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17. 数列中存在性问题的研究(1)


专题:数列中存在性问题的研究(1)
一、问题提出 问题:1, 2 ,3 不可能是一个等差数列中的三项.

二、思考探究 探究一: 探究 1.1 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?<

br />an ,问:是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

【解】 (1) an ? 2n ?1, Sn ? n2 (2) bn ? 即: 2

2n ? 1 ,要使得 b1 , b2 , bm 成等差数列,则 2b2 ? b1 ? bm 2n ? 1 ? t
即: m ? 3 ?

3 1 2m ? 1 ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t

4 t ?1

∵ m, t ? N ? ,∴ t 只能取 2,3,5

当 t ? 2 时, m ? 7 ;当 t ? 3 时, m ? 5 ;当 t ? 5 时, m ? 4 .

【注】 “存在”则等价于方程有解,本例利用整除性质解决.

探究 1.2 设公差不为零的等差数列 ?an ? 的各项均为整数,Sn 为其前 n 项和,且满足 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试求所有的正整数 m,使得

a2 a3 ? ? 5 ,S7 ? 7 . a1 4

am+1am? 2 为数列 ?an ? 中的项. am
7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ,于是 a4 ? 1 .???2 分 2

【解】 (1)因为 ?an ? 是等差数列,且 S7 ? 7 ,而 S7 ? 设 ?an ? 的公差为 d,则由

a2 a3 (1 ? 2d )(1 ? d ) ??5 , ??5 得 1 ? 3d 4 a1 4

化简得 8d 2 ? 27d ? 9 ? 0 ,即 (d ? 3)(8d ? 3) ? 0 ,解得 d ? 3 或 d ? 3 , 8 但若 d ? 3 ,由 a4 ? 1 知不满足“数列 ?an ? 的各项均为整数” ,故 d ? 3 .???5 分 8 于是 an ? a4 ? (n ? 4)d ? 3n ? 11 .????????????????????7 分 (2)因为

am+1am?2 (am ? 3)(am ? 6) ? ? am ? 9 ? 18 , an ? 3n ? 11 ? 3(n ? 4) ? 1 , ??10 分 am am am am+1am? 2 为数列 ?an ? 中的项, 18 必须是 3 的倍数, am am

所以要使

于是 am 在 ?1,? 2 ,? 3 ,? 6 中取值, 但由于 am ? 1 是 3 的倍数,所以 am ? 1 或 am ? ?2 . 由 am ? 1 得 m ? 4 ;由 am ? ?2 得 m ? 3 . ????????????????13 分 当 m ? 4 时,

am+1am? 2 4 ? 7 a a ? ? a13 ;当 m ? 3 时, m+1 m? 2 ? 1? 4 ? a3 . am 1 am ?2

所以所求 m 的值为 3 和 4.??????????????????????16 分 另解:因为
am +1am ? 2 (3m ? 8)(3m ? 5) (3m ? 11) 2 ? 9(3m ? 11) ? 18 ? ? am 3m ? 11 3m ? 11

? 3m ? 2 ?
所以要使

18 ? 3m ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 , 3m ? 11 3(m ? 4) ? 1

am+1am? 2 为数列 ?an ? 中的项, 2 ? 3 ? 3 必须是 3 的倍数, 3(m ? 4) ? 1 am

于是 3(m ? 4) ? 1 只能取 1 或 ?2 . (后略)

探究 1.3 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) . 2

an ?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出 3n

所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 【解】 (1)令 n=1,则 a1=S1= (2)由 Sn ? 得 Sn ?1 ?

1(a1 ? a1 ) =0. 2
① ② ③ ④

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2 (n ? 1)an ?1 . 2

②-①,得 (n ? 1)an ?1 ? nan . 于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 .

