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2008-2009学年下学期永泰城关中学高二数学期末试卷(理)Microsoft Word 文档 (2)


2008-2009 学年下学期永泰城关中学高二数学期末试卷(理)

命题人:高二数学集备组 一、选择题(5×10=50 分) 1 已知集合 M ? ?1, ?2,3? , N ? ??4,5, 6, ?7? ,从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则 这样的坐标在第一、二象限内不同点的个数为( ) A. 18 个 B. 10 个 C. 16 个 D. 14 个 2 袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个,蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中随 机抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( ) .
1 3 4 C4C82C12C16 A. 10 C40 2 1 3 4 C4 C8 C12 C16 B. 10 C40 2 1 4 C4 C83C12C16 C. 10 C40 1 4 2 C4C83C12C16 D. 10 C40

3. 为了测算如图阴影部分的面积,作一个变长为 6 的正方形将其包含在 内, 并向正方形内随机投掷 800 个点, 已知恰有 200 个点落在阴影部分内, 据此,可估计阴影部分的面积是( ) A.12 B.9 C.8 D.6 4. 一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有 一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率为( ) A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.2/3 5 用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,。,153~160 号) 。。 。若第 16 组 应抽出的号码为 126,则第一组中用抽签方法确定的号码是 ( ) A4 B5 C6 D7 6 右图是某学校举行的运动会上,七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4 7.在 (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( )
5 6

3

A.-30

B.5
2

C. ?10

D.10

8.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? ) , P(? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P(? ≤ 0) ? ( ) A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84

9 下列命题中,其中假命题是 ( ) A.对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”可信程 度越大 B.用相关指数 R2 来刻画回归的效果时,R2 的值越大,说明模型拟合的效果越好 C.两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近 1 D.三维柱形图中柱的高度表示的是各分类变量的频数 10. (1 ? x) 的展开式中, x 的系数可以表示从 n 个不同物体中选出 k 个方法总数,下列各
n

k

式的展开式中 x 8 的系数恰能表示从重量分别为 1,2,3,?,10 克的砝码(每种砝码各一 个)中选出若干个,使其总重量恰为 8 克的方法总数的选项是( ) A. (1 ? x)(1 ? x )(1 ? x )…(1 ? x )
2 3 10

B. (1 ? x)(1 ? 2 x)(1 ? 3x)…(1 ? 10 x) C. (1 ? x)(1 ? 2 x )(1 ? 3x )…(1 ? 10 x )
2 3 10

D. (1 ? x)(1 ? x ? x )(1 ? x ? x ? x )…(1 ? x ? x ? x ? … ? x )
2 2 3 2 3 10

二、填空题: (4×5=20 分) 11. 两 封 信 随 机 投 入 A B,C 三 个 空 邮 箱 , 则 A 邮 箱 的 信 件 数 ? 的 数 学 期 望 ,

E? ?



12 在区间 (0, a) 内任取两点,则这两点之间的距离小于

a 的概率为 3

13 为了了解某校学生的身体发育情况,抽查了该校 100 名高中男生的体重情况,根据所得 数据画出样本的频率分布直方图如图所示,根据此图,估计该校 2000 名高中男生体重大于 70.5 公斤的人数为_________ 14.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关 系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:

? 由表中数据算出线性回归方程 y ? bx ? a 中的 b≈-2.气象部门预测下个月的平均气温约为
6℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为_________件.

(参考公式: b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , a ? y ? bx ) ? nx
2

?x
i ?1

2 i

15 . 从装有 n ? 1个球 (其中 n 个白球, 个黑球) 1 的口袋中取出 m 个球 ? 0 ? m ? n, m, n ? N ? , 共有 Cn ?1 种取法。在这 Cn ?1 种取法中,可以分成两类:一类是取出的 m 个球全部为白球, 一 类 是 取 出 m ? 1 个 白 球 和 1 个 黑 球 , 共 有 C1 ? Cn ? C1 ? Cn
0 m 1 m ?1 m ? Cn ?1 , 即 有 等 式 :

m

m

m m m Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 成 立 。 试 根 据 上 述 思 想 化 简 下 列 式 子 :
m 1 m m m Cn ? Ck ? Cn ?1 ? Ck2 ? Cn ?2 ? ? ? Ckk ? Cn ?k ?

