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黑龙江省哈尔滨市第九中学2013届高三第四次模拟考试数学(文)试卷


高三数学(文)第四次模拟考试答案
1-6 BCBCAD 13. 2 7-12 DBCADA 14.2 15. a ? ?1 16. (2)(3)

17 解: (1)∵acosB+bcosA=b,由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB, ∴sin(A+B)=sinB,--------3 分 即 sinC=sinB,∴b

=c,∴C=B.--------------6 分 (2)△BCD 中,用正弦定理可得 = ,由第一问知道 C=B,而 BD 是角平分线,



=2cos.---------8 分

由于三角形内角和为 180°,设 A=x,B=2α =C,那么 4α +x=180°,故 α +=45°.--9 分

∵sin=,∴cos=,∴cosα =cos(45°﹣)=cos45°cos+sin45°sin= ∴ =2cos=2cosα = .---------------12 分
-------4 分



18.(1)

优秀

非优秀

合计

甲班

10

50

60

乙班

20

30

50

合计

30

80
110(10×30-20×50)2

110

(2) 根据列联表中的数据, 得到 K =

2

60×50×30×80

≈7.487<10.828.因此按 99.9%的

可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” -----------8 分 (3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数 为(x,y).所有的基本事件有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6)共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有:(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(5,5)、(4,

7 7 ,即抽到 9 号或 10 号的概率为 .-------12 分 36 36 1 S ?ACD h S V A? PCD V P ? ACD 3 ? ? ? ?ACD 19 解: (1) 1 S ABCD V P ? ABCD V P ? ABCD S ABCD h 3 1 AD ? h / 2 S ?ACD 2 又由 BC : AD ? 1 : 2 则 = ? 3 S ABCD 1 ( AD ? BC ) ? h / 2
6)(6,4)共 7 个.所以 P(A)=

P
所以

V A? PCD 2 ? V P ? ABCD 3

4分

N

M

A
O Q

D

(2)存在,当 M 为 PD 中点时满足 CM //平面 PAB 证明:取 PA 中点 N,PD 中点 M,连接 NB,NM,MC 则 MN //
?

1 AD, 2
?

又由 BC //
?

1 AD, 2

B

C

所以 MN // BC , 所以 MNBC 为平行四边形则 BN // CM 又由 BN ? 平面 PAB , CM ? 平面 PAB 所以 CM //平面 PAB

8分

(3)取 AB 中点 O,连 PO,OD,AC,且 OD,AC 交于 Q 由已知 Rt?AOD ? Rt?ABC

? ?AOD ? ?ACB ? ?AOD ? ?OAQ ?
又由 AC ? PO ? AC ? 面 POD

?
2

? AC ? OD

10 分

AC ? PD

12 分
2

20.(1)由题意知:抛物线方程为: y ? 4 x 且 P ?? 1,0? 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由已知直线 l 斜率存在设 l : y ? k ( x ? 1) 代入 y ? 4 x 得
2

-------1 分

k 2 x 2 ? ( 2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ? ? 0 ? ?1 ? k ? 1 ? ( 2k 2 ? 4) ? x1 ? x 2 ? ? ? k2 ? x1 x 2 ? 1 ?

-------- 3 分

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

h?


k 1? k2

-------- 5 分

1 5 4 41 AB h ? 得 k ? ? 满足 ? ? 0 -------- 6 分 41 2 2
y1 y2 k ( x1 ? 1)( x 2 ? a ) ? k ( x 2 ? 1)( x1 ? a ) ? ? ----x1 ? a x 2 ? a ( x1 ? a )( x 2 ? a )

(2)假设存在 T (a, o) 满足题意,则

k AT ? k BT ?
?

------8 分

? k ? 2 x1 x 2 ? (a ? 1)? x1 ? x 2 ? ? 2a ? ? 0
4 ? 2k 2 ? 2a ? ? 0 k2 整理得: a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ?存在 T(1,0)----------------12 分
即 k ? 2 ? (a ? 1) ----------10 分

k ? 2 x 1 x 2 ? (a ? 1)( x 1 ? x 2 ) ? 2a ( x 1 ? a )( x 2 ? a )

?

?0

21.(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 ∴当 时,
2

. 时,f'(x)>0,

时,f'(x)<0;当

.---------------------- 4 分 .

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;

②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax +1<0,解得
2 2

; .

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递减.

--------------------------------------------8 分 (3) 设切点 T(x0,y0)则 kAT=f′(x0) , ∴ 即 e x0+lnx0+1=0
2

设 h(x)=e x+lnx+1,当 x>0 时 h′(x)>0, ∴h(x)是单调递增函数 (10 分) ∴h(x)=0 最多只有一个根, 又 ∴ 由 f'(x0)=﹣1 得切线方程是 . (12 分) ,

2

22. 证明: (Ⅰ)连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OCA ? ?OAC . 2 分 又因为 AD ? CE ,所以 ?ACD ? ?CAD ? 90 ,
0

又因为 AC 平分 ?BAD ,所以 ?OAC ? ?CAD ,
o

4分 5分
0

所以 ?OCA ? ?ACD ? 90 ,即 OC ? CE ,所以 CE 是 e O 的切线.

(Ⅱ)连接 BC ,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?BCA ? ?ADC ? 90 , 因为 ?OAC ? ?CAD , 8分

AC AD ? AC ,即 AC 2 ? AB ? AD . 所以△ ABC ∽△ ACD ,所以 AB
2

10 分
2 2

23.(1)由 ? ? 6cos ? 得 ? ? 6 ? cos ? ,所以 C2 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 x ? 0 --2 分

由已知得 C1 的直角坐标方程是

x2 ? y2 ? 1 , 2 a

当 ? ? 0 时射线与曲线 C1 , C2 交点的直角坐标为 ? a, 0 ? , ? 6, 0 ? ,-----------3 分

? AB ? 4,? a ? 2 ? C1 的直角坐标方程是

x2 ? y 2 ? 1 .①---------------5 分 4

1 ? ?x ? 1 ? 2 t ? (t为参数) ② -------7 分 (2) m 的参数方程为 ? ?y ? 3 t ? 2 ?
将②带入①得 13t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ,设 D, E 点的参数是 t1,t2 ,则

t1 ? t2 ? ?

4 12 , t1t2 ? ? ? 0 -------8 分 13 13 4 ? PD | ? | PE || ?| t1 ? t2 |? -------10 分 || 13
解之得 为所求.-----------------4 分

24 解: (Ⅰ)由|x﹣a|≤m 得 a﹣m≤x≤a+m, 所以

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 所以 f(x)+t≥f(x+t)?|x|﹣|x﹣2|≤t,

?2, x ? 2 ? 令 h( x ) ?| x | ? | x ? 2 |? ?2 x ? 2,0 ? x ? 2 ---------6 分 ?? 2, x ? 0 ?
所以,当 t ? 2 时,不等式①恒成立,解集为 R;-------8 分 当 0 ? t ? 2 时,解集为 {x | x ?

t ? 1} --------10 分 2


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