 1+λ ∴- +2(3-λ)-3=0,∴λ=1,∴m=3.[9 分] 2 1 5 - ,3?,半径为 .[12 分] ∴圆心为? 2 ? ? 2 温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明 了,简化思路,简便运算. (2)本题中三种解法都是用方程思想求 m 值, 即三种解法围绕“列出 m 的方程”求 m 值. (3)本题的易错点: 不能正确构建关于 m 的方程, 找不到解决问题的突破口, 或计算错误.

方法与技巧 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法, 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. 失误与防范 1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立 方程. 2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率 不存在的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心位于第三象限, 那么直线 x+ay+b=0 一定不经过( A.第一象限 C.第三象限 答案 D 3 a,- b?, 解析 圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心为? 2 ? ? 1 b 1 b 则 a<0,b>0.直线 y=- x- ,k=- >0,- >0, a a a a 直线不经过第四象限. 2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是 A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 答案 A 解析 因为点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1. 3.(2011· 安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 答案 B 解析 化圆为标准形式(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2). ∵直线过圆心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1. 4.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 答案 A 解析 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ?0-1?2+?b-2?2=1,解得 b=2, 故圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.若圆 x2+y2-4x+2my+m+6=0 与 y 轴的两交点 A,B 位于原点的同侧,则实数 m 的取 值范围是______________. 答案 -6<m<-2 或 m>3 解析 令 x=0,可得 y2+2my+m+6=0,由题意知,此方程有两个不相等且同号的实 ?m+6>0, ? 数根,即? 2 解得-6<m<-2 或 m>3. ?4m -4?m+6?>0, ? B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1 ( ) B.1 C.3 D.-3 ) B.0<a<1 D.a=± 1 ( ) B.第二象限 D.第四象限 )

6.以直线 3x-4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________. 3?2 25 答案 (x+2)2+? ?y-2? = 4 解析 直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点分别为 A(-4,0)、B(0,3), 3? 所以线段 AB 的中点为 C? ?-2,2?,|AB|=5. 3?2 ?5?2 故所求圆的方程为(x+2)2+? ?y-2? =?2? . 7.已知点 M(1,0)是圆 C:x2+y2-4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线的方 程是__________. 答案 x+y-1=0 解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直,圆 C:x2+y2-4x-2y=0 的圆心为 C(2,1),∵kCM 1-0 = =1,∴最短弦所在直线的方程为 y-0=-1(x-1),即 x+y-1=0. 2-1 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解
2

(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
2 2

由题意列出方程组 a +b =r ? ? ??a-1?2+?b-1?2=r2 ? ?2a+3b+1=0 a=4, ? ? ,解之得?b=-3, ? ?r2=25.

∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. (2)方法一 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 1+144+D+12E+F=0, ? ? 则?49+100+7D+10E+F=0, ? ?81+4-9D+2E+F=0. 解得 D=-2,E=-4,F=-95. ∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0. 方法二 由 A(1,12),B(7,10), 1 得 AB 的中点坐标为(4,11),kAB=- , 3 则 AB 的中垂线方程为 3x-y-1=0. 同理得 AC 的中垂线方程为 x+y-3=0. ? ? ?3x-y-1=0 ?x=1 联立? ,得? , ?x+y-3=0 ?y=2 ? ? 即圆心坐标为(1,2),半径 r= ?1-1?2+?2-12?2=10. ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.

9.(12 分)一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆的 方程. 解 设圆心为(a,b),圆与 x 轴分别交于(x1,0),(x2,0),与 y 轴分别交于(0,y1),(0,y2), x1+x2 y1+y2 根据题意知 x1+x2+y1+y2=2,∵a= ,b= ,∴a+b=1. 2 2 又∵点(a,b)在线段 AB 的中垂线上,∴5a-b-5=0. ? ? ?a+b=1, ?a=1, 联立? 解得? ?5a-b-5=0, ?b=0. ? ? ∴圆心为(1,0),半径为 ?4-1?2+?2-0?2= 13. ∴所求圆的方程为(x-1)2+y2=13. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) A.在圆上 C.在圆内 答案 B 解析 由已知条件 1 <1,即 a2+b2>1. a2+b2 ) B.在圆外 D.以上都有可能 ( )

因此点 P(a,b)在圆外. 2. 已知圆 C: x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称, 则实数 m 的值为( A.8 答案 C m ? 解析 圆上存在关于直线 x-y+3=0 对称的两点,则 x-y+3=0 过圆心? ?- 2 ,0?,即 m - +3=0,∴m=6. 2 3.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+4y+4=0 相切,则圆的方程 是 A.x +y -4x=0 B.x +y +4x=0 C.x2+y2-2x-3=0 D.x2+y2+2x-3=0 答案 A |3m+4×0+4| 解析 设圆心为 C(m,0) (m>0), 因为所求圆与直线 3x+4y+4=0 相切, 所以 32+42 14 =2,整理得:|3m+4|=10,解得 m=2 或 m=- (舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+ 3 y2=22,即 x2+y2-4x=0,故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称, 则 a-b 的取值范围是______. 答案 (-∞,1) 解析 圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,
2 2 2 2

B.-4

C.6

D.无法确定

(

)

∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5. 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称, ∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1. 5. 若 PQ 是圆 O: x2+y2=9 的弦, PQ 的中点是 M(1,2), 则直线 PQ 的方程是______________. 答案 x+2y-5=0 1 解析 由圆的几何性质知 kPQkOM=-1.∵kOM=2,∴kPQ=- ,故直线 PQ 的方程为 y- 2 1 2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 6. 已知 AC、 BD 为圆 O: x2+y2=4 的两条相互垂直的弦, 垂足为 M(1, 2), 则四边形 ABCD 的面积的最大值为________. 答案 5 解析 如图,取 AC 的中点 F,BD 的中点 E,

则 OE⊥BD,OF⊥AC. 又 AC⊥BD, ∴四边形 OEMF 为矩形, 设|OF|=d1,|OE|=d2,
2 2 ∴d2 1+d2=|OM| =3.

又|AC|=2 4-d2 1, |BD|=2 4-d2 2, 1 ∴S 四边形 ABCD= |AC|· |BD| 2
2 2 =2 4-d2 ?4-d2 1· 4-d2 =2 ?1+d2?· 2? 3 25 2 ?2 =2 -? ?d2-2? + 4 . 3 2 ∵0≤d2 2≤3.∴当 d2= 时,S 四边形 ABCD 有最大值是 5. 2

三、解答题 7.(13 分)圆 C 通过不同的三点 P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 试求圆 C 的方程. 解 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 k、2 为 x2+Dx+F=0 的两根, ∴k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k, 又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0.∴E=-2k-1. 故所求圆的方程为 x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0, k+2 2k+1? 圆心坐标为? ? 2 , 2 ?.

∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 2k+1 ∴kCP=-1= ,∴k=-3. 2-k ∴D=1,E=5,F=-6. ∴所求圆 C 的方程为 x2+y2+x+5y-6=0.


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2014届步步高大一轮复习讲义6.4

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2014届步步高大一轮复习讲义1.2

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2014届步步高大一轮复习讲义二.2.9

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2014届步步高大一轮复习讲义6.1

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2014届步步高大一轮复习讲义8.1

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