。 (1 ? k ? m ? n, k , m, n ? N )

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16(13 分) .将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,问: (1)两数之和为 8 的概率; (2)两数之和是 3 的倍数的概率;

(3) 以第一次向上点数为横坐标 x, 第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=25 的内部的概率。

17.(本小题满分 13 分) 根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: 对 某 城 市 一 年 ( 365 天 ) 的 空 气 质 量 进 行 监 测 , 获 得 API 数 据 按 照 区 间

[0,50],(50,100],(100,150], (150, 200],(200, 250],(250,300] 进行分组,得到频率分布直方图如图5

(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数; (Ⅲ)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微 污染的概率.(结果用分数表示.已知 5 ? 78125, 2 ? 128,
7 7

3 2 7 3 8 123 ? ? ? ? ? ,365 ? 73 ? 5 ) 1825 365 1825 1825 9125 9125

18. (本小题满分 13 分) 已知 ( x ?

1 2 x

)n 展开式中的前三项系数成等差数列,求展开式中含 x 的项

19( 13 分)某批电子元件有 10 件,其中有 1 件次品,现从中任意地抽取 3 件进行检验. (1)当以不放回的方式抽取时,求恰好抽到 1 件次品的概率; (2)当以放回的方式抽取时,求抽到的次品数的期望、方差、标准差.

20( 14 分).甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试,甲表示只要面试合格就签约;乙、 丙则约定: 两人面试都合格就一同签约, 否则两人都不签约, 设每人面试合格的概率都是

1 , 2

且面试是否合格互不影响。 (1)求至少有一人面试合格的概率; (2)求签约人数 ? 的分布列 和数学期望;

21 ( 14 分)某校要组建篮球队,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩 A 级的可作为入 围选手,选拔过程中每人最多投篮 5 次,且规定在确认已经入围后则不必再投篮. 若投中 2 次则确定为 B 级,若投中 3 次可确定为 A 级. 已知根据以往的技术统计,某班同学王明每次 投篮投中的概率是

2 ,每次投篮结果互不影响. 3

⑴ 求王明投篮 3 次才被确定为 B 级的概率;

⑵ 现在已知王明已经入围, 在此条件下求他实际投篮 5 次才入围的概率; ⑶ 若连续两次投篮不中则停止投篮,求王明不能入围的概率.

高二数学(理)答案 一、选择题: (10×5 分=50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 B 6 C 7 D 8 A 9 A 10 A

二、填空题: (5×4 分=20 分) 11、

2 3

12、

5 9

13、400

14、46

15、 C n ? k

m

三、解答题: (13+13+13+13+14+14=80 分) 16 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件-----------2 分 (1) 记“两数之和为 8”为事件 A,则事件 A 中含有 5 个基本事件, 所以 P(A)=

5 ; 36 5 。--------------------------------------- 5 分 36

答:两数之和为 6 的概率为

(2)记“两数之和是 3 的倍数”为事件 B,则事件 B 中含有 12 个基本事件, 所以 P(B)=

1 ; 3

答:两数之和是 3 的倍数的概率为

1 。------------------------------8 分 3 1 3 1 故甲盒恰有 2 个红球的概率 P ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? 5 10 2

(3) 基本事件总数为 36,点(x,y) ,在圆 x2+y2=25 的内部记为事件 D,则 D 包含 13 个事件, 所以 P(D)=

13 。 36

17(Ⅰ)依题意, ( 解得 x ?

3 2 7 3 8 ?x? ? ? ? ) ? 50 ? 1 1825 365 1825 1825 9125

119 18250
119 ? 50 ? 119 ( 天 ); 轻 微 污 染 的 天 数 18250

( Ⅱ ) 良 好 的 天 数 为 365 ?

365 ?

119 ? 100 219 3 ? ? ,设事件 A :某一周至少有2天的空气 365 365 5 3 24192 2 3 质量为良或轻微污染,则 P( A) ? C7 ( ) 2 ? (1 ? )7 ? . 5 5 1953125
(Ⅲ) 良好或轻微污染的概率为 18 解: T1 ? Cn ( x 2 ) , T2 ? Cn ( x)
0 n 1 1 n ?1 2

2 ? 50 ? 100 (天) 365

1 ?1 ? ( x 2 ), 2

1 1 ?1 2 T3 ? Cn ( x 2 ) n ?2 ? ( x 2 ) 2 2

1 1 1 2 C n , ( ) 2 Cn 2 2 1 2 2 1 1 前三项系数成等差数列,?有 1 ? ( ) Cn ? 2 ? Cn 解得 n ? 8 或 n ? 1 (不合题意舍去) 2 2
得前三项系数分别是 1 ,

Tr ?1 ? C ( x )
r 8

1 2 8? r

1 r ?1 r 1 ( ) ( x 2 ) ? C8r ( )r x 4?r 2 2

由 4 ? r ? 1得 r ? 3 19.解:设抽到的次品数为 X.

