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内切球与外接球常见解法


内切与外接
1 球与柱体
1.1 球与正方体

例 1

O 的表面上,E,F 分别是 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点都在球


EF 被球 O 截得的线段长为( 棱 AA 1 , DD 1 的中点,则直线

A.

2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

D. 2

1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上, 故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体 的棱长为 a, b, c, 其体对角线为 l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其

l a 2 ? b2 ? c 2 . 外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径 R ? ? 2 2
例 2 在长、宽、高分别为 2,2,4 的长方体内有一个半径为 1 的球,任意摆动此长方体, 则球经过的空间部分的体积为( 10π A. 3 B.4π 8π C. 3 7π D. 3 )

1.3 球与正棱柱

R 的球面上, 例 3 正四棱柱 ABCD ? A 则正四棱柱的侧面积有 1B 1C1D 1 的各顶点都在半径为
最 值,为 .

2

球与锥体
规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外

接和内切两种形态进行结合, 通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系, 然后考查几何体的体 积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体

2 a2 2 6 6 2 2 R?r ? a,R ? r ? CE = , a, r ? a. 解得: R ? 3 3 4 12
例 4 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最 小值为 ( )

3?2 6 3 A.

B. 2+

2 6 3

C. 4+

2 6 3

D.

4 3?2 6 3

2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥

例5

在正三棱锥 S ? ABC 中, M 、N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 AM ? MN ,若侧棱

SA ? 2 3 ,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是______

2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点 在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球, 例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径

R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个
小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 例 6 在三棱锥 P-ABC 中, PA=PB=PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°, 则该三棱 锥外接球的体积为( A. ? B. ) D.

? 3

C. 4 ?

4? 3

接球的球心,则 R ?

SC . 2

例 7 矩 形 ABCD 中 , AB ? 4, BC ? 3, 沿 AC 将 矩 形 ABCD 折 成 一 个 直 二 面 角

B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积是(
A.

)

125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

D.

125 ? 3

3

球与球
对多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决

本类问题需掌握恰当的处理手段, 如准确确定各个小球的球心的位置关系, 或者巧借截面图 等方法,将空间问题转化平面问题求解. 例 7 在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球,则小球半径 r 的最大值为( )

4

球与几何体的各条棱相切
球与几何体的各条棱相切问题, 关键要抓住棱与球相切的几何性质, 达到明确球心的位

置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解. 例:与正四面体各棱都相切的球的半径为棱的一半:. 例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四


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