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高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:解三角形 第8课时 正、余弦定理的应用(2)(教师版)


第 8 课时正、余弦定理的应用(2)
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?测量学 ? 正、余弦定理的应用 ?航海 ?数学问题 ?

学习要求
1.利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时,要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等 概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽象出一个 或几个三角形,然后通过这些三角形,得出实际问题的解。

【课堂互动】

自学评价
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是: ①分析:理解题意,弄清清与未知,画出示意图(一个或几个三角形) ; ②建模:根据书籍条件与求解目标,把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立 一个解斜三角形的数学模型; ③求解:利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形,求得数学模型的解; ④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解。

【精典范例】
【例 1】作用在同一点的三个力 F1 , F2 , F3 平衡.已知 F 1 ? 30 N , F2 ? 50 N , F 1 与 F2 之间的夹 角是 60 ,求 F3 的大小与方向(精确到 0.1 ). 【解】 F3 应和 F1 , F2 合力 F 平衡,所以 F3 和 F 在同一直线上, 并且大小相等,方向相反. 如图 1-3-3,在 ?OF1F 中,由余弦定理,得
F ? 302 ? 502 ? 2 ? 30 ? 50 cos120? ? 70 ? N ? 再由正弦定理,得
?

?

50sin120? 5 3 , ? 70 14 ? 所以 ?FOF ? 38.2? ,从而 ?FOF 1 1 3 ? 141.8 . 听课随笔 sin ?F1OF ?
答 F3 为 70 N , F3 与 F1 之间的夹角是 141.8 . 【例 2】半圆 O 的直径为 2 , A 为直径延长线上的一点, OA ? 2 , B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC .问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大?
?

分 析 : 四 边 形 的 面 积 由 点 B 的 位 置 唯 一 确 定 , 而 点 B 由 ?AOB 唯 一 确 定 , 因 此 可 设 ?AOB ? ? ,再用 ? 的三角函数来表示四边形 OACB 的面积. 【解】设 ?AOB ? ? .在 ?AOB 中,由余弦定理,得 AB2 ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2cos ? ? 5 ? 4cos ? .

-1-

于是,四边形 OACB 的面积为

1 3 S ? S?AOB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4 1 3 ? ? 2 ?1? sin ? ? ? 5 ? 4cos ? ? 2 4
? sin ? ? 3 cos ? ? 5 3 4

?? 5 ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3. 3? 4 ?
因为 0 ? ? ? ? ,所以当 ? ? 积最大.

?
3

?

?
2

时, ? ?

5 5 ? ,即 ?AOB ? ? 时,四边形 OACB 的面 6 6

追踪训练一
1. 如图,用两根绳子牵引重为F1=100N的物体,两根绳子拉力分别为F2,F3,保持 平衡.如果F2=80N,F2与F3夹角α =135°. (1)求F3的大小(精确到1N) ; (2)求F3与F1的夹角β 的值 (精确到0.1°) .

答案: (1) F3 ?

100 sin100.6 0 ? 139( N ) sin 450

(2) ? ? 145.6 0 2. 从200m高的电视塔顶A测得地面上某两点B,C的俯角分别为30°和 45°,∠BAC=45°,求这两个点之间的距离.

答案: 200 2 ? 282.8 3.在△ABC 中,若 a ? 1 ,B=450,△ABC 的面积为 2,那么,△ABC 的外接圆直径为 5 2

【选修延伸】 【例 3】 ?ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,
① 求最大角的余弦值; ② 求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积.
? 【解】①设三边 a ? k ? 1, b ? k , c ? k ? 1 , k ? N 且 k ? 1 ,

∵ C 为钝角,
-2-

a 2 ? b2 ? c 2 k ?4 ? ? 0, 2ab 2(k ? 1) 解得 1 ? k ? 4 , ? ∵ k ? N , ∴ k ? 2 或 3 ,但 k ? 2 时不能构成三角形应舍去,
∴ cos C ? 当 k ? 3 时, a ? 2, b ? 3, c ? 4, cos C ? ? ②设夹 C 角的两边为 x , y , x ? y ? 4 ,
4 4

1 ; 4

所以, S ? xy sin C ? x(4 ? x) ? 15 ? 15 ? (? x 2 ? 4 x) ,当 x ? 2 时, Smax ? 15 .

追踪训练二
1.我国潜艇外出执行任务,在向正东方向航行时,测得某国的雷达站在潜艇的东偏北 300 方 向的 100n mile 处,已知该国的雷达扫描半径为 70n mile,若我国潜艇不改变航向,则行驶多 少路程后会有暴露目标?( B ) A 50 C B 10 3(5 ? 2 2 ) D

20 6

50 3
( A )

2.在△ABC 中,若 A ? B ,则 sin A 与 sin B 的大小关系是 A 大于 B 大于等于 C 小于 D 小于等于

解: A ? B ? a ? b ? 2r sin A ? 2r sin B ? sin A ? sin B 3.两艘快艇在水面上一前一后前进,后一艘快艇的速度是前一艘的两倍,前一艘快艇突然向 0 与原前进方向成 30 角行驶,若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇,则它行驶的方向应与 原方向的夹角为

arcsin

1 4

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

-3-


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