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2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 空间中直线与直线之间的位置关系


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

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【课标要求】 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角. 3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题. 【核心扫描】 1.理解空间中两直线的位置关系,公理 4,等角定理及异面直 线所成的角, 并掌握依据定义、 定理对空间图形进行推理论证、 计算的方法.(重点) 2. 异面直线及其所成的角的求解, 空间图形问题转化为平面图 形问题的思想方法.(难点)
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自学导引 1.空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种 位置 关系
?相交直线:同一平面内, 有且只有一个公共点 ; ? ? ?共面直线? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ? ? ?异面直线:不同 在任何一个平面内 ,没有公共点.

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想一想:若 a?α,b?β,那么 a 与 b 一定是异面直线吗? 提示 不一定,两直线是异面直线,则不同在任何一个平面

内.当 a?α,b?β 时,可能存在平面 γ,使 a?γ 且 b?γ,即 a 与 b 共面.

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2.异面直线 (1)定义: 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线. (2)画法:图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托).

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3.平行公理(公理 4) 文字表述: 平行于同一条直线的两条直线 互相平行 . 这一性质 叫做空间平行线的传递性. a∥b? ? ?? a∥c . 符号表述: b∥c ? ? 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行 , 那么这两个角相等或 互补.

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5.异面直线所成的角 (1)定义: 已知两条异面直线 a, 经过空间任一点 O 作直线 a′ b, ∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′所成的 锐角 (或 直角)叫做异面 直线 a 与 b 所成的角(或夹角).

(0°,90°]. (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围:
(3)当 θ=90° 时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b.

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想一想:在异面直线所成角的定义中,角的大小与点 O 的位置 有关系吗? 提示 根据等角定理可知, a′与 b′所成角的大小与点 O 的位

置无关. 但是为了简便, O 常取在两条异面直线中的一条上, 点 特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).

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名师点睛 1.关于异面直线 (1)对异面直线概念理解须注意的问题 ①“不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平 面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握 异面直线的不共面性. ②不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异 面直线. 也就是说, 在两个不同平面内的直线, 它们既可以是平行直线, 也可以是相交直线.
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(2)异面直线的判定方法 ①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内. ②反证法:用此方法可以证明两直线是异面直线. ③判定异面直线的常用结论:过平面外一点和平面内一点的直 线与平面内不经过该点的直线是异面直线.

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2.求两异面直线所成的角需注意的问题 (1)a 与 b 所成角的大小与点 O 无关,为了简便,点 O 常取在两 条异面直线中的一条上.例如取在直线 b 上,然后过点 O 作直 线 a′∥a,a′与 b 所成的角即为异面直线 a 与 b 所成的角, 特别地,可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 表示直线的线段的端点或中点. (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角, 实现了空间问题向平面问题的转化,使平面几何与立体几何建 立了联系,促进了数学学科间知识的渗透. (3)两条直线的垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
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3.求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造:根据异面直线所成的角的定义,用平移法作出异面直 线所成的角. (2)证明:证明作出的角就是要求的角. (3)计算:求角度,常利用解三角形. (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所 成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所 成的角.

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题型一 空间中直线位置关系的判断 【例 1】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,判断下列直线的 位置关系:

(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________; (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.
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[思路探索] 本题考查对空间中直线位置关系的理解.首先看两 直线是否有交点从而判断是否相交,然后判断没有交点的两直 线是否共面,如果不共面,则两直线异面.

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解析 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点,所以(3)应该填“相 交”;直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中,且没有交点, 则两直线平行,所以(1)应该填“平行”;点 A1、B、B1 在一个 平面 A1BB1 内, C 不在平面 A1BB1 内, 而 则直线 A1B 与直线 B1C 异面;同理,直线 AB 与直线 B1C 异面,所以(2)(4)应该填“异 面”. 答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面

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规律方法 判断直线平行、 相交可用平面几何中的定义来处理, 判定异面直线往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.

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【变式 1】 已知 a,b,c 是三条直线,如果 a 与 b 是异面直线, b 与 c 是异面直线,那么 a 与 c 有怎样的位置关系?并画图说 明. 解 直线 a 与直线 c 的位置关系可以是平行、相交、异面.如

图(1)(2)(3).

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题型二 公理 4 及等角定理的应用 【例 2】 已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分 别是棱 CD、AD 的中点.

(1)求证:四边形 MNA1C1 是梯形; (2)求证:∠DNM=∠D1A1C1. [思路探索] 通过公理 4 转化为证明平面内两直线平行且不等; (2)可用等角定理证明.

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(1)如图,连接 AC,在△ACD 中,

∵M,N 分别是 CD、AD 的中点, ∴MN 是三角形的中位线, 1 ∴MN∥AC,MN=2AC. 由正方体的性质得: AC∥A1C1,AC=A1C1. 1 ∴MN∥A1C1,且 MN=2A1C1, 即 MN≠A1C1, ∴四边形 MNA1C1 是梯形.
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(2)由(1)可知 MN∥A1C1, 又因为 ND∥A1D1, ∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补. 而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角形的锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1.

