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中山市2010-2011高一第一学期期末考试数学


广东省中山市 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

高一数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 100 分,考试时间 100 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。

2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. 若 P ? ? ,3,6,9? Q ? ? ,2,4,6,8? ,那么 P ? Q ? 1 1 A.{1}
2

B.{6}
2

C. {1,6}

D. 1,6

2.圆 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 的半径为 A.1 B.2 C. 3 D.

2

? x ? 2, x ? 0 ? 3.若 f ? x ? ? ?0, x ? 0 ,则 f [ f (1)] 的值为 ? 2 ? x ? 1, x ? 0
A.2 B.1 C.0 D.-1

4.已知镭经过 100 年,质量便比原来减少 4.24 %,设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量 为 y ,则 y ? f ?x ? 的函数解析式为(x≥0) A.

0.0424

x 100

B.

0.9576

x 100

C.

0.0424

100

x

D. 0.9576

100

x

5. 如图所示,阴影部分的面积 S 是 h 的

函数 ?0 ? h ? H ? .则该函数的图象是

6.若奇函数 f ? x ? 在 ?1,3? 上为增函数,且有最小值 0,则它在 ?? 3,?1? 上 A.是减函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 B.是增函数,有最小值 0 D.是增函数,有最大值 0

7.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间为 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 8.下列四个命题: ①平行于同一平面的两条直线相互平行 ②平行于同一直线的两个平面相互平行 ③垂直于同一平面的两条直线相互平行 ④垂直于同一直线的两个平面相互平行 其中正确的有 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 9.函数 y ? log x ?3 ? 2 x ? 的定义域是 A. (??, )

3 2

B. (0, ) C. (0,1) ? (1, )

3 2

3 2

D. (0,1)

10.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于点 O,空间一点 P 到三条交线的距离分别为 2、 5 、 7 ,则 OP 长为 A. 3 3 B. 2 2 C. 3 2 D. 2 3

第 II 卷(非选择题 共 60 分)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.幂函数 y ? f (x) 的图象过点 ( 2, 12.函数 y ?

2 ) ,则 f (x) 的解析式是 y ? 2




2 x ? 1 的定义域是

13 . 直 线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 与 直 线 l 2 : ?m ? 2?x ? 3 y ? 2m ? 0 互 相 平 行 , 则 m 的 值 为 .

14.右图是一个几何体的三视图,则该 几何体的表面积为 .

三、解答题(共 5 小题,合计 44 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 9 分) 如图,四面体 ABCD 中, AD ? 平面BCD , E、F 分别为 AD、AC 的中点, BC ? CD . 求证: (1) EF // 平面BCD (2) BC ? 平面ACD .

16. (本题满分 9 分) 某桶装水经营部每天的房租、 人员工资等固定成本为 200 元, 每桶水的进价是 5 元. 当 销售单价为 6 元时,日均销售量为 480 桶,且销售单价每增加 1 元,日均销售量就减少 40 桶.那么,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

17. (本题满分 9 分)
2 2 已知过点 M (?3,?3) 的直线 l 被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求

直线 l 的方程.

18. (本题满分 9 分) 如图,正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为 (1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2)若 E 是 PB 中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值.

6 . 2

19. (本题满分 8 分) 已知函数 f ?x ? ? log a (1)求 k 的值; (2)在(1)的条件下判断 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上的单调性,并运用单调性的定义予以证明.

1 ? kx ?a ? 1? 是奇函数, x ?1

中山市高一级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学科参考答案
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 B

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11. x
? 1 2



1 x

12. [0,??)

13.-1

14. (12 ? 2 7 )?

三、解答题(共 5 小题,合计 44 分) 15. (本题满分 9 分) 证明:

? ( )AE ? ED ? 1 ? ? EF // DC ? AF ? FC ? ? ? EF ? 平面BCD ? ? EF // 平面BCD DC ? 平面BCD ? ? ? ?
…………4 分

? (2)AD ? 平面BCD ? ? ? BC ? AD? BC ? 平面BCD? ? ? BC ? CD ? ? BC ? 平面A C D ………9 分 AD ? CD ? D ? ? ? ?

