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【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 第二章 习题课四 第二章解析几何初步


习题课(四)
【课时目标】 1.巩固圆的方程的两种形式,并熟练应用圆的方程解决有关问题.2.熟 练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用.

1. ①圆的标准方程: ? ? 其中 为圆心,r为半径. 圆的方程? ②圆的一般方程: ? ? 其中? >0?. 相交?d<r; ? ? ?相离? ? ?相切? ,

2.直线与圆的位置关系的判定(d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆半径) ; .

3.圆与圆的位置关系(d 表示两圆圆心距,R、r 表示两圆半径且 R≥r)

? ?外切?d=R+r; ?R-r<d<R+r; ?相交 内切?d=R-r; ? ?内含?d<R-r.
外离?d>R+r; 一、选择题 1.圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心坐标和半径分别是( ) A.(1,-2),5 B.(1,-2), 5 C.(-1,2),5 D.(-1,2), 5 2.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) 2 2 A.(x+1) +(y+1) =2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8 3.直线 x- 3y=0 绕原点按逆时针方向旋转 30° 所得直线与圆 x2+y2-4x+1=0 的位置 关系是( ) A.相交且过圆心 B.相交但不过圆心 C.相切 D.相离 4. 若圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心位于第三象限, 则直线 x+ay+b=0 一定不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.直线 l 与直线 3x+4y-15=0 垂直,与圆 x2+y2-18x+45=0 相切,则直线 l 的方程是 ( ) A.4x-3y-6=0 B.4x-3y-66=0 C.4x-3y-6=0 或 4x-3y-66=0

D.4x-3y-15=0 6.方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等实根,则 k 的取值范围为( ) 5 3 3 ? ? A.? B.? ?12,4? ?4,+∞? 5 ? 5 ,3? -∞, ? C.? D . 12 ? ? ?12 4? 二、填空题 7. 过点 M(0,4), 且被圆(x-1)2+y2=4 截得的线段长为 2 3的直线方程为______________. 8 .一束光线从点 A( - 1,1) 出发经 x 轴反射到圆 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1 上的最短路程为 ________. 9.集合 A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中 r>0,若 A∩B 中 有且仅有一个元素,则 r 的值是________. 三、解答题 10.有一圆 C 与直线 l:4x-3y+6=0 相切于点 A(3,6),且经过点 B(5,2),求此圆的标准 方程.

11.已知圆 C:x2+y2-2x-4y-20=0 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 总相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

能力提升 12.已知曲线 C:(x-1)2+y2=1,点 A(-1,0)及点 B(2,a),从点 A 观察点 B,要使视线 不被曲线 C 拦住,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,- 3)∪( 3,+∞) C.( 3,+∞) D.(-∞,-3 3)∪(3 3,+∞) 13.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条 切线,A、B 是切点,C 是圆心,求四边形 PACB 面积的最小值.

初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题,本章则主要是利用圆的方程从代数角度研 究了圆的性质,如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题,将在处理圆有关问题时 收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形,它既是中心对称图形又是轴对称图形,它的许多几何性质在 解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用,所以在实际解题中常用几何法,充分结合圆的平 面几何性质.那么,我们来看经常使用圆的哪些几何性质: (1)圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于半径;切点与圆心的连线垂直于切线;切线 在切点处的垂线一定经过圆心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三 个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质:相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线;弦的 垂直平分线(中垂线)一定经过圆心;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边,满足 勾股定理. (3)与直径有关的几何性质:直径是圆的最长的弦;圆的对称轴一定经过圆心;直径所对 的圆周角是直角.

习题课(四)

答案

知识梳理 1.①(x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) ②x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F 2.d>r d=r 作业设计 1.D 2.B [线段 AB 两端点为(0,2)、(2,0),∴圆心为(1,1),半径 r= 2,∴选 B.] 3.C [直线旋转后为 y= 3x,圆心(2,0)到该直线距离 d=r.∴选 C.] 3 ?2 2 9 2 3 ? ? 4.D [圆的标准方程为(x-a)2+? ?y+2b? =a +4b .圆心为?a,-2b?.∴a<0,b>0. 1 b ∴y=- x- 不过第四象限.] a a 5.C [设直线方程为 4x-3y+m=0,由直线与圆相切得 m=-6 或-66.] 6.A [

