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高中数学3.2均值不等式教案新人教B版必修5


3.2

均值不等式
整体设计

教学分析 均值不等式也称基本不等式. 本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义, 几何 的直观解释以及均值不等式的证明和应用. 本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式 及证明,在思考与讨论过渡下,给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深学生对均值不 等式的理解.教材用作差配方法证明均值不等

式.作差配方法是证明不等式的基本方法,在 整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法.在解题中要让学生注意使用均值不等式的条 件,并掌握基本技能.一般说来,“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值;见积 想和,拆高次,凑和为定值,则积有最大值”. 本节的《新课标》要求是:探索并了解均值不等式的证明过程;会用均值不等式解决简 单的最大(小)问题.从历年的高考来看,均值不等式是重点考查的内容之一,它的应用范围 几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,大多是大小判断、求最值、求取值范围等.不 等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能,同时也是高中数学的一个难点,题型广泛,涉 及面广,证法灵活,备受命题者的青睐,因而成为历届高考中的热点.几乎所有地区的高考 题都能觅到它的踪影.书中练习 A、B 和习题都是基本题,要求全做. 鉴于均值不等式的特殊作用, 因此本节设计为 2 课时完成, 但仅限于基本方法和基本技 能的掌握,不涉及高难度的技巧.第一课时重在均值不等式的探究,第二课时重在均值不等 式的灵活运用.且在教学中,将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来,让学生通过思 考与讨论建立均值不等式与不等式 a +b ≥2ab 的联系.
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三维目标 1.通过本节探究,使学生学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意 义,掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等. 2.通过对均值不等式的不同形式应用的研究,渗透“转化”的数学思想,提高学生运 算能力和逻辑推理能力.引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求 是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德. 3.通过本节学习,使学生体会数学来源于生活,帮助学生养成良好的学习习惯,形成 积极探索的态度,逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯.

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重点难点 a+b 教学重点:用数形结合的思想理解均值不等式,并从不同角度探索不等式 ≥ ab的 2 证明过程;用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题. a+b 教学难点:用均值不等式求最大值和最小值,均值不等式 ≥ ab等号成立条件的运 2 用,应用均值不等式解决实际问题. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(直接引入)像教材那样,直接给出均值定理,然后引导学生利用上节课的基本 性质来探究它的证明方法. 因为有了上两节的不等式的探究学习, 因此这样引入虽然直白却 也是顺其自然. 思路 2.(情境导入)教师自制风车,让学生把教师自制的风车转起来,这是学生小时候 玩过的得意玩具;手持风车把手,来了一个 360°的旋转,不但风车转得漂亮,课堂气氛也 活跃,学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐,情境引入达到高潮,此时教师再提出问 题. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?均值定理的内容是什么?怎样进行证明? ?2?你能证明a +b ≥2ab吗? ?3?你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗? ?4?均值不等式有哪些变形式? 活动:教师引导学生阅读均值定理的内容,或直接用多媒体给出.点拨学生利用上两节 课所学知识进行证明,这点学生会很容易做到,只需作差配方即可.接着让学生明确,这个 a+b 结论就是均值不等式,也叫基本不等式.其中,任意两个正实数 a、b 的 叫做数 a、b 2 的算术平均值,数 ab叫做 a、b 的几何平均值.均值定理可以表述为:两个正数的算术平 均值大于或等于它的几何平均值.强调这个结论的重要性,在证明不等式、求函数的最大值
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最小值时有着广泛的应用, 是高考的一个热点. 可以通过反例或特例让学生进一步认识这个 结论成立的条件,a、b 必须是正数,等号成立当且仅当 a=b,以加深学生对此结论的理解, 为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础. 利用不等式的性质对均值不等式两边平方, 则很容易得到 a +b ≥2ab.这是一个很重要 的结论.一般地,如果 a、b∈R,那么 a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”)也可让学生 重新证明这个结论: ∵a +b -2ab=(a-b) , 当 a≠b 时,有(a-b) >0. 当 a=b 时,有(a-b) =0,所以(a-b) ≥0,即 a +b ≥2ab. 这个不等式对任意实数 a,b 恒成立,是一个很重要的不等式,应用非常广泛.请同学 们注意公式的结构形式,成立的条件是 a、b 为实数,等号成立的条件是当且仅当 a=b 时成 立.“当且仅当”即指充要条件. 下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究. 如图 1, AB 是圆的直径, 点 C 是 AB 上一点, AC=a, BC=b.过点 C 作垂直于 AB 的弦 DD′, 连结 AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗?
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图1 (本节课开展到这里,学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方 法,对均值不等式也已经很熟悉,这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形. 容易证明△ACD∽△DCB.所以可得 CD = ab.或由射影定理也可得到 CD= ab.从图中我们可直观地看到 ab表示的是半弦长, a+b 表示的是半径长.由于半弦长不大于半径,即 CD 小于或等于圆的半径,用不等式表示 2 为: a+b ≥ ab. 2 显然,上述不等式当且仅当点 C 与圆心重合,即当 a=b 时,等号成立.

