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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第三章 三角恒等变换》模块检测


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模块检测
(时间:100 分钟 满分:120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若 cos θ>0,且 sin 2θ<0,则角 θ 的终边所在的象限是( A.第一象限 C.第三象

限 B.第二象限 D.第四象限 ).

解析 sin 2θ=2sin θcos θ<0,又 cos θ>0, ∴sin θ<0,∴θ 是第四象限角. 答案 D 2π? ?π 2.函数 y=sin x?6≤x≤ 3 ?的值域是( ? ? A.[-1,1] ?1 3? C.? , ? ?2 2 ? 答案 B 2π 3. 已知|a|=8, e 为单位向量, 当它们的夹角为 3 时, a 在 e 方向上的投影为( 1 A.2 1 B.-2 C.4 D.-4 ). ?1 ? B.?2,1? ? ? ? 3 ? D.? ,1? ?2 ? ).

2π ? 1? 解析 a 在 e 的方向上的投影为|a|cos 3 =8×?-2?=-4. ? ? 答案 D 4.下列关系式中,不正确的是(
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).
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全品高考网 gk.canpoint.cn A.sin 585° <0 B.tan(-675° )>0 C.cos(-690° )<0 D.sin 1 010° <0 解析 585° =360° +225° 是第三象限角,则 sin 585° <0;-675° =-720° +45° , 是第一象限角, ∴tan(-675° )>0;1 010° =1 080° -70° ,是第四象限角, ∴sin 1 010° <0;而-690° =-720° +30° 是第一象限角, ∴cos(-690° )>0. 答案 C π? π ? 5.函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x=12,则 φ=( ? ? π A.6 π B.3 π C.4 π D.-4 ).

π 解析 由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z), π π 所以 3×12+φ=kπ+2(k∈Z), π 得 φ=kπ+4(k∈Z). π π 又|φ|<2,所以 k=0,φ=4,故应选 C. 答案 C → → → 1 6.已知 D 是△ABC 的边 BC 上的一点,且 BD=3BC,设AB=a,AC=b,则AD 等于( 1 A.3(a-b) ). 1 B.3(b-a)
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全品高考网 gk.canpoint.cn 1 1 C.3(2a+b) D.3(2b-a) → → → → 1 → → 1 → → 2→ 1 → 2 1 AD=AB+BD=AB+3BC=AB+3(AC-AB)=3AB+3AC=3a+3b,故选

解析 C.

答案 C 7.已知 a,b 均为单位向量,且它们的夹角为 60° ,那么|a+3b|等于( A. 7 解析 +3b)2. 因为|a|=1,|b|=1,且它们的夹角为 60° , 1 故 a· b=cos 60° =2, 所以(a+3b)2=a2+6a· b+9b2=1+3+9=13, 即|a+3b|= 13,故应选 C. 答案 C 8.计算 2sin 14° · cos 31° +sin 17° 等于( 2 A. 2 2 B.- 2 3 C. 2 ). 3 D.- 2 B. 10 C. 13 D. 4 ).

本题若直接求|a+3b|则较为困难,因此解答时可依据公式 |a|= a2先求(a

解析 原式=2sin 14° cos 31° +sin(31° -14° ) 2 =sin 31° cos 14° +cos 31° sin 14° =sin 45° =2. 答案 A 9.设向量 a=(cos 25° ,sin 25° ),b=(sin 20° ,cos 20° ),若 t 是实数,且 c=a+
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全品高考网 gk.canpoint.cn tb,则|c|的最小值为( A. 2 B.1 ). 2 C. 2 1 D.2

解析 c=a+tb=(cos 25° ,sin 25° )+(t sin 20° ,tcos 20° ) =(cos 25° +tsin 20° ,sin 25° +tcos 20° ), ∴|c|= ?cos 25° +tsin 20° ?2+?sin 25° +tcos 20° ?2 = 1+t2+2tsin 45° = t2+ 2t+1 = ? 2? 1 ? t+ ? 2 + , 2? 2 ?

2 2 ∴当 t=- 2 时,|c|最小,最小值为 2 . 答案 C 10.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3 cos A),若 m· n=1+cos(A+B),则 C 的值为( π A.6 2π C. 3 π B.3 5π D. 6 ).

