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成都外国语学校2013~2014学年度下期期末考试高一数学试题(理科)


成都外国语学校 2013~2014 学年度下期期末考试高一数学试题(理科)
命题人: 全 鑫 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分; 2.本堂考试 120 分钟,满分 150 分; 3.答题前,考生务必先将自己的姓名,学号填写在答题卡上,并使用 2B 铅笔填涂; 4.考试结束后,将答题卡交回。 第 I 卷(选择题,共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一个选 项符合题目要求的。 1.如果 a, b 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是( A. a ? b B. a ? b ? 1 C. a ? b
2 2

审题人:黎 梅

试卷负责人:



D.

| a |2 ?| b |2


2. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为( A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 )

3.函数 f ( x) ? cos4 x ? sin 4 x 的最小正周期为( A.

? 4

B.

? 2


C.

D. 2?

4. 下列结论正确的是(

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 5. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 2a cos B ? c ,则 ?ABC 的形状( A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 )

6.已知非常数列且各项为正数等比数列 {an } 中,则( A. a1 +a2014 ? a1007 +a1008 B.



a1 +a2014 ? a1007 +a1008

C. a1 +a2014 ? a1007 +a1008 D. a1 +a2014与a1007 +a1008 无法确定 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积( A. C. 168 200 B. D. 180 220 )

8. 在一水平的桌面上放半径为 高点到水平桌面的距离为( A.

3 的四个大小相同的球体,要求四个球体两两相切,则最上面的球体的最 2


6 ?3

B.

6 ?3 2

C. 6

D.

6?

3 2

9. 对 于 使 f ( x) ? M 恒 成 立 的 所 有 常 数 M 中 , 我 们 把 M 的 最 大 值 叫 做 函 数 f ( x ) 的 下 确 界 , 则

f ( x) ?
A.

1 2 1 1 ? ( ? x ? ) 的下确界( 2x 1? x 4 2



2 2

B.

14 3

C.

9 2

D.

5

10. 设等差数列 ?a n ?满足: cos2 a3 cos2 a5 ? sin 2 a3 sin 2 a5 ? cos 2a3 ? sin(a1 ? a7 ) , a4 ?

k? , k ? Z 且公 2
)

差 d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 8 时,数列 ?a n ?的前项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( A.

[

3? , 2? ] 2

B. (

3? , 2? ) 2

C. [

7? , 2? ] 4

D. (

7? , 2? ) 4

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知球的体积为

4? ,则此球的表面积为_____ . 3

12.若数列 {an } 满足 an ? 3an?1 ? 2( n ? 2, n ? N ? ) , a1 ? 1 , 则数列 {an } 的通项公式为 an ? __________. 13.已知某圆锥的轴截面是正三角形, 且其边长为如图所示的直 ( 斜二测画法) ?A B C 对应的平面图形 ?ABC 的 BC 边上的
/ / /

观图 高,

其中 | A/ O/ |? 2 ,则此圆锥的侧面积为_______. 14.设 a ? 0, b ? 0, 称

2 ab 为 a , b 的调和平均数, 如图, C 为线 a?b

段 AB 作半圆, 过点 线, 垂足为 E, 的 长 度 是

上的点,且 AC ? a, BC ? b ,O 是 AB 的中点,以 AB 为直径 C 作 AB 的垂线交半圆于 D,连接 OD,AD,BD,过点 C 作 OD 的垂 如:图中的线段 OD 的长度是 a , b 的算术平均数,则线段_____

a , b 的几何平均数,线段_____的长度是 a , b 的调和平均数.
15. 记 [ x ] 为不超过实数的最大整数,例如, [3] ? 3 , [1.2] ? 1 , [?1.3] ? ?2 。设为正整数,数列 {xn } 满

xn ? [
足 x1 ? m , xn ?1 ? [

m ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列命题:

①函数 f ( x) ? [sin x], x ? [ ?

? ?

, ] 为奇函数; 2 2

②当 m ? 4 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 4,2,2; ③对数列 {xn } 存在正整数的值,使得数列 {xn } 为常数列; ④当 n ? 1 时, xn ? m ?1 ; 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号) 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. ) 16.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (?1, 2), b ? (3, 4) . (I) 若 (2a ? b )//(a ? kb) ,求实数 k 的值; (II) 若向量 ? a 在 b 方向上的投影为 1,求实数 ? 的值. 17. (本小题满分 12 分)解关于的不等式

x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 (a ? 0) x3 ? 1

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4cos ? x ? sin ? ? x ? (Ⅰ)求的值;

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为. 4?