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还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式.如若 a、b∈R ,则 ab≤



a+b ,当且仅当 a 2

=b 时,式中等号成立.好多书上就把它称为基本不等式.在同样条件下还可写成:a+ b≥2 ab或 2 ab≤a+b 等. 讨论结果: (1)(2)略. (3)均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦长. (4)若 a、b∈R ,则 ab≤
+ +

a+b ,当且仅当 a=b 时,式中等号成立; 2

若 a、b∈R ,则 a+b≥2 ab,当且仅当 a=b 时,式中等号成立; 若 a、b∈R,则 a +b ≥2ab,当且仅当 a=b 时,式中等号成立. 应用示例 例 1(教材本节例 1) 活动:本例是均值不等式的简单应用,教师点拨学生证明时注意式中成立的条件,本例 b a b a + 中的 和 相当于均值不等式中的 a、b.因此必须有 , ∈R . a b a b 点评:初用均值不等式,学生往往容易忽视不等式成立的条件,点拨学生注意,只要使 用均值定理,马上先想到条件,养成良好的解题习惯. 变式训练 已知 a、b、c 都是正实数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc. 证明:∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2 ab>0,b+c≥2 bc>0,c+a≥2 ca>0. ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ab·2 bc·2 ac=8abc, 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
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x-y a-b 例 2 已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证: + ≥2. a-b x-y x-y a-b 活动: 教师引导学生探究题目中的条件与结论. 本题结论中, 注意 与 互为倒数, a-b x-y x-y a-b 它们的积为 1,故此题应从已知条件出发,经过变形,说明 与 为正数开始证题. a-b x-y

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证明:∵(a+b)(x+y)>2(ay+bx), ∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx. ∴ax-ay+by-bx>0. ∴(ax-bx)-(ay-by)>0. ∴(a-b)(x-y)>0, 即 a-b 与 x-y 同号. ∴ ∴ ∴ x-y a-b 与 均为正数. a-b x-y x-y a-b + ≥2 a-b x-y x-y a-b + ≥2. a-b x-y x-y a-b x-y a-b · =2(当且仅当 = 时取“=”). a-b x-y a-b x-y

x-y 点评:本题通过对已知条件变形,恰当地因式分解,从讨论因式乘积的符号来判断 a-b a-b 与 是正还是负,是我们今后解题中常用的方法. x-y 1 a+b 例 3 若 a>b>1,P= lga·lgb,Q= (lga+lgb),R=lg ,则( 2 2 A.R<P<Q C.Q<P<R B.P<Q<R D.P<R<Q )

活动:这是均值不等式及其变形式的典型应用.根据 P、Q、R 三个式子的结构特点,应 考虑利用均值不等式,再运用函数 y=lgx 的单调性. 答案:B 解析:∵a>b>1, ∴lga>lgb>0. 1 1 ∴ (lga+lgb)> ·2 lga·lgb,即 Q>P. 2 2 a+b 又∵ > ab, 2 a+b 1 ∴lg >lg ab= (lga+lgb). 2 2 ∴R>Q.故 P<Q<R. 点评:应准确理解均值不等式成立的条件,创造性地应用均值不等式. 例 4(教材本节例 2) 活动:这是一个实际问题.教师引导学生分析,根据题意在(1)中,矩形的长与宽的积 是一个常数,求长与宽的和的两倍的最小值;在(2)中,矩形的长与宽的和的两倍是一个常
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数,求长与宽的积的最大值.联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积,因此建立均 值不等式的数学模型. 点评:本例也可用函数模型解决,课后可让学生试一试.这里用均值不等式来解,一是 说明利用均值不等式求最值的方法, 二是说明这种方法的快捷. 解完本例后, 让学生领悟到: 两个正数的积为常数时, 它们的和有最小值; 两个正数的和为常数时, 它们的积有最大值. 简 单地说就是:在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”.正是正数,定是定 值,相等是能取到等号. 知能训练 1 a 1.“a= ”是“对任意的正数 x,2x+ ≥1”的( 8 x A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

