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2014北京东城高三二模数学(文)试卷与解析(易题库教研团队出品)


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东城区 2013-2014 学年第二学期综合练习(二) 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必

将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式: n 个数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数是 x ,这组数据的方差 s 2 ,由以下公式计算:

1 s 2 ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? n

? ( xn ? x ) 2 ] .

第一部分(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)设集合 A ? {x ? R x ? 1 ? 2} ,集合 {?2, ?1, 0,1, 2} ,则 A (A) {2} (C) {0,1, 2} (B) {1, 2} (D) {?1, 0,1, 2}

B=

解析:根据集合的基本运算性质答案为B。 (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 解析:

2 对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限

2 2(1 ? i ) ? ? 1 ? i ,所以对应的点在第一象限。 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) _
开始 输入 x 是

(3)已知一个算法的程序框图如图所示,当输 出的结果为 0 时,输入的 x 值为 (A) 2 或 ?2 (B) ?1 或 ?2 (C) 1 或 ?2 (D) 2 或 ?1

x?0



y ? x2 ? 1

y ? x2 ? 2 x

输入 y 结束

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解析:本程序相当于以分段函数 y ? ?

? x 2 ? 1; x ? 0 ? ,y=0,x= 1 或 ?2 ,答案为 C。 2 ? ? x ? 2 x; x ? 0

(4)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 2a6 ? 6 ? a7 ,则 S9 的值是 (A) 18 (C) 54 (B) 36 (D) 72

解析: 2a6 ? 6 ? a7 ?2(a5 ? d ) ? 6 ? a5 ? 2d ? a5 ? 6 , S9 ? 随意答案 C。 (5)已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? 的值是 (A) ? (C) ?

(a1 ? a9) ? 9 2a5 = ? 9=54 2 2

4 5 3 5

(B)

4 5 3 5

(D)

tan ? =2 , 解析: sin 2?=2sin ? ? cos ? ? 2 ? ? 在逸散象限,

2 5 5 4 所以答案 B。 ? ? , 5 5 5

(6)已知函数 f ( x) 在[0,+∞]上是增函数, g ( x) ? f (| x |) ,若 g (lg x) ? g (1), 则 x 的取 值范围是 (A) (0,10) (C) ( (B) (10, ??) (D) (0,

1 ,10) 10

1 ) (10, ??) 10

(7)已知点 A(2, 0) ,B(?2, 4) ,C (5,8) ,若线段 AB 和 CD 有相同的垂直平分线, 则点 D 的坐标是 (A) (6, 7) (C) (?5, ?4) (B) (7, 6) (D) (?4, ?5)

解 析 : AB 的 中 点 坐 标 ( 0 , 2 , ) AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y=x+2 , 设

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? y ?8 ? ?1 ? ?x?5 D ( x, y ) ? ? D(6, 7) ?5 ? x ? 2 ? y ? 8 ? ? 2 2
b 定义运算 (8) 对任意实数 a , “⊙” : a

, b ? ? , 1 ?ba 设 f ( x) ? ( x2 ?1) b?? , 1 ?a, a ? b ?

(4 ? x) ? k ,

若函数 f ( x ) 的图象与 x 轴恰有三个交点,则 k 的取值范围是 (A) (?2,1) (C) [?2, 0) 解析: f ( x) ? ( x ? 1) (4 ? x) ? k ? ?
2

(B) [0,1] (D) [?2,1)

?4 ? x ? k ;( x 2 ? 1) ? (4 ? x) ? 1, ? 方法一:去特殊值验 2 2 x ? 1 ? k ; ( x ? 1) ? (4 ? x ) ? 1 , ? ?

证答案。当 k=0,数形结合满足条件;k=1,不满足;k=-2,满足题意。方法二:数形结合 和函数图像与 x 轴三个交点时,要满足 ?

?k ? 1 ? 0 ? k ? ? ?2,1? 。所以答案为 D. ??4 ? k ? ?2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)函数 y ? log0.5 (4 x ? 3) 的定义域是 解析: 4 x ? 3 ? 0 ? x ?

共 110 分)



3 4


(10)已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 b ? 解析: a ∥ b ,

1 2 ? ? m ? ?4 ? b ? 4 ? 16 ? 2 5 ?2 m

(11)在区间 [0, 6] 上随机取两个实数 x , y ,则事件“ 2 x ? y ? 6 ”的概率为_________. 解析:本题相当于在边长为 6 的正方形内随机取点,点在区域 2 x ? y ? 6 内的概率,考察几

1 ? 3? 6 1 何概率模型 P(a) ? 2 ? 36 4
( 12 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 为 Sn , 且 对 任 意 n ? N * , 有 2Sn ? 3an ? 2 , 则


a1 ?

; Sn ?

www.yitiku.cn 解 析 :

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2Sn ? 3an ? 2



2Sn ? 3an ? 2, 2a1 ? 3a1 ? 2?a1 ? 2



?2S n ? 3an ? 2 ? 2( S n ? S n ?1 ) ? 3(an ? an ?1 ), 2an ? 3(an ? an ?1 ) ? 所以数列是以 3 为公比 ?2S n ?1 ? 3an ?1 ? 2 3an ?1 ? an
的等比数列 Sn ?