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的最小值以及此时的值.

19. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 的前项和为 Sn ? 22 n?1 ? t , n ? N (I)求的值以及 {an } 的通项公式 an ; (II)记数列 {bn } 满足 bn ? an cos n? ,试求数列 {bn } 的前项和 Tn .

?

20. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 设 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , 若 向 量 a ? b 且

4 A? B 5 a ? (? ? cos( A ? B), cos 2 ) , b ? ( ,1) , 5 2 8
(I)求 tan A ? tan B 的值; (II)求

S ?ABC 的最小值(其中 S?ABC 表示 ?ABC 的面积). c ? a 2 ? b2
2

21. ( 本小 题 满分 14 分 ) 已 知 数列 {an } 的 前 项 和为 Tn , 且 点 (n ,Tn ) 在 函 数 y ?

3 2 1 x ? x 上,且 2 2

an ? 2 ? 3log4 bn ? 0 ( n ? N ? )
(I)求 {bn } 的通项公式; (II)数列 {cn } 满足 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前项和 Sn ; (III)记数列 ?

?1? 1 ,证明: d1 ? d 2 ? ? 的前项和为 Bn ,设 d n ? bn ? Bn 2 ? bn ?

? dn ?

1 . 2

成都外国语学校 2013~2014 学年度下期期末考试 高一数学试题(理科) 参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一个选 项符合题目要求的。 1~5 DCCDB 6~10 ABACD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.____ 4? _____; 13._____ 8? _____; 14.__CD____DE____; 15.____ ②③④________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. ) 16.解: (I) k ? 12_____ an ? 2 ? 3n?1 ?1 ______;

1 ; (II) ? ? 1 2

17.解:由题意: ( x3 ? 1)[ x2 ? (a ? 1) x ? a] ? 0

( x ? 1)( x2 ? x ? 1)[ x2 ? (a ? 1) x ? a] ? 0

( x2 ? x ? 1) ? 0 恒成立
?( x ? 1)[ x2 ? (a ? 1) x ? a] ? 0
? ( x ? 1)( x ? 1)( x ? a) ? 0
ⅰ当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? a或x ? 1} ⅱ当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1或x ? 1} ⅲ当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1或x ? a}

18.解:由题意: f ( x) ? 4cos ? x(

2 2 sin ? x ? cos ? x) 2 2

? 2 sin 2? x ? 2 2 cos2 ? x
? 2 sin 2? x ? 2 cos 2? x ? 2
? 2sin(2? x ? ) ? 2 4
(I) T ?

?

2? ?? 2?

? ?1

(II)由(I)可知 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)? 2

x ? [0, 2]

? 2x ?

?

?[ , 2 ? ] 4 4 4

?

?

? 3? ? ? [ , ] ?[ ,2 ? ] 4 2 4 4
? 2x ?

?
4

?

3? 5? 即x? 时 2 8

f ( x)min ? ?2 ? 2
19.解: (I)

Sn ? 22n?1 ? t , n ? N ?
? a1 ? S1 ? 8 ? t ? a2 ? S2 ? S1 ? 24 ? a3 ? S3 ? S2 ? 96
又 {an } 等比数列,?a22 ? a1a3 即 242 ? (8 ? t ) ? 96 得 t ? 2

{an } 的首项为 a1 ? 8 ? t ? 8 ? 2 ? 6 ,公比为 q ? 4 的等比数列

?an ? 6 ? 4n?1
(II)

bn ? an cos n? ? (?1)n ? 6 ? 4n?1
? ?6 ? 6 ? 4 ? 6 ? 42 ? 6 ? 43 ? ? 6 ? 4n ?2 ? 6 ? 4n ?1

ⅰ当为正偶数时,

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?

? bn?1 ? bn ? 6 ? 3 ? 6 ? 3 ? 42 ?

? 6 ? 3 ? 4n ?2

?
ⅱ当为正奇数时,

6(4n ? 1) 5

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?

? bn?1 ? bn

? Tn?1 ? an ? ?