③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1. (3)解法 1:假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列,于 是,

2p 1 q ? ? . 3 p 3 3q

p ? 2 时,

2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }( p ? 2 )为递减数列, p ?1 3 3 3 3

q ?1 q 1 ? 2q q q ? 3 时, ( 1 ? q ?1 ) ? ( 1 ? q ) ? q ?1 <0,故数列{ 1 ? q }( q ? 3 )为递减数列, 3 3 3 3 3 3 3 ( 2p q 2p q ) ? 4 , ( 1 ? q )max ? 4 ,即 p ? 2, q ? 3 时, p ? 1 ? q p max 9 3 9 3 3 3 3 3 2p 2?3 2 1 2p q ? ? ? ,故无正整数 q 使得 p ? 1 ? q 成立. p 27 9 3 3 3 3 3 2p 1 q 1 2p ? ? ? ,且数列{ p }( p ? 2 )为递减数列, 3 p 3 3q 3 3

又当 p ? 3 时,

解法 2:同上有, 当 p ? 2 时, 因此,由

2p 4 1 2p ? ? 成立;当 p ? 3 时, p ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 , p 9 3 27 9 3 3 3

2p 1 ? 得, p ? 2 ,此时 q ? 3 3p 3

【注】在利用“范围”控制正整数的值时,常用求值域的方法:单调性.本例蕴含分类讨论思想.

探究二: 探究 2.1 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (1)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ; (2)设 bn ?

Sn ( n ? N ? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

【解】 (1)由已知得 ?

? ?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2

,? d ? 2 ,

故 an ? 2n ?1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) . (2)由(1)得 bn ?

Sn ? n? 2 . n

2 假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p, q, r 互不相等)成等比数列,则 bq ? bpbr .

即 (q ? 2)2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0
? p,q,r ? N? ,

?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? ?? ?? ( p ? r )2 ? 0, ?p?r. ? ? pr, 2 ? ? ?2q ? p ? r ? 0,
2

与 p ? r 矛盾. 所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列. 【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾.

探究 2.2

已知数列 {an } 满足: a1 ?

? an ) 1 3(1? an?1 ) 2(1 , an an?1 ? 0(n ? 1) ,数列 {bn } 满足: , ? 2 1? an 1? an?1

2 2 bn ? an ?1 ? an (n ? 1) .

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)证明:数列 {bn } 中的任意三项不可能成等差数列. 【解】 (1)由题意可知, 1 ? an ?1 ?
2

2 2 (1 ? an ) 3



2 2 ,则 cn ?1 ? cn cn ? 1 ? an 3

又 c1 ? 1 ? a1 ?
2

3 3 2 ,则数列 ?cn ? 是首项为 c1 ? ,公比为 的等比数列,即 4 3 4
1 3 2 n?1 3?2? 2 ( ) ? an ? 1 ? ? ? ,又 a1 ? ? 0 , an an?1 ? 0 2 4 3 4?3?
n ?1

3? 2? cn ? ? ? 4? 3?

n ?1 2 ,故 1 ? an ?

故 an ? (?1)

n ?1

1 2 3 2 1 ? ( )n?1 , bn ? ( ) n ?1 . 4 3 4 3
1 ,公 4

(2)假设数列 ?bn ? 存在三项 br , bs , bt (r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列,由于数列 ?bn ? 是首项为 比为

2 的等比数列,于是有 br ? bs ? bt ,则只有可能有 2bs ? br ? bt 成立 3
s ?1

1?2? ?2 ? ? ? 4? 3?
即: 2

1?2? ? ? ? 4? 3?

r ?1

1?2? ? ? ? 4? 3?

t ?1

?2? ? 2? ? 2? ,即 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ? 3? ? 3?

s

r

t

s ?1?t t ? s

3

? 3t ?r ? 2t ?r

由于 r ? s ? t ,所以上式左边为偶数,右边为奇数,故上式不可能成立,导致矛盾. 因此数列 ?bn ? 中任意三项不可能成等差数列. 【注】此题为上例的补充,方法上有区别,在不便利用范围寻找矛盾时,如何考虑式子的变形呢?首先考 虑将分数整数化,然后利用奇偶性寻找矛盾.

