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高三一轮复习 函数的性质(偏难题)


函数的性质及其应用(中等难题和难题)
函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重,其中函数单调 性与奇偶性是高考命题的必考内容之一,有具体函数,还会涉及抽象函数。函数单调性是函 数在定义域内某个区间上的性质, 函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。 研究基本性质, 不可忽略定义域对函数性质的影响。 函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度, 而值 域

又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。 对函数单调性要深入复习, 深刻理解单调性 定义,熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性,掌握单调区间的求法,掌握单调 性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用,如求最值、解不等式、求参数范围等,掌 握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数 形结合等数学思想, 运用分离变量方法解决函数相关问题, 并围绕函数单调性分析解决函数 综合问题。

一 函数与反函数
例 1. (1)已知 A={1,2,3},B={4,5},则以 A 为定义域,B 为值域的函数共有 个. 2 (2) 、 (2012?徐汇区一模)已知函数 f(x)=x ﹣1 的定义域为 D,值域为{﹣1,0,1}, 试确定这样的集合 D 最多有 个. (3) (2013?上海)对区间 I 上有定义的函数 g(x) ,记 g(I)={y|y=g(x) ,x∈I}.已 ﹣1 ﹣1 知定义域为[0,3]的函数 y=f(x)有反函数 y=f (x) ,且 f ([0,1) )=[1,2) , ﹣1 f ( (2,4])=[0,1) .若方程 f(x)﹣x=0 有解 x0,则 x0= . 一、函数值域及最值求法 例 2、 (1) (2011?上海)设 g(x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x) =x+g (x) 在区间[0, 1]上的值域为[﹣2, 5], 则f (x) 在区间[0, 3]上的值域为 .

(2) . (2012?虹口区一模) 已知函数 ( f x) =2x+a, (x) g =x2﹣6x+1, 对于任意 x1 ?? ?1,1? 都能找到 x2 ?? ?1,1? ,使得 g(x2)=f(x1) ,则实数 a 的取值范围是 .

二 函数单调性,奇偶性,周期性,对称性
例 3、 (1) (2013?资阳一模)已知函数 若 f(2m+1)>f(m ﹣2) ,则实数 m 的取值范围是 (2)已知 是
2



是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围

. (3) (2012?上海)已知 y=f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+2 且 g(1)=1,则 g(﹣ 1)= . (4)f(x)为 R 上的偶函数,g(x)为 R 上的奇函数且过(﹣1,3) ,g(x)=f(x﹣1) , 则 f(2012)+f(2013)= . -1-

例4 设函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x﹣2)=﹣f(x)对一切 x∈R 3 都成立,又当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x ,则下列四个命题:①函数 y=f(x)是以 4 为周 3 期的周期函数;②当 x∈[1,3]时,f(x)=(2﹣x) ; ③函数 y=f(x)的图象关于 x=1 对称;④函数 y=f(x)的图象关于(2,0)对称.其中正确的命题是 . 例 5 (1)已知函数 y ? f (2 x ? 1) 为偶函数,则函数 y ? f (2 x) 图像关于直线 称,函数 y ? f ( x) 图像关于直线 对称。 对

(2)设

.则

. (3)已知函数 f(x)的定义域为 R,则下列命题中:?①若 f(x﹣2)是偶函数,则 函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称;?②若 f(x+2)=﹣f(x﹣2) ,则函数 f(x)的图 象关于原点对称;?③函数 y=f(2+x)与函数 y=f(2﹣x)的图象关于直线 x=2 对称;?④ 函数 y=f (x﹣2) 与函数 y=f (2﹣x) 的图象关于直线 x=2 对称. 其中正确的命题序号是 . ?