16. (本题满分 9 分) 解:设定价在进价的基础上增加 x 元,日销售利润为 y 元,则

y ? x[480 ? 40( x ? 1)] ? 200 ,
由于 x ? 0 且 520 ? 40 x ? 0, 从而 0 ? x ? 13 即 y ? ?40 x ? 520 x ? 200 ,0 ? x ? 13 .
2

…………4 分 …………5 分 …………6 分 …………8 分

易知,当 x ? ?

520 ? 6.5 , y 取最大值. 2 ? (?40)

答:当销售单价定位 11.5 元时,经营部可获得最大利润. …………9 分

17. (本题满分 9 分) 解:由圆的方程得

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 ,故圆心为 (0,?2) ,半径长 r ? 5 .……2 分
5 2 ? (2 5 ) 2 ? 5 .
…………3 分 …………4 分 …………5 分

故圆心到直线 l 的距离 d ?

设所求直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) 即 从而有

kx ? y ? 3k ? 3 ? 0

d?

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ?1
2

? 5

两边平方,整理得 2k ? 3k ? 2 ? 0 解得 k ? ? 所以,所求直线 l 的方程为

1 或 k ?2 2

…………7 分

1 y ? 3 ? ? ( x ? 3) ,或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2
…………9 分

即 x ? 2 y ? 9 ? 0 ,或 2 x ? y ? 3 ? 0 .

18. (本题满分 9 分) 解: (1)连结 AC, BD 交于点 O ,连结 PO, 则 PO⊥面 ABCD, ………1 分

∴ ∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角, ∴ tan∠PAO= 设

6 . 2

………2 分 PO=AO?tan∠PAO ………3 分

AB=1 , 则

=

2 6 3 ? = . 2 2 2

设 F 为 AD 中点,连 FO、PF, 易知 OF⊥AD,PF⊥AD,所以 ?PFO 就是侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平 面角. 在 Rt ?POF 中, tan ?PFO ? ………4 分

PO 3 1 ? / ? 3, FO 2 2

∴ ?PFO ? 60? ,即侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 60? ;………5 分 (2)连结 EO,由于 O 为 BD 中点,E 为 PD 中点,所以, EO // ∴ ?AEO 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角. 在 Rt ?POD 中, PD ?

1 PD . ? 2
………6 分 ………7 分 ……8 分

OD 2 ? PO 2 ?

5 5 .∴ EO ? . 2 4

由 AO ? BD , AO ? PO 可知 AO ? 面 PBD .所以, AO ? EO 在 Rt ?AOE 中, tan ?AEO ?

AO 2 5 2 10 ? / ? , EO 2 4 5

即异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值为

2 10 . 5

………9 分

19. (本题满分 8 分) 解: (1) f ? x ? 是奇函数,则 f ?? x ? ? ? f ?x ? . 由 f ?? x ? ? ? f ?x ? ?

1 ? kx x ? 1 ? 1 ? k 2 x 2 ? 1 ? x 2 ? k ? ?1 或 k ? ?1 . ? ? x ? 1 1 ? kx
…………2 分

1? x ? log a (?1) ,这与题设矛盾, x ?1 x ?1 当 k ? ?1 时, f ? x ? ? log a 为奇函数,满足题设条件. …………4 分 x ?1 x ?1 (2)在(1)的条件下, f ? x ? ? log a 在 ?1,?? ? 上是减函数,证明如下: x ?1
当 k ? 1 时, f ?x ? ? log a 设 x1 , x 2 ? (1,??) ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? log a

?x1 ? 1??x 2 ? 1? ?x1 ? 1??x 2 ? 1?
x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 , x1 x 2 ? x 2 ? x1 ? 1
………6 分

? log a

? x 2 ? x1 ? 1 ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? x1 x 2 ? x 2 ? x1 ? 1 ? 0 ,


x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? 1, x1 x 2 ? x 2 ? x1 ? 1

…………7 分

又 a ? 1 ,? f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? log a 1 ? 0 即 f ?x1 ? ? f ?x 2 ?,

? f ? x ? 在 ?1,??? 上是减函数.

…………8 分


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