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高三数学一轮复习(函数的单调性)


函数的单调性

探究新知

原理:

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① 如果函数y=f(x)在某个区间内可导, 可导 且 f ' ( x )>0,则f(x)在这个区间内为增 在这个区间内 函数; ② 如果函数y=f(x)在某个区间内可导, 可导 且 f ' ( x )<0,则f(x)在这个区间内为减 在这个区间内 函数. 导数de应用--- 函数的单调性

尝试应用

例1:确定函数 f ( x ) ?
1 4
(x ? 4x ) ? 0
2

1 12

( x ? 6 x )( x ? 0 )
3 2

的单调性. 解:f ' ( x ) ? 由 f '(x ) ?
1 4

( x ? 4 x ),
2

得x<0或x>4, 且x ? 0 得x>4,

因此, f(x)在(4,+∞)内是增函数. f(x)在(-∞,0),(4,+∞) 1 内是增函数.( x 2 ? 4 x ) ? 0 解得0<x<4. 再令 f ' ( x ) ?
4

因此, f(x)在(0,4)内是减函数.
导数de应用--- 函数的单调性

归纳步骤

利用导数求函数f(x)的单调区间的 一般步骤: 1、 求导数 f ' ( x ) ; 2、在定义域内解不等式 f ' ( x ) >0

(f ' ( x ) <0);
3、写出单调递增(递减)区间. 导数de应用--- 函数的单调性

反馈练习

1、设f(x)= x4-2x2,则f (x)满足( A ) A. 在 (-1,0 ) 内是增函数 B. 在 ( 0, 1) 内是增函数 C. 在 (1, +∞ ) 内是减函数 D. 在 (-∞ , 0) 内是减函数
f '(x )=

4x3-4x=4x(x+1)(x-1)

-1

0

1

f 当-1<x<0时, ' ( x ) > 0.

导数de应用--- 函数的单调性

反馈练习

2、函数f(x) = 2x3-6x2+7在 (0,2) 内
是减函数,在 (-∞,0) ,(2,+∞) 内

是增函数.
f ' ( x ) =6x2-12x.

令 f ' ( x ) =6x2-12x<0, 解得0<x<2. 解得x>2或x<0. 再令 f ' ( x ) =6x2-12x>0, 导数de应用--- 函数的单调性

反馈练习

y

y ? 2x ? 6x ? 7
3 2

2

-2

0

1

2

3

x

导数de应用--- 函数的单调性

例3 已知函数f(x)= x ? ,问是否 x 存在实数a,使f(x)在 ( ?? , ? 1) 上是增函数,且 在 ( ? 1, 0 ) 上是减函数?
假设存在实数a满足条件, 分析: 解: 则 f ' ( ? 1) ? 0, 因为 f ' ( x ) ? 1 ?
a
2

巩固深化

a

x 1 f ' ( x ) ? a=1. 0 此时)f? (0 ) ? 1 ? 2 由1-a=0得 f '(x ' x x 当 x ? ?? ? , 1? 时,f ' ( x ) ? 0 , ?
0 当 x ? ? ? 1, ? 时,f ' ( x ) ? 0 . -1 故存在实数 a ? 1 满足题意.

导数de应用--- 函数的单调性

例3 已知函数f(x)= x ? ,问是否 x 存在实数a,使f(x)在 ( ?? , ? 1) 上是减函数,且 在 ( ? 1, 0 ) 上是增函数?
假设存在实数a满足条件, 解: 则 f ' ( ? 1) ? 0, 因为 f ' ( x ) ? 1 ?
a
2

巩固深化

a

x 1 由1-a=0得 a=1. 此时 f ' ( x ) ? 1 ? 2 x 当 x ? ?? ? , 1? 时,f ' ( x ) ? 0 , ?
0 当 x ? ? ? 1, ? 时,f ' ( x ) ? 0 .

故存在实数 a ? 1 满足题意. 故不存在实数a满足题意.

导数de应用--- 函数的单调性

知识小结

? 知识方面
设函数y=f(x)在某个区间内可导, 若在这个区 间内导数大于零,则f(x)在该区间内为增函数;若在

这个区间内导数小于零,则f(x)在该区间内为减函数.

? 能力方面
观察、归纳、类比、化归、数形结合、分类讨论 等数学思想方法的运用.

导数de应用--- 函数的单调性


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