6(4n ? 1) 5

? 6(4n ? 1) , n正偶数 ? ? 5 综上所述: Tn ? ? . n ?? 6(4 ? 1) ,n为正奇数 ? 5 ?
说明: (I)本题也可以用 Sn ? Aq ? B(q ? 0,1), A ? B ? 0, AB ? 0 结论(最好证明再用) (II)也可以
n

用错位相减

20.解: (I)

4 A? B 5 a ? (? ? cos( A ? B ), cos 2 ) , b ? ( ,1) , 5 2 8
且 a ? b ,? a ? b ? 0 即 a ?b ?

5 4 A? B [? ? cos( A ? B)] ? cos 2 ?0 8 5 2

?5cos( A ? B) ? 4cos( A ? B) ? 0
?5cos A cos B ? 5sin A sin B ? 4cos A cos B ? 4sin A sin B ? 0 ? cos A cos B ? 9sin A sin B ? 0

tan A tan B ?
(II)

1 9

S?ABC ?

1 ab sin C 与余弦定理 2

1 ab sin C S?ABC ab sin C 1 2 ? 2 ? 2 ?? ? ? tan C 2 2 2 2 c ?a ?b c ?a ?b 4ab cos C 4
在 ?ABC 中,

tan C ? ? tan( A ? B)

?

S?ABC 1 tan A ? tan B tan A ? tan B ? tan( A ? B) ? ? 2 2 1 c ?a ?b 4 4(1 ? tan A tan B) 4(1 ? ) 9
2

tan A ? tan B ? 2 tan A ? tan B ?
? S ?ABC 3 ? 2 2 c ? a ? b 16
2

2 3
S ?ABC 3 ) ? . 2 2 min c ?a ?b 16
2

即当且仅当 A ? B 时, (

21 解: (I)由题意: Tn ?

3 2 1 n ? n 2 2 3 1 ? ?1 2 2
ⅱ当 n ? 2 时, an ? Tn ? Tn?1 ? 3n ? 2

ⅰ当 n ? 1 时, a1 ? T1 ? 所以, an ? 3n ? 2 所以 bn ? 4
?n

又因为 an ? 2 ? 3log4 bn ? 0

?

1 4n 1 4
n

(II)因为 cn ? an ? bn ? (3n ? 2)( )

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?
所以 S n ? 1?

? cn
1 ? (3n ? 2)( ) n ┈┈┈① 4

1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? 4 4 4

1 1 1 S n ? 0 ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 4 4 4
由①②得:

1 1 ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2)( ) n ?1 ┈┈② 4 4 1 1 ? ( ) n ] ? (3n ? 2)( ) n ?1 4 4

3 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? 4 4 4 4

1 1 (1 ? n ?1 ) 3 1 1 4 Sn ? ? 3 16 ? (3n ? 2)( ) n ?1 1 4 4 4 1? 4
整理得: Sn ? (III)

2 3n ? 2 1 n ? ( ) . 3 3 4

1 ? 4n bn

?1? 4(1 ? 4n ) 4 n ? (4 ? 1) 所以数列 ? ? 的前项和为 Bn ? 1? 4 3 ? bn ?
因为 d n ?

1 1 9 ? 4n ? ? 1 16 n bn ? Bn 2 16(4n ? 1) 2 2 ? (4 ? 1) 4n 9

9 ? 4n 9 ? 4n 3 1 1 ? ? ( n?1 ? n )(n ? 2) n 2 n n ?1 16(4 ? 1) 16(4 ? 1)(4 ?1) 4 4 ?1 4 ?1
? d1 ? d 2 ?
即 d1 ? d 2 ?

3 1 1 1 1 ? d n ? d1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? 4 3 15 15 63

?(

1 4
n ?1

1 )] ?1 4 ?1 ?
n

? dn ?

1 3 1 ? ? n 2 4(4 ? 1) 2
1 1 9 ? 4n 3 ? ? ? 2 n 2 1 16 n bn ? Bn 16(4 ? 1) 2 ? 4n 2 ? (4 ? 1) 4n 9

另外:第(III)也可以 d n ?

3 1 [1 ? ( ) n ] 4 ? 1 [1 ? ( 1 ) n ] ? 1 . di ? 8 ? 1 2 4 2 i ?1 1? 4
n


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