2.若正数 a、b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. 答案: 1 a 1 1.A 解析:一方面,当 a= 时,对任意的正数 x,有 2x+ =2x+ ≥1;另一方面, 8 x 8x a a 1 对任意正数 x,都有 2x+ ≥1,只要 2x+ ≥2 2a≥1,即得 a≥ . x x 8 2.[9,+∞) 解法一:令 ab=t(t>0), 由 ab=a+b+3≥2 ab+3,得 t ≥2t+3, 解得 t≥3,即 ab≥3,故 ab≥9. 解法二:由已知得 ab-b=a+3,b(a-1)=a+3, a+3 ∴b= (a>1). a-1 a+3 a+3 a+3 a-1+4 ∴ab=a· =[(a-1)+1] =a+3+ =a-1+4+ a-1 a-1 a-1 a-1 4 =a-1+ +5≥2 a-1 4 ?a-1?· +5=9. a-1
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4 当且仅当 a-1= 时取等号,即 a=b=3 时,ab 的最小值为 9. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 点评:此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力.通过思考 a +b 与 ab 的关系联想到均值不等式,或建立在函数思想上,求函数的值域. 由于视角的不同,有多种方法,以上仅是其中的两种解法.

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课堂小结 1.由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法?有哪些收获? 2.教师强调,本节课,我们学习了重要不等式 a +b ≥2ab;两正数 a、b 的算术平均 a+b a+b 数( ),几何平均数( ab)及它们的关系( ≥ ab).两关系式成立的条件不同,前者 2 2 只要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是 求函数最值的重要工具. 作业 习题 3—2A 组,4,5,6.习题 3—2B 组,1,2. 设计感想 1.本节设计突出重点.均值不等式的功能在于求最值,这是本节的重点,要牢牢地抓 住.但使用均值不等式求函数最值时要注意:①x,y 都是正数;②积 xy(或和 x+y)为定值; ③x 与 y 必须能够相等. 2.本节课我们探究了均值不等式,拓展了我们的视野;证明不等式是高中数学的重点, 也是难点,在设计中加强了证明不等式的题量,但难度并不大,重在让学生体会方法.将解 题思路转化为解题过程,往往不是一帆风顺的,谈思路可能头头是道,具体求解却可能会处 处碰壁,消除思路与求解的差异,要靠探究,在探究中不断更新,在探究中逐步完善. (设计者:郑吉星) 第 2 课时 导入新课 思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果:一是如果 a,b∈R,那么 a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”); 二是均值不等式: 如果 a, b 是正数, 那么
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a+b ≥ ab 2

a+b (当且仅当 a=b 时取“=”).在这个不等式中, 为 a,b 的算术平均数, ab为 a,b 2 a+b 2 2 的几何平均数,这样均值不等式就有了几何意义:半弦长不大于半径.a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是不同的,前者只要求 a,b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正数.本节 课我们进一步探究均值不等式的应用.由此展开新课. 思路 2.(直接导入)通过上节课 a +b ≥2ab(a、b∈R)与
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a+b ≥ ab(a>0,b>0)的探究 2

