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(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题10 圆锥曲线 理(含解析)


(上海版)2014 届高三数学(第 04 期)名校试题分省分项汇编 专 题 10 圆锥曲线 理(含解析)
一.基础题组 1. 【上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学(文)试题】已知抛物线型 拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽为 8 米.则水面升高 1 米后,水面 宽是____________米(精确到 0.01 米) .

2. 【上海市长宁、 嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学 (文) 试题】 已知双曲线 C :

? x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,方向向量为 d ? (1 , 1) 的直线与 C 交于两点 A 、 B ,若线 2 a b
段 AB 的中点为 (4 , 1) ,则双曲线 C 的渐近线方程是………( A. 2 x ? y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 ) D. x ? 2 y ? 0

考点:直线与双曲线相交弦中点问题,双曲线的渐近线
1

3. 【上海市崇明县 2014 届高三高考模拟考试(二模)数学(文)试卷】方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 取值范围是 .

x2 y2 ? ?1 m?2 4

4. 【上海市奉贤区 2014 届下学期高三二模数学试卷(文科) 】已知抛物线 y 2 ? 20 x 焦点 F

恰好是双曲线 ________.

15 x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点,且双曲线过点 ( , 3) ,则该双曲线的渐近线方程为 2 4 a b

5. 【上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考练习(二模)数学(文)试题】 抛物线 y ? ?8x
2

的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 2 a

.

6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区 2014 高考模拟(文科)数学】在平面直角坐标系
2

xOy 中,若中心在坐标原点的双曲线过点 ? 2,3? ,且它的一个顶点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点
重合,则该双曲线的方程为 .

7. 【上海市闵行区 2014 届高三下学期教育质量调研(二模)数学(文)试题】若曲线

f ( x, y) ? 0 上存在两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线的自公切线,下列方
程的曲线有自公切线的是( (A) x ? y ?1 ? 0
2

) . (B) x ? 4 ? y ? 1 ? 0
2

(C) x ? y ? x ? x ?1 ? 0
2 2

(D) 3x2 ? xy ? 1 ? 0

三.拔高题组 1. 【上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学(文)试题】已知椭圆 ? :
3

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4 ,且椭圆 ? 过点 A(2 , 2 ) . a 2 b2
(1)求椭圆 ? 的方程; (2)设 P 、 Q 为椭圆 ? 上关于 y 轴对称的两个不同的动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

(2)设 P( x , y) ,则 Q(? x , y) ( x ? 0 ) ,

4

2. 【上海市崇明县 2014 届高三高考模拟考试(二模)数学(文)试卷】 已知椭圆

C1 :

3 x2 y 2 且其右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合, ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) , 2 2 a b

过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P, Q 两点. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 N (n, 0) ,使得 QP ? NP ? PQ ? NQ ?若存在,求 出 n 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)过点 P0 (4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A, B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为 E , 试证明:直线 AE 过定点.

5

值范围.即可.

6

3. 【上海市奉贤区 2014 届下学期高三二模数学试卷(文科) 】如图,已知平面内一动点 A

4 到两个定点 F 1 、 F2 的距离之和为 ,线段 F 1 F2 的长为 2 3 .
(1)求动点 A 的轨迹 ? 的方程;

【解析】

7

试题解析: (1) 因为 4 ? 2 3 , 轨迹是以 F 1 、F2 为焦点的椭圆, 分

3

8

证法 1:假设存在这样的两个不同的点 S ( x3 , y3 )和T ( x4 , y4 ),

9

10

4. 【上海市虹口区 2014 届高三 4 月高考练习(二模)数学(文)试题】我们将不与抛物 线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线, 这个公共点称为 切点.解决下列问题:
2 已知抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 上的点 ( x0 ,

直线 l:y ? kx ? b 与抛 3) 到焦点的距离等于 4,

物线相交于不同的两点 A( x1 ,

.设线段 AB y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,且 x2 ? x1 ? h( h 为定值)

的中点为 D ,与直线 l:y ? kx ? b 平行的抛物线的切点为 C ..

11

(1)求出抛物线方程,并写出焦点坐标、准线方程; (2)用 k 、 b 表示出 C 点、 D 点的坐标,并证明 CD 垂直于 x 轴; (3)求 ?ABC 的面积,证明 ?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关.

为零进行求解,即由 ?

? y ? kx ? m
2 ? x ? 4y

? x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,得 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 ,得

C(2k , k 2 ) .由于 C 、

12

5. 【上海市黄浦区 2014 年高考模拟(二模)数学(文)试题】已知点 D(1, 2) 在双曲

x2 y 2 线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,且双曲线的一条渐近线的方程是 3x ? y ? 0 . a b
(1)求双曲线 C 的方程; (2)若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点,求实数 k 的取值范围;

13

(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两个不同点, 若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原 点,求实数 k 的值.

【解析】

14

6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区 2014 高考模拟(文科)数学】已知椭圆

C:

x2 y 2 ? ?1 a ?b ? 0 ? ? 的 右 焦 点 F (1, 0 ), 长 轴 的 左 、 右 端 点 分 别 为 A1, A2 , 且 a 2 b2

FA1 ? FA2 ? ?1 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 过焦点 F 斜率为 k ( k ? 0 ) 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, 弦 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 D 点. 试问椭圆 C 上是否存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形?若存在, 求

k 的值;若不存在,请说明理由.

15

16

7. 【上海市闵行区 2014 届高三下学期教育质量调研(二模)数学(文)试题】设椭圆 ?1 的 中心和抛物线 ?2 的顶点均为原点 O , ?1 、 ?2 的焦点均在 x 轴上,过 ?2 的焦点 F 作直线 l , 与 ?2 交于 A、B 两点,在 ?1 、 ?2 上各取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2

4

3
? 3 2
17

?2 3

0

?4

(1)求 ?1 , ?2 的标准方程; (2)若 l 与 ?1 交于 C、D 两点, F0 为 ?1 的左焦点,求

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值;

( 3 )点 P、Q 是 ?1 上的两点,且 OP ? OQ ,求证:

1 OP
2

?

1 OQ
2

为定值;反之,当

1 OP
2

?

1 OQ
2

为此定值时, OP ? OQ 是否成立?请说明理由.

§X§X§K] 【解析】

18

19

20

反之,对于 ?1 上的任意两点 P、Q ,当

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

7 时, 12

8. 【上海市徐汇、金山、松江区 2014 届高三第二学期学习能力诊断数学(文)试题】已知
21

椭圆 x2 ? 2 y 2 ? a2 (a ? 0) 的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4. (1)求椭圆 C 的方程;

B 两点, (2) 已知直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于 A 、 试问, 是否存在 x 轴上的点 M ? m,0? ,
使得对任意的 k ? R , MA ? MB 为定值,若存在,求出 M 点的坐标,若不存在,说明理由.

22

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