三 函数性质的综合应用
例 6、 (2013?上海春季)已知真命题:“函数 y=f(x)的图象关于点 P(a,b)成中心对 称图形”的充要条件为“函数 y=f(x+a)﹣b 是奇函数”. 3 2 (1)将函数 g(x)=x ﹣3x 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时 图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g(x)图象对称中心的坐标; (2)求函数 h(x)= 图象对称中心的坐标;

(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存 在实数 a 和 b,使得函数 y=f(x+a)﹣b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题, 请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真 命题(不必证明) .

例 7、已知函数 f(x)=ax +bx+1,a,b 为实数,a≠0,x∈R,F(x)= (1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 F(x)的表达式; -2-

2



(2)在(1)的条件下,当 x∈[﹣1,1]时,g(x)=f(x)+kx 是单调函数,求实数 k 的取 值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且函数 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)是否大于 0.

例 8、 (2012?上海)已知 f(x)=lg(x+1) (1)若 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0≤x≤1 时,g(x)=f(x) ,求函数 y=g(x) (x∈[1,2])的反函数.

例 9、 (2012?卢湾区二模) 对于定义域为 D 的函数 y=f (x) , 若有常数 M, 使得对任意的 x1∈D, 存在唯一的 x2∈D 满足等式 ,则称 M 为函数 y=f (x)的“均值”.

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(1)判断 1 是否为函数 f(x)=2x+1(﹣1≤x≤1)的“均值”,请说明理由; 2 (2)若函数 f(x)=ax ﹣2x(1<x<2,a 为常数)存在“均值”,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f(x)是单调函数,且其值域为区间 I.试探究函数 f(x)的“均值”情况(是 否存在、个数、大小等)与区间 I 之间的关系,写出你的结论(不必证明) .

例 10、已知函数 y=f(x) ,x∈R 满足 f(x+1)=af(x) ,a 是不为 0 的实常数. (1)若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1﹣x) ,求函数 y=f(x) ,x∈[0,1]的值域; (2)在(1)的条件下,求函数 y=f(x) ,x∈[n,n+1) ,n∈N 的解析式; x (3)若当 0<x≤1 时,f(x)=3 ,试研究函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单 调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由.

四 实战演练 一.填空题

-4-

1、 (2009?上海)将函数

(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋

转角 θ (0≤θ ≤α ) ,得到曲线 C.若对于每一个旋转角 θ ,曲线 C 都是一个函数的图 象,则 α 的最大值为 . 2、 (2013?上海)对区间 I 上有定义的函数 g(x) ,记 g(I)={y|y=g(x) ,x∈I}.已知定 ﹣1 ﹣1 义域为[0,3]的函数 y=f(x)有反函数 y=f (x) ,且 f ([0,1) )=[1,2) ,f ﹣1 ( (2,4])=[0,1) .若方程 f(x)﹣x=0 有解 x0,则 x0= . 3、 (2011?上海)设 g(x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x) 在 区间[0,1]上的值域为[﹣2,5],则 f(x) 在区间[0,3]上的值域为 . 4、 (2011?闸北区二模)设 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若函数 f(x)+g(x)的值域为[1,3) ,则 f(x)﹣g(x)的值域为 . 5、在直角坐标系中,如果两点 A(a,b) ,B(﹣a,﹣b)在函数 y=f(x)的图象上,那么 称[A,B]为函数 f(x)的一组关于原点的中心对称点([A,B]与[B,A]看作一组) .函数

g(x)=

关于原点的中心对称点的组数为



6. (2013?上海) 设 a 为实常数, y=f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x<0 时, f (x) =9x+ f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为 .

+7. 若

7. (2012?上海)若 f(x)=

为奇函数,则实数 m=



8. (2012?上海)已知函数 f(x)=e 数,则 a 的取值范围是 .

|x﹣a|

(a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函

9. (2012?上海)已知 y=f(x)+x 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2, 则 g(﹣1)= . 10. (2013?四川)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣4x,那么, 不等式 f(x+2)<5 的解集是 . 11. (2013?黄浦区二模)已知 ,若存在区间 ,使得
2

2

{y|y=f(x) ,x?[a,b]}=[ma,mb],则实数 m 的取值范围是 . 12.f(x)为 R 上的偶函数,g(x)为 R 上的奇函数且过(﹣1,3) ,g(x)=f(x﹣1) ,则 f(2012)+f(2013)= .