证明, 我们熟悉了不等式的一些证明方法. 本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、 方法, 进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路. 教师打开多媒体课件, 从而展开新
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课. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?回忆上节课探究的均值不等式,怎样理解均值不等式的意义?都有哪些变形? ?2?均值不等式都有哪些方面的应用? ?3?在应用均值不等式求最值时,应注意什么问题? 活动:教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式,以及均值不等式与 a + b ≥2ab 的联系. 给出了均值不等式的一个几何直观解释. 均值不等式与 a +b ≥2ab 都有着 广泛的应用.对这两个重要不等式,要明确它们成立的条件是不同的.后者成立的条件是 a 与 b 都为实数,并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充分必要条件;而前者成立的条件是 a 与 b 都为正实数,并且 a 与 b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件,如 a=0,b=0, a+b 仍然能使 ≥ ab成立. 2 两个不等式中等号成立的条件都是 a=b,故 a=b 是不等式中等号成立的充要条件. 在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应把握 “一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时,应创造条件. 本节课我们将进一步探究均值不等式的应用. 讨论结果: (1)(2)略. (3)应注意不等式成立的条件,即把握好“一正,二定,三相等”. 应用示例 例 1(教材本节例 3) 活动:本例是求函数的最值.教师引导学生将 f(x)变形,注意观察代数式中可否出现 和或积的定值.本例可放手让学生自己探究,教师给予适当点拨. 点评:解完本例后,让学生反思并领悟在求函数最值时,如何使用均值不等式的条件, 并掌握基本技能. 变式训练 函数 y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 1 2 其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n
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答案:8 解析:∵y=loga(x+3)-1 恒过点(-2,-1),∴A(-2,-1). 又∵A 在直线上, ∴-2m-n+1=0,即 2m+n=1. 又∵mn>0,∴m>0,n>0. 1 2 2m+n 4m+2n 而 + = + m n m n n 4m =2+ +2+ ≥4+2×2=8, m n 1 1 当 n= ,m= 时取“=”. 2 4 1 2 ∴ + 的最小值为 8. m n

5 1 例 2(1)已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 (2)已知 a、b 为实数,求函数 y=(x-a) +(x-b) 的最小值. 1 活动:(1)因为 4x-5<0,所以首先要“调整”符号.又(4x-2)· 不是常数,所 4x-5 以应对 4x-2 进行拆(添)项“配凑”.(2)从函数解析式的特点看,本题可化为关于 x 的二 次函数,再通过配方法求其最小值.但若注意到 (x-a)+(b-x)为定值,则用变形不等式 m +n m+n 2 ≥( ) 更简捷. 2 2 5 解:(1)∵x< ,∴5-4x>0. 4 1 1 ∴y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x 1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,上式等号成立. 5-4x ∴当 x=1 时,ymax=1. (2)∵y=(x-a) +(x-b) =(x-a) +(b-x) ?x-a?+?b-x? 2 ?a-b? ≥2[ ]= , 2 2 a+b 当且仅当 x-a=b-x,即 x= 时,上式等号成立. 2
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a+b ?a-b? ∴当 x= 时,ymin= . 2 2 点评:若 x、y∈R ,x+y=s,xy=p.若 p 为定值,则当且仅当 x=y 时,s 的值最小; 如果 s 为定值,则当且仅当 x=y 时,p 的值最大.简称“和定积最大,积定和最小”.从 本例的解答可以看出, 求最值时往往需要拆(添)项, 其目的是创设应用均值不等式的情境和 使等号成立的条件,即满足“一正,二定,三相等”的要求. 变式训练 已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、BC 的距离 乘积的最大值是__________. 答案:3


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x y 解析:方法一:以 CA、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,则直线 AB 方程为 + = 4 3 a b 1,设 P(a,b),则 + =1(a>0,b>0). 4 3 a b + 4 3 2 a b ∴ab=12· · ≤12( ) =3, 4 3 2 4b 当且仅当“a= ”时等号成立. 3 方法二:设 P 到 BC 的距离为 a,到 AC 的距离为 b. a PB b PA 由相似三角形易得 = , = , 4 5 3 5 a b PB+PA ∴ + = =1.以下解法同一. 4 3 5

x -3x+1 例 3 当 x>-1 时,求函数 f(x)= 的值域. x+1 x -3x+1 活动: 教师引导学生观察函数 f(x)的分子、 分母特点, 可作如下变形: f(x)= x+1
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?x+1? -5?x+1?+5 5 = =x+1+ -5. x+1 x+1 这样就可以应用均值不等式了. 解:∵x>-1, ∴x+1>0. ∴f(x) = 5≥2 x -3x+1 ?x+1? -5?x+1?+5 5 = = x + 1 + - x+1 x+1 x+1
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2

5 2 ?x+1?? ?-5=2 5-5, 当且仅当(x+1) =5 时, 即 x= 5-1 时取“=”. x+1

另一解 x=- 5-1<-1(舍去),故函数值域为[2 5-5,+∞). 点评:本题解法具有典型性,解后教师引导学生领悟反思.这种求值域的题目,在“函 数”一章中我们接触较多,其常用方法有单调性、图象法,还有判别式法.利用判别式法不 仅计算量大,而且极易因忽视某些条件而出错.本例给出了用均值不等式法求值域的方法, 既简单又不易出错.但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件:①各项均为正数;②和或 积有一个为定值;③等号一定取到,这三个条件缺一不可. 变式训练 已知 x1·x2·x3·?·x2 006=1,且 x1、x2、x3、?、x2 006 都是正数,则(1+x1)(1+x2)?(1 +x2 006)的最小值是__________. 答案:2
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解析:∵x1>0,则 1+x1≥2 x1, 同理,1+x2≥2 x2, ?? 1+x2 006≥2 x2 006, 各式相乘,得 (1+x1)(1+x2)?(1+x2 006)≥2
2 006

· x1·x2·x3·?·x2 006=2

2 006

.