在同一平面直角坐标系中分别画出 y= 4-x2(就是 x2+y2=4,y≥0)和 y=k(x-2)+3 的 图象.如图所示,问题就转化为两条曲线有两个交点的问题, 3-0 3 需 kPA<k≤kPB,kPB= = , 2-?-2? 4 |-2k+3| 对于 k(x-2)-y+3=0,因为直线与圆相切,所以 d=r,即 =2, k2+1 5 3? 5 解得 kPA= .所以 k 的取值范围为? ?12,4?.] 12 7.x=0 或 15x+8y-32=0 解析 设直线方程为 x=0 或 kx-y+4=0. 当直线方程为 x=0 时, 弦长为 2 3符合题意;

|k-0+4| 15 当直线方程为 kx-y+4=0 时,d= = 22-? 3?2=1,解得 k=- ,因此直线方程 2 8 k +1 为 15x+8y-32=0. 8.4 解析 点 A 关于 x 轴的对称点 A′(-1,-1),转化为求 A′(-1,-1)到圆上的点的距 离的最小值问题,其最小值为 ?2+1?2+?3+1?2-1=4. 9.3 或 7 解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系. ∵A∩B 中有且仅有一个元素, ∴两圆 x2+y2=4 与(x-3)2+(y-4)2=r2 相切, O(0,0),C(3,4),|OC|=5,r1=2,r2=r, 故 2+r=5,或 r-2=5,∴r=3 或 7. 10.解 设所求圆的圆心为 O,则 OA⊥l,又设直线 OA 与圆的另一交点为 P.所以直线 3 3 OA 的斜率为- .故直线 OA 的方程为 y-6=- (x-3),即 3x+4y-33=0.又因为 4 4 2-6 1 kAB= =-2,从而由平面几何知识可知 kPB= , 2 5-3 则直线 PB 的方程为 x-2y-1=0. ?3x+4y-33=0, ?x=7, ? ? 解方程组? 得? ?x-2y-1=0, ?y=3. ? ? 即点 P 的坐标为(7,3). 9? 因为圆心为 AP 的中点? ?5,2?, 5 半径为 OA= , 2 9?2 25 故所求圆的标准方程为(x-5)2+? ?y-2? = 4 . 11.(1)证明 把直线 l 的方程改写成 (x+y-4)+m(2x+y-7)=0, ? ? ?x+y-4=0 ?x=3 由方程组? ,解得? , ?2x+y-7=0 ?y=1 ? ? 所以直线 l 总过定点(3,1). 圆 C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25,所以圆 C 的圆心为(1,2),半径为 5. 定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为 ?3-1?2+?1-2?2= 5<5,即点(3,1)在圆内.所以过点(3,1) 的直线总与圆相交,即不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 总相交. (2)解 设直线与圆交于 A、B 两点.当直线 l 过定点 M(3,1)且垂直于过点 M 的圆 C 的半 径时,l 被截得的弦长|AB|最短. 因为|AB|=2 |BC|2-|CM|2 1 =2 25-[?3-1?2+?1-2?2]=2 20=4 5,此时 kAB=- =2,所以直线 AB 的方程为 y kCM -1=2(x-3),即 2x-y-5=0. 故直线 l 被圆 C 截得的弦长最小值为 4 5,此时直线 l 的方程为 2x-y-5=0. 12.B [

视线即切线,切线与直线 x=2 交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分,圆的切 线方程为 3 y=± (x+1). 3 当 x=2 时,y=± 3,所以 a∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞),故选 B.] 13.

方法一 从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向左上方或向右下方 1 1 无穷远处运动时,直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC= |PA|· |AC|= |PA|越来越大,从而 S 四边形 PACB 2 2 也越来越大;当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小,显然,当点 P 到 达一个最特殊的位置,即 CP 垂直直线时, S 四 边 形 PACB 应有唯一的最小值,此时 |PC| = |3×1+4×1+8| = 3, 32+42 从而|PA|= |PC|2-|AC|2=2 2. 1 ∴(S 四边形 PACB)min=2× ×|PA|×|AC| 2 =2 2. 方法二 利用等价转化的思想,设点 P 坐标为(x,y),则|PC|= ?x-1?2+?y-1?2, 由勾股定理及|AC|=1,得 |PA|= |PC|2-|AC|2 = ?x-1?2+?y-1?2-1, 从而 S 四边形 PACB=2S△PAC 1 =2·|PA|· |AC| 2 =|PA|= ?x-1?2+?y-1?2-1, 从而欲求 S 四边形 PACB 的最小值,只需求|PA|的最小值,只需求|PC|2=(x-1)2+(y-1)2 的最 小值,即定点 C(1,1)与直线上动点 P(x,y)距离的平方的最小值,它也就是点 C(1,1)到直线 3x +4y+8=0 的距离的平方, |3×1+4×1+8| 2 这个最小值 d2=( ) = 9, 32+42 ∴(S 四边形 PACB)min= 9-1=2 2.




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