2(1 ? 3n ) ? 3n ? 1 1? 3

(13) 过点 A(?1, 0) 且斜率为 k (k ? 0) 的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 B ,C 两点, 若B 为

AC 中点,则 k 的值是
解 析 : 过 点 A 的

. 直 线 方 程 为 y=k ( x+1 ) ;

? y2 ? 4x y2 B ( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 )联立方程 ? k ? k ? y? ? y ? kx ? k 4 4 ? ? y1 ? y2 ? 2 k y ? 4 y ? 4k ? 0 ? ? k ? y y ? 4 ? 1 2
B 为 AC 的中点,所以有

y2 ? 0 4 2 2 ? y1 ? y1 ? 2, y2 ? ?k ? 2 3 2

P 是正方体棱上一点(不包括棱的 (14)在棱长为 1 的正方体 ABCD? A 1B 1C 1D 1 中,点
端点), PA ? PC1 ? m , ①若 m ? 2 ,则满足条件的点 P 的个数为 ________;

P 的个数为 6 ,则 m 的取值范围是 ________. ②若满足 PA ? PC 1 ? m的点
2 解析: 设 AP=X, PA ? PC1 ? 1 ? (1 ? x) ? 1 ? x ? 2 ? x ?

1 ,所以点 P 在 AB, AD, AA1 2

或者 CC1 , B1C1, C1D1 中点时,都有 PA ? PC1 ? 2 ,所以满足条件的点 P 的个数为 6 个;

1 ? (1 ? x)2 ? 1 ? x ? m ? m2 ? 3 ? 2 x(m ? 1) ? x ?

m2 ? 3 2(m ? 1)

x ? (0,1)

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x . (Ⅰ)求 f (

? ) 的值; 12

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(Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. (16)(本小题共 13 分) 汽车的碳排放量比较大,某地规定,从 2014 年开始,将对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进 行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km).

? 2

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km . (Ⅰ) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过

130g / km 的概率是多少?
(Ⅱ) 求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.

(17)(本小题共 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 ° ,平面

PAB ? 平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点.
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: AB ? PE ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? BEC 的体积.

P A

A B A D A E A C A

(18)(本小题共 13 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 ? b , g ( x) ? 2a ln x . 6 2

(Ⅰ) 若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处的切线互相垂直, 求 a ,b

www.yitiku.cn 的值;

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( Ⅱ ) 设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x) , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x1 ? x2 , 都 有

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ,求 a 的取值范围.
(19)(本小题共 13 分)

已知椭圆

x2 y 2 6 . ? 2 ? 1 的一个焦点为 F (2, 0) ,且离心率为 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 过点 M (3,0) 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 C , 求△ MBC 面积的最大值.

(20)(本小题共 14 分) 设 a 是一个自然数, f ( a ) 是 a 的各位数字的平方和,定义数列 {an } : a1 是自然数,

an ? f (an?1 ) ( n ? N * , n ? 2 ).
(Ⅰ)求 f (99) , f (2014) ; (Ⅱ)若 a1 ? 100 ,求证: a1 ? a2 ; (Ⅲ)求证:存在 m ? N * ,使得 am ? 100 .

东城区 2013-2014 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)B (2)A (6)D (3)C (7)A (4)C (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) [ , ??)

3 4

(10) 2 5

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2014 高考高频考点尽在易题库 (12) 2 (14) 6

1 4

3n ? 1

(13) 2 2

( 3, 5)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x

? ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f ( ) ? 1 . (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? 所以,当 2 x ? 当 2x ?

? 6

???????7 分

? 2

? ? 5? ? 2x ? ? . 6 6 6

? ? ? ? 时,即 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得最小值 0 ; 6 6

? ? ? 3 ? 时,即 x ? 时,函数 f ( x) 取得最大值 .???????13 分 6 2 3 2

(16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)从被检测的 5 辆甲品牌的轻型汽车中任取 2 辆, 共有 10 种不同的二氧化碳排放量结果:

(80,110) , (80,120) , (80,140) , (80,150) , (110,120) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) .
设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km ”为事件 A , 则事件 A 包含以下 7 种不同的结果:

(80,140) , (80,150) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) .

www.yitiku.cn 所以 P ( A) ?

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7 ? 0.7 . 10

即至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km 的概率为 0.7 .??????6 分 (Ⅱ)由题可知, x乙 ? 120 ,所以

480 ? x ? 120 ,解得 x ? 120 . 5

1 2 2 2 2 2 2 ? ? s甲 ? ( 80-120) ? (110-120) ? (120-120) ? (140-120) ? (150-120) ? ? 5 ? 600. 1 2 2 2 2 2 2 ? ? s乙 ? ( 100-120) ? (120-120) ? (120-120) ? (100-120) ? (160-120) ? ?, 5 ? 480.
因为
2 2 x甲 ? x乙 ? 120, s甲 ? s乙 ,

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好.