取“=”的条件为 x1=x2=x3=?=x2 006=1, ∴所求最小值为 2
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.

例 4 设 0<x<2,求函数 f(x)= 3x?8-3x?的最大值,并求相应的 x 值.试问 0<x

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4 < 时,原函数 f(x)有没有最大值?0<x≤1 时,f(x)有没有最大值?若有,请你求出来; 3 若没有,请你说明理由. 活动:对本例中的函数可变形为 f(x)= 24x-9x ,根号内是我们熟悉的二次函数,完 全可以用二次函数的知识方法解决, 这种方法学生很熟悉. 教师可引导学生利用均值不等式 求解,让学生自己探究,教师可适时地点拨. 解:∵0<x<2,∴8-3x>0. ∴f(x)= 3x?8-3x?≤ 3x+8-3x 2 ? ? =4, 2
2

4 当且仅当 3x=8-3x,即 x= 时取“=”. 3 4 ∴函数 f(x)的最大值为 4,此时 x= . 3 又 f(x)= -9x +24x= -?3x-4? +16, 4 4 ∴当 0<x< 时,f(x)递增;当 x> 时,f(x)递减. 3 3 4 ∴当 0<x< 时,原函数 f(x)没有最大值. 3 当 0<x≤1 时,有最大值 f(1),即 f(1)= 15. 点评: 通过本例再次加深对均值不等式条件的理解. 体会不等式的功能在于“和与积” 的互化,构造均值不等式,解题的技巧是拆(添)项或配凑因式. 知能训练 1.函数 f(x)= A. 2 5 x 的最大值为( x+1 1 B. 2 C. ) 2 2 D.1
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1 2.求函数 y=x+ (x>0)的最小值,以及此时 x 的值. x 3.已知 x、y∈R ,且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值. 答案: x 1.B 解析:当 x=0 时,f(x)=0;当 x>0 时,f(x)= = x+1 1 x 1 x+ 1 1 ≤ ,当且仅当 2


x

x=

,即 x=1 时取等号. 1 x· =2, x

1 2.解:∵x>0,∴x+ ≥2· x

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1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x 1 ∴当 x=1 时,x+ 的值最小,最小值是 2. x 3.解:由 2x+8y-xy=0 得 y(x-8)=2x. ∵x>0,y>0,∴x-8>0. 2x 16 ∴x+y= +x=x-8+ +10≥2 x-8 x-8 16 ?x-8?· +10=18, x-8

16 当且仅当 x-8= ,即 x=12 时,x+y 取最小值 18. x -8 课堂小结 1.由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法,回顾本节课解决了哪些问题?应 注意些什么? 2.教师点拨,本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题,在用均值不等式 求函数的最值时,应注意考查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数 的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各 项均相等, 取得最值. 即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件: 一正、 二定、 三相等. 在利用均值不等式证明一些不等式时, 也应注意均值不等式成立的条件及构建均值 不等式结构. 作业 习题 3—2A 组 2、3、7、8、9;习题 3—2B 组 3、4. 设计感想 1.本节设计意在体现均值不等式的应用,因此用不等式求解函数的最值与证明不等式 是穿插进行的,且强调一题多解的训练. 2.本节设计关注了教学进程的和谐发展.整个设计给人自然流畅的感觉,没有教师过 分自我展示的味道,能使学生的思维得到充分的锻炼,能力得到很大的提高. 3.本节设计重视了学生的主体地位,从例题到变式训练,从新课导入到课堂小结,都 注意了学生的主动思维活动, 充分让学生占据思维的时空, 这是提高学生思维能力的有效良 方. 备课资料 一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法) (1)设 a1,a2,a3,?,an 为正实数,这 n 个数的算术平均值记为 A,几何平均值记为 G,