1 ?所求项是 T4 ?? C83 ( )3 x 4?3 ? 7 x 2
1 C1 C92 3 ? . ??4 分 3 C10 10

(1)当以不放回的方式抽取时, P( X ? 1) ?

(2)当以放回的方式抽取时, X ~ B(3,0.1) , ??8 分 则 EX ? 3 ? 0.1 ? 0.3 . ??10 分

DX ? 3? 0.1? 0.9 ? 0.27 ??12 分

? X ? DX ?

3 3 ??13 分 10

20 解:A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格,则 P? A? ? P?B ? ? P?C ? ?

1 2

7 ?1? (1)至少有一人合格的概率 P=1-P( A ? B ? C )= 1 ? ? ? ? 8 ?2?
(2) ? 可能取值 0,1,2,3

3

?????? 4 分 ?????? 5 分

1 1 1 3 P(? ? 0) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ; 2 2 2 8

1 1 1 3 P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ; 2 2 2 8

1 1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? ; P(? ? 3) ? P( ABC) ? ; 8 8
∴分布列为

?
P

0

1

2

3

????????11 分

3 8

3 8

1 8

1 8

3 3 1 1 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8
1

????????14 分

21 解:⑴ 设王明投篮 3 次才被确定为 B 级为事件 A , P( A) ? C2 ? ( ) ?
2

2 3

1 8 . ? 3 27

-----------------4 分 ⑵ 设王明入围为事件 B ,他投篮 5 次为事件 C .

1 2 1 4 2 1 64 -------------------6 分 ? ( ) ? C52 ( ) 2 ? ( )3 ] ? 3 3 3 3 3 81 1 2 16 2 2 ---------------8 分 P( B ? C ) ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? 3 3 3 81 P( B ? C ) 1 所以 P(C | B) ? ----------------------------9 分 ? P( B) 4 ⑶ 设王明不能入围为事件 D .
0 1 则 P( B) ? 1 ? [C5 ( )5 ? C5

解法一:考虑王明入围的情况,他可能投篮 3 次或 4 次或 5 次. 投篮 3 次入围的概率 投篮 4 次入围的概率 投篮 5 次入围的概率

2 8 P(3) ? ( )3 ? 3 27 2 2 1 2 8 P(4) ? C32 ? ( ) ? ? ? 3 3 3 27 2 1 8 P(5) ? 3 ? ( )3 ? ( ) 2 ? 3 3 81 8 8 8 25 . ? ? ? 27 27 81 81
-------------14 分

所以,王明不入围的概率为

P( D) ? 1 ? P(3) ? P(4) ? P(5) ? 1 ?

解法二:王明不能入围,考虑他实际投篮的次数,可能投 2 次,3 次,4 次,5 次. 投篮 2 次不入围的概率 投篮 3 次不入围的概率 投篮 4 次不入围的概率 投篮 5 次不入围的概率 所以,王明不入围的概率

1 1 P(2) ? ( )2 ? 3 9 2 1 2 P(3) ? ? ( ) 2 ? 3 3 27 2 1 2 P(4) ? ? ( ) 2 ? 3 3 27 2 2 1 3 4 P(5) ? 3 ? ( ) ? ( ) ? 3 3 81

P( D) ? P(2) ? P(3) ? P(4) ? P(5) ?

1 2 2 4 25 . ? ? ? ? 9 27 27 81 81

-----------14 分

解法三:若王明不能入围,则他至多投中 2 次. 投中 0 次的概率 投中 1 次的概率 投中 2 次的概率

1 1 P(0) ? ( )2 ? 3 9 2 1 2 2 1 3 8 P(1) ? ? ( ) ? ? ( ) ? 3 3 3 3 81 2 2 1 2 2 2 1 3 8 P(2) ? ( ) ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ( ) ? 3 3 3 3 81 9 8 8 25 . ? ? ? 81 81 81 81
-----------------14 分

所以,王明不入围的概率

P( D) ? P(0) ? P(1) ? P(2) ?


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