探究 2.3 已知各项均为正数的等比数列 {an } 的公比为 q ,且 0 ? q ? (1)在数列 {an } 中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由; 【解】由 an ? 0, 0 ? q ?

1 . 2

1 知,数列 {an } 是递减数列, 2


假设存在 ak , am , an 成等差数列,不妨设 k ? m ? n ,则 2am ? ak ?an ,即 2a1qm?1 ? a1qk ?1 ? a1qn?1

2qm?k ? 1 ? qn?k ,而 2qm?k ? 2q ? 1, 1 ? q n?k ? 1 ,故矛盾.
因此在数列 {an } 中不存在三项成等差数列. 【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在.

三、真题链接 (2009 年江苏高考题)设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且

a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得 【解】 (1)设公差为 d ,则 a2 所以 a4
2

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2
,由性质得 ?3d (a4

2 2 2 ? a5 ?a4 ? a3

? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因为 d ? 0 ,

? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?

7?6 d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 , d ? 2 ,所 2

以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 7 ,前 n 项和 Sn ? n2 ? 6n . (2)

(2m ? 7)(2m ? 5) am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) ? 2n ? 7 , = ,若其是 ?an ? 中的项,则 2m ? 3 2m ? 3 am ? 2 8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6 ? 2n ? 7 , = t t am ? 2
所以 t 为 8 的约数. 因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为 ?1 ,

令 t ? 2m ? 3 ,则

即: 2n ? t ?

8 ?1 t

当 t ? 1 ,即 m ? 2 时, n ? 5 ;当 t ? ?1 ,即 m ? 1 时, n ? ?4 (舍去) . 所以满足条件的正整数 m ? 2 . 【注】不仅可以利用整除性质解决,也可利用奇偶性分析. 四、反思提升 数列中的一类存在性问题 ? 不定方程的正整数解问题 存在 ? 有(正整数)解 (1)整除性 (2)奇偶性 (3)范围 五、反馈检测 1. 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{an2}的前 n 项和为 Tn,满 足 a1 ?1, Tn ? 不存在 ? 无(正整数)解 (1)范围 (2)奇偶性 (3)有理数性质

4 1 ? ( p ? Sn ) 2 . 3 3

(1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)① 问是否存在正整数 n,m,k(n ? m ? k) ,使得 an,am,ak 成等差数列?若存在,指出 n,m,k 的关系,若不存在,请说明理由. ② 若 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列,求正整数 x,y 的值.

2. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满
2 足 an ? S2n?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和. an an ?1

(1)求 a1 、 d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3) 是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值; 若不存在, 请说明理由.
2 1.解: (1) (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

2 ? ?a1 ? S1 , 得? 2 ? ?a 2 ? S 3 ,

2 ? ?a1 ? a1 , 即? 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ,

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1

2 又? an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1

? bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(法二)? ?an ? 是等差数列, ?

a1 ? a 2 n ?1 ? an 2
2 由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an ,

? S 2 n ?1 ?

a1 ? a 2 n ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an . 2

2

又? an ? 0 ,? an ? 2n ? 1 ,则 a1 ? 1, d ? 2 .

( Tn 求法同法一)

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

??

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n

? 2n ?

8 ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n

? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .
需不等式 ? ?

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n

8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 n

2n ?
?

8 取得最小值 ?6 . n
综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 .

此时 ? 需满足 ? ? ?21 .

(3) T1 ?

1 m n m 2 1 n , Tm ? , Tn ? , 若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( ) ? ( ), 即 2m ? 1 3 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

m2 n m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? 1 ? 0 , . 由 , 可得 即 ?2m ?4 m ? ? ? ?0, 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 n m2 4m2 ? 4m ? 1 6n ? 3

? 1?

6 6 . ? m ? 1? 2 2

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , [另解:因为 ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n
?

1?