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a1+a2+?+ 即 A= n

an n ,G= a1a2?an,即 A≥G,当且仅当 a1=a2=?=an 时,A=G.特别

a+b a+b+c 3 地,当 n=2 时, ≥ ab;当 n=3 时, ≥ abc. 2 3 (2)用局部调整法证明均值不等式 A≥G.设这 n 个正数不全相等.不失一般性,设 0< a1≤a2≤?≤an,易证 a1<A<an,且 a1<G<an.在这 n 个数中去掉一个最小数 a1,将 a1 换成 A,再去掉一个最大数 an,将 an 换成 a1+an-A,其余各数不变,于是得到第二组正数:A, a2,a3,?,an-1,a1+an-A.这一代换具有下列性质:①两组数的算术平均值不变,设第二 A+a2+a3+?+an-1+a1+an-A 组数的算术平均值为 A1,那么 A1= =A,②第二组数的几何 n n 平均值最大.设第二组数的几何平均值为 G1,则 G1= Aa2a3?an-1?a1+an-A?, ∵A(a1+an-A)-a1an=(A-a1)(an-A),由 a1<A<an,得(A-a1)(an-A)>0,则 A(a1 +an-A)>a1an.∴Aa2a3?an-1(a1+an-A)>a1a2?an-1·an,即 G1>G. 二、备用习题 1.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( 1 A.ab≤ 2 1 B.ab≥ 2 ) C.a +b ≥2
2 2

D.a +b ≤3 b d + ,则( x y )

2

2

2.若 a、b、c、d、x、y 是正实数,且 P= ab+ cd,Q= ax+cy·

A.P=Q

B.P<Q

C.P≤Q

D.P≥Q )

1 1 3.若函数 y=f(x)的值域是[ ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( 2 f?x? 1 A.[ ,3] 2 5 10 C.[ , ] 2 3 10 B.[2, ] 3 10 D.[3, ] 3

4.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存 储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=__________吨. 5.直线 l 过点 M(2,1)且分别交 x 轴,y 轴正半轴于点 A,B,O 为坐标原点,求△AOB 面积最小时 l 的方程. 6.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车 920v 的平均速度 v(千米/时)之间的函数关系为 y= 2 (v>0). v +3v+1 600
14

(1)在该时段内, 当汽车的平均速度 v 为多少时, 车流量最大?最大车流量为多少?(精 确到 0.1 千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 参考答案: a +b +a +b a +b +2ab ?a+b? 2 2 1.C 解析:对于选项 C:a +b = ≥ = =2.故 C 正 2 2 2 确. 2.C 解析:∵a、b、c、d、x、y 是正实数, ∴Q= ax+cy· = b d + x y
2 2 2 2 2 2 2

adx bcy ab+cd+ + y x

≥ ab+cd+2 abcd = ab+ cd=P. 1 3.B 解析:令 t=f(x),则 t∈[ ,3]. 2 1 10 ∴F(x)=G(t)=t+ .该函数在 t=1 处取得最小值 2,在 t=3 处取得最大值 . t 3 故选 B. 400 1 600 4. 20 解析: 设一年总费用为 y 万元, 则 y=4· +4x= +4x≥2 x x 1 600 =160,当且仅当 =4x,即 x=20 时,等号成立. x 5.解:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k(k<0). 令 x=0,得 y=1-2k; 2k-1 1 令 y=0,得 x= =2- . k k 1 1 1 ∴S△AOB= (1-2k)(2- )=2+ +(-2k). 2 k -2k ∵k<0,∴-2k>0. 1 1 ∴S△AOB≥2+2=4,当且仅当- =-2k,即 k=- 时取等号. 2k 2 1 此时 l 的方程为 y=- x+2. 2 6.解: (1)依题意,得 y= 920 920 920 ≤ = , 1 600 3+2 1 600 83 3+?v+ ? v 1 600 ·4x x

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1 600 当且仅当 v= ,即 v=40 时,上式等号成立, v 920 所以 ymax= ≈11.1(千辆/时). 83 920v (2)由条件得 2 >10, v +3v+1 600 整理,得 v -89v+1 600<0, 即(v-25)(v-64)<0, 解得 25<v<64. 答:当 v=40 千米/时时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/时.如果要求在该 时段内车流量超过 10 千辆/时,则汽车的平均速度应大于 25 千米/时且小于 64 千米/时.
2

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