??????13 分

(17)(共 14 分) 解:(Ⅰ)因为 D , E 分别为 AB , AC 中点, 所以 DE ∥ BC , 又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . (Ⅱ)连结 PD , 因为 DE ∥ BC ,又 ?ABC ? 90 ° , 所以 DE ? AB . 又 PA ? PB , D 为 AB 中点, 所以 PD ? AB . 所以 AB ? 平面 PDE , 所以 AB ? PE . ???????9 分

P A

A ???????4 分 D B A A

E A

C A

(Ⅲ)因为平面 PAB ? 平面 ABC , 有 PD ? AB , 所以 PD ? 平面 ABC , 所以 VP ? BEC ?

1 1 1 1 3 . VP ? ABC ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 2 3 2 2

????14 分

www.yitiku.cn (18)(共 13 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ?

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1 2 3 x ? (a ? 2) x , f '(1) ? a ? . 2 2

g '( x) ?

2a , g '(1) ? 2a . x

依题意有 f '(1) g '(1) ? ?1 , 可得 2a (a ? ) ? ?1 ,解得 a ? 1 ,或 a ? (Ⅱ) F ( x) ?

3 2

1 . 2

?????6分

1 2 x ? (a ? 2) x ? 2a ln x . 2

不妨设 x1 ? x2 , 则

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a 等价于 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) , x2 ? x1

即 F ( x2 ) ? ax2 ? F ( x1 ) ? ax1 . 设 G( x) ? F ( x) ? ax , 则对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 等价于 G( x) ? F ( x) ? ax 在 (0, ??) 是增函数.

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ?a, x2 ? x1

G ( x) ?

1 2

2

x ? 2 a l n? x ,2x

可得 G '( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ?2 ? , x x

2 依题意有,对任意 x ? 0 ,有 x ? 2 x ? 2a ? 0 .

由 2a ? x2 ? 2 x ? ( x ?1)2 ?1,可得 a ? ?

1 .?????13 分 2

(19)(共 13 分) 解(Ⅰ)依题意有 c ? 2 ,

c 6 . ? a 3

2 2 可得 a ? 6 , b ? 2 .

www.yitiku.cn 故椭圆方程为

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x2 y 2 ? ? 1 . ??????????????????5分 6 2

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) .

? y ? k ( x ? 3), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6
消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x2 ?18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 . (*) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 故 x1 ? x2 ?

18k 2 27k 2 ? 6 , . x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

不妨设 x1 ? x2 ,显然 x1 , x2 均小于 3 . 则S
AMC

?

1 ? 2 y1 ? (3 ? x1 ) ? y1 (3 ? x1 ) , 2

S

ABC

?

1 ? 2 y1 ? ( x2 ? x1 ) ? y1 ( x2 ? x1 ) . 2
A B C

S

M B C

? S

? S

? (y 3 ? x ? ( k 3 1? x) ( 3 ? x ) A 1M C 2 ) 2
3k 3k 2 ? 1

? k [9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] ?

?

3k 2 3k 2

?

3 . 2
1 2 ,此时方程(*)为 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 ,满足 ? ? 0 . 3
3 . 2 ????????????13 分

等号成立时,可得 k 2 ?

所以 ?MBC 面积 S 的最大值为 (20)(共 14 分) 解:(Ⅰ) f (99) ? 9 ? 9 ? 162 ;
2 2

f (2014) ? 22 ? 02 ? 12 ? 42 ? 21 .
(Ⅱ)假设 a1 是一个 n 位数( n ? 3 ), 那么可以设 a1 ? bn ?10n?1 ? bn?1 ?10n?2 ?

?????5 分

? b3 ?102 ? b2 ?10 ? b1 ,

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其中 0 ? bi ? 9 且 bi ? N ( 1 ? i ? n ),且 bn ? 0 . 由 a2 ? f (a1 ) 可得, a2 ? bn 2 ? bn?12 ?

? b32 ? b22 ? b12 . ? (102 ? b3 )b3 ? (10 ? b2 )b1 ? (1 ? b1 )b1,
2

a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (10n?2 ? bn?1 )bn?1 ?
n?1 ?2 ? (1 0 ? bn b ) (n 1 0? bn?1 bn? ) n ? 1?

?

( ? 1 b03b ? b ?1 ?)b b 1( 11 3 ) ? b( 1 20

) ,

所以 a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (b1 ?1)b1 . 因为 bn ? 0 ,所以 (10n?1 ? bn )bn ? 99 . 而 (b1 ?1)b1 ? 72 , 所以 a1 ? a2 ? 0 ,即 a1 ? a2 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知当 a1 ? 100 时, a1 ? a2 . 同理当 an ? 100 时, an ? an?1 . 若不存在 m ? N * ,使得 am ? 100 . 则对任意的 n ? N * ,有 an ? 100 ,总有 an ? an?1 . 则 an ? an?1 ?1 , 可得 an ? a1 ? (n ?1) . 取 n ? a1 ,则 an ? 1 ,与 an ? 100 矛盾. 存在 m ? N * ,使得 am ? 100 . ?????14 分 ?????9 分


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