解析 ∵m· n= 3sin Acos B+ 3cos Asin B = 3sin(A+B)=1+cos(A+B), ∴ 3sin(A+B)-cos(A+B)= 3sin C+cos C ?π ? =2sin?6+C?=1. ? ? ?π ? 1 ∴sin?6+C?=2, ? ?
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全品高考网 gk.canpoint.cn π 5 π π 2 ∴6+C=6π 或6+C=6(舍去),∴C=3π. 答案 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上). 11.若 cos 2α 2 =- π? 2 ,则 sin α+cos α=________. ? sin?α-4? ? ?

cos2α-sin2α 解析 原式可化为 2 2 ?sin α-cos α? ?cos α+sin α??cos α-sin α? = 2 2 ?sin α-cos α? 2 1 =- 2 ,∴sin α+cos α=2. 1 答案 2 12. 已知向量 m=( 3sin x, cos x), p=(2 3, 1). 若 m∥p, 则 sin x· cos x=________. 解析 ∵m∥p,∴ 3sin x=2 3cos x,tan x=2, ∴sin x· cos x= 2 答案 5 a· a 13.若向量 a 与 b 不共线,a· b≠0,且 c=a-a· b. b· 则向量 a 与 c 的夹角为________. a· a 解析 ∵a· c=a· a-a· b· a=a· a-a· a=0, b· sin x· cos x tan x 2 2 2 = 2 = . sin x+cos x 1+tan x 5

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全品高考网 gk.canpoint.cn ∴a⊥c,即 a 与 c 的夹角为 90° . 答案 90° π? 1 3 π ? 14.已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,那么 tan(α+4)的值为________. ? ? π ? ? π?? 解析 tan(α+4)=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ?? π? 3 1 ? tan?α+β?-tan?β-4? 5-4 ? ? 7 = = = . π 3 1 23 ? ? 1+tan?α+β?tan?β-4? 1+5×4 ? ? 7 答案 23 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过 程或演算步骤) 15.(10 分)对任意实数 x 和整数 n,已知 f(sin x)=sin[(4n+1)x],求 f(cos x). ? ?π ?? ? ?π ?? ?2-x?? 解 f(cos x)=f?sin?2-x??=sin??4n+1?· ? ? ?? ? ? ?? π ? ? ?π ? =sin?2nπ+2-?4n+1?x?=sin?2-?4n+1?x? ? ? ? ? =cos[(4n+1)x]. → → → 16.(10 分)已知 a,b 不共线,AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a-b,若 A,B, D 三点共线,求实数 k 的值. → → → → → 解 ∵BD=BC+CD=-CB+CD=a-4b, → 而 a 与 b 不共线,∴BD≠0. → → 又∵A,B,D 三点共线,∴AB,BD共线.
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全品高考网 gk.canpoint.cn → → 故存在实数 λ,使AB=λBD,即 2a+kb=λa-4λb. 又∵a 与 b 不共线, ?2=λ ∴由平面向量基本定理,得? ?k=-8. ?k=-4λ 4 17.(10 分)已知 α 为锐角,且 sin α=5. sin2α+sin 2α (1)求 2 的值; cos α+cos 2α 5π? ? (2)求 tan?α- 4 ?的值. ? ? 4 3 解 (1)因 α 为锐角,且 sin α=5,∴cos α= 1-sin2α=5. sin2α+sin 2α sin2α+2sin αcos α ∴ 2 = cos α+cos 2α 3cos2α-1 4 3 ?4?2 ?5? +2× × 5 5 ? ? = =20. ?3?2 3×?5? -1 ? ? 5π tan α-tan 4

5π? sin α 4 ? (2)∵tan α=cos α=3,∴tan?α- 4 ?= ? ?

tan α-1 1 = 5π 1+tan α=7. 1+tan αtan 4

1? ? 3 ? ? 18.(12 分)设 a=? ,cos α?,b=?sin α,2?,若 a∥b,求锐角 α 的值. ? ? ?2 ? 1? ? 3 ? ? 解 ∵a=? ,cos α?,b=?sin α,2?,且 a∥b, ? ? ?2 ? 3 1 3 ∴ 2 ×2-cos αsin α=0,即 sin αcos α= 4 .

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?sin α+cos α=1, 由? 3 sin α cos α = ? 4

2

2



得 sin α+cos α= sin2α+cos2α+2sin αcos α = 3+1 3 1+ 2 = 2 , 3+1 3 x + 2 4 =0 的两根.

∴sin α、cos α 是方程 x2- 3 ? ?sin α= 2 解得? 1 ? ?cos α=2

1 sin α=2, ? ? ,或? 3 ? ?cos α= 2 .

π? π π ? 又 α∈?0,2?,∴α=3或6. ? ? 19.(12 分)已知向量 b=(m,sin 2x),c=(cos 2x,n),x∈R,f(x)=b· c,若函数 ?π ? f(x)的图象经过点(0,1)和?4,1?. ? ? (1)求 m、n 的值; π? ? (2)求 f(x)的最小正周期,并求 f(x)在 x∈?0,4?上的最小值; ? ? 解 (1)f(x)=mcos 2x+nsin 2x, ∵f(0)=1,∴m=1. ?π? ∵f?4?=1,∴n=1. ? ? π? ? (2)f(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin?2x+4?, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 π.
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全品高考网 gk.canpoint.cn π? π π 3π ? ∵x∈?0,4?,∴4≤2x+4≤ 4 . ? ? π ∴当 x=0 或 x=4时,f(x)的最小值为 1.

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