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规律方法

(1)空间两条直线平行的证明:①定义法:即证明两

条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;②利用公理 4: 找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行. (2)等角定理的结论是相等或互补,在实际应用时,一般再借助 于图形判断是相等、还是互补、还是两种情形都有可能.

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【变式 2】 如图所示,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G 分别是 AE AF AG 棱 AB,AC,AD 上的点,且满足 = = . AB AC AD 求证:△EFG∽△BCD.

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证明

AE AF 在△ABC 中,∵AB=AC,

EF AE ∴EF∥BC 且 = . BC AB EG AE 同理,EG∥BD 且BD=AB. 又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同, ∴∠FEG=∠CBD, EF EG ∵BC=BD,∴△EFG∽△BCD.

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题型三

求异面直线所成的角

【例 3】 如图,在正方体 AC1 中,E,F 分别是 A1B1,B1C1 的 中点,求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小.

审题指导

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[规范解答] 法一 如图(1),连接 A1C1,B1D1, 并设它们相交于点 O,取 DD1 的中点 G,连接 OG,则 OG∥B1D,EF∥A1C1.(4 分) ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. ∴GA1=GC1,O 为 A1C1 的中点(8 分) ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° 分) .(12

图(1)

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法二

如图(2),连接 A1D,取 A1D 的中点 H,连接 HE,则 HE

1 ∥DB1,且 HE= DB1. 2 于是∠HEF 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或补角.(4 分) 连接 HF,设 AA1=1, 2 3 则 EF= 2 ,HE= 2 ,(6 分) 取 A1D1 的中点 I,连接 IF,IH,则 HI⊥IF,

图(2)

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5 ∴HF =HI +IF =4,
2 2 2

∴HF2=EF2+HE2,(10 分) ∴∠HEF=90° , ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° 分) .(12

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图(3)
法三 如图(3),在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连

接 B1Q,则 B1Q∥EF.(4 分) 于是∠DB1Q 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角.(8 分) 通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° 分) .(12

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【题后反思】 构造异面直线所成的角的方法有: (1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的 平行线, 使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补 角). (2)当异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难 时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交 于该点; (3)当两条异面直线互相垂直时,欲求它们所成的角,实际上是 要通过证明来计算.

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【变式 3】 如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB 与 CD 成 30° 角,E,F 分别为 BC,AD 的中点,求 EF 和 AB 所成 的角.

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在题图中,取 BD 的中点 G,连接 EG,FG,

∵E,F 分别为 BC,AD 的中点, 1 1 ∴EG 綉2CD,GF 綉2AB. ∴EG 与 GF 所成的角即为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB=CD, ∴△EFG 为等腰三角形. 又 AB,CD 成 30° 角, ∴∠EGF=30° 150° 或 . ∵∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角, ∴EF 与 AB 成 75° 角或 15° 角.
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误区警示 忽视异面直线所成角的范围而出错 【示例】 若线段 AB⊥BC,BC⊥CD,DE⊥AE,且 AB=BC= CD,异面直线 AB 与 CD 成 60° 角,求异面直线 AD 与 BC 所成 的角.

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[错解] 作 DE 綉 CB,连接 AE、BE(如图(1)).

∵BC=CD,BC⊥CD, ∴四边形 BCDE 为正方形. ∴BE=BC=AB.

图(1)

∵AB⊥BC,AB=BC,AB 与 CD 成 60° 的角,∴∠ABE=60° , ∴△ABE 是正三角形,∴AE=BE=DE. 又∵DE⊥AE,∴△ADE 是等腰直角三角形,即∠ADE=45° , AD 与 BC 成 45° 角. 错误的原因是漏掉了如图(2)所示的情况,补齐即可.
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[正解] (1)如图(1)(略). (2)对于图(2)的情形可作 DE 綉 CB,连接 AE、BE.

图(2)
∵BC=CD,BC⊥CD, ∴四边形 BCDE 是正方形.

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又∵AB⊥BC,AB=BC,AB 与 CD 成 60° 的角. ∴AB=BE,∠ABE=120° , 又∵DE⊥AE, 设 AB=1,则 AE= 3, 则在 Rt△ADE 中,∠ADE=60° , 即 AD 与 BC 成 60° 的角. 综合上面两种情况可知,AD 与 BC 成 60° 45° 或 的角.

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根据异面直线所成角 的定义知其角的范围 为 0° < θ≤90° ,异面直线所成的角应当是平移后两条相交直线所成的 两对对顶角中较小的那一对对顶角.但当我们已知两条直线所 成的角而去推断两条相交直线所成的角时,依据等角定理两者 可能相等或者互补,所以我们应当考虑两种情况.

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