6 6 , (以下同上) . ? m ? 1? 2 2

3.设数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列. (1)当 a3 ? 2, a5 ? 6 时,若自然数 n1 , n2 ,?, ns ,? ,满足 5 ? n1 ? n2 ? ? ? ns ? ? ,使得

a3 , a5 , an1 , an2 ,?, ans ? 是等比数列,求 n s ;
(2)当 a5 ? 6 时,若存在自然数 n1 , n2 ,?, ns ,? ,满足 5 ? n1 ? n2 ? ? ? ns ? ? ,使得

a3 , a5 , an1 , an2 ,?, ans ? 是等比数列,求证:整数 a 3 必为 12 的正约数;
(3)若 ?an ? 中含有 1 和 2 ,试探究:数列 ?an ? 中是否存在不同的三项构成等比数列. 解: (1) d ? 又q ?

a5 ? a3 ? 2 ,当 n≥5 时, an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 4 , 2
…5分

a5 ? 3 ,所以 ans ? a5 ? 3s ? 2ns ? 4,?ns ? 3s ?1 ? 2 . a3

2 ,? an1 ? (2)? an1 ? a3 ? a5

6 ? a3 36 ? a3 ? (n1 ? 3)d ? a3 ? (n1 ? 3) , a3 2

所以

6 ? a3 36 12 ? a3 ? (n1 ? 3) ,所以 n1 ? 5 ? , a3 2 a3

又 n1 ? Z 且 n1 ? 5 ,所以整数 a 3 必为 12 的正约数. (3)存在正整数 k , l 使得 ak ? 1, al ? 2 ,所以 d ?

… 11 分

2 ?1 . l?k

假设数列 ?an ? 中存在不同三项 am , an , a p 构成等比数列,为方便起见, 设M ?

m?k n?k p?k ,N ? ,P ? l ?k l ?k l ?k

则 am ? ak ? (m ? k )d ? 1 ? M ( 2 ? 1)

an ? ak ? (n ? k )d ? 1 ? N ( 2 ? 1)

ap ? ak ? ( p ? k )d ? 1 ? P( 2 ? 1)
由 an2 ? am ap ,?(1 ? N ( 2 ? 1))2 ? (1 ? M ( 2 ? 1))(1 ? P( 2 ? 1))

整理得 (1 ? N )2 ? 2N 2 ? 2N (1 ? N ) 2 ? ?1 ? M ? (1 ? P) ? 2MP ? (M (1 ? P) ? P(1 ? M )) 2
2 ? ?3N ? 2 N ? 3MP ? M ? P 由于 M , N , P 均为有理数,则 ? ? M ? P. 2 ? ?2 N ? 2 N ? M ? P ? 2MP

所以 M ? P ? N ,于是 m ? n ? p ,与假设矛盾,所以不存在不同的三项构成等比数列

4. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,其前 n 项和 为 Tn ,且 b2 ? S2 ? 11, 2S3 ? 9b3 . (1)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项; (2)问是否存在正整数 m, n, r ,使得 Tn ? am ? r ? bn 成立?如果存在,请求出 m, n, r 的关系式;如果不存 在,请说明理由. 解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则

q ? 3 ? 3 ? d ? 11, ? ? 2 ?2(3 ? 3 ? d ? 3 ? 2d ) ? 9q ,
解得 d ? 3, q ? 2 .

?????????????????????2 分

?????????????????????????4 分 ??????????????????????6 分 ???????????????7 分

所以 an ? 3n, bn ? 2n?1 .

(2)因为 Tn ? 1 ? 2 ? ?? 2n?1 ? 2n ?1 , 所以有 2 ? 1 ? 3m ? r ? 2
n n ?1

.???(*)

若 r ≥ 2 ,则 r ? 2

n ?1

? 2n ? 1, (*)不成立,所以 r ? 1 , m ?

2n ?1 ? 1 .???9 分 3

若 n 为奇数,①当 n ? 1 时, m ? 0 