-5-

13.设函数 f(x) ,g(x)的定义域分别为 Df,Dg,且 Df?Dg.若对于任意 x∈Df,都有 g(x) 2 =f(x) ,则称函数 g(x)为 f(x)在 Dg 上的一个延拓函数.设 f(x)=x +2x,x∈(﹣ ∞,0],g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,且 g(x)是偶函数,则 g(x)= . 14. (2013?普陀区一模)已知函数 =f(b) ,则 b?f(a)的取值范围是 . ,设 a>b≥0,若 f(a)

15. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x∈R,都有 f(x+3)≤f(x)+3 和 f(x+2)≥f(x)+2,若 f(998)=1002,则 f(2012)= . 16. (2010?西城区一模) 设函数 f (x) 的定义域为 D. 若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M. 有 x+l∈D,且 f(x+l)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数,如果定义域是[﹣1, 2 +∞)的函数 f(x)=x 为[﹣1,+∞)上的 m 高调函数.则实数 m 的取值范围是----. 17.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(m+n )=f(m)+2[f(n)] ,其中 m,n∈R,且 f(1)≠0.则 f(2013)= . 18. (2013?浙江模拟)定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,M(x,y) 是 f(x)图象上任意一点,其中 x=λ a+(1﹣λ )b∈[a,b],已知向量 ,若不等式 “k 阶线性近似”.若函数 围为 恒成立,则称函数 f(x)在[a,b]上
2 2

在[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范

二.解答题 19. (2012?交大附中)若函数 f(x)定义域为 R,满足对任意 x1,x2∈R,有 f(x1+x2)≤f (x1)+f(x2) ,则称 f(x)为“V 形函数”;若函数 g(x)定义域为 R,g(x)恒大于 0, 且对任意 x1,x2∈R,有 lgg(x1+x2)≤lgg(x1)+lgg(x2) ,则称 g(x)为“对数 V 形函数”. 2 (1)当 f(x)=x 时,判断 f(x)是否为 V 形函数,并说明理由; 2 (2)当 g(x)=x +2 时,证明:g(x)是对数 V 形函数; (3)若 f(x)是 V 形函数,且满足对任意 x∈R,有 f(x)≥2,问 f(x)是否为对数 V 形函数?证明你的结论.

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20. (2012?杨浦区一模)若函数 y=f(x) ,如果存在给定的实数对(a,b) ,使得 f(a+x)?f(a﹣x)=b 恒成立,则称 y=f(x)为“Ω 函数”. 3 x (1)判断下列函数,是否为“Ω 函数”,并说明理由;①f(x)=x ②f(x)=2 (2) 已知函数 f(x)=tanx 是一个“Ω 函数”,求出所有的有序实数对(a,b) .

21.给出函数封闭的定义: 若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0, 都有函数值 f(x0) ∈D, 则称函数 y=f(x)在 D 上封闭. (1)若定义域 D1=(0,1) ,判断下列函数中哪些在 D1 上封闭(写出推理过程) :f1(x)=2x ﹣1,f2(x)=﹣ ﹣ +1,f3(x)=2 ﹣1; 在 D2 上封闭?若存
x

(2)若定义域 D2=(1,2) ,是否存在实数 a,使得函数 f(x)= 在,求出 a 的值,并给出证明;若不存在,请说明理由.

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22. 若函数 f (x) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数, 而

在 I 上是减函数,

则称 y=f(x)在 I 上是“弱增函数” 2 (1)请分别判断 f(x)=x+4,g(x)=x +4x 在 x∈(1,2)是否是“弱增函数”,并简要 说明理由. 2 2 (2)证明函数 h(x)=x +a x+4(a 是常数且 a∈R)在(0,1]上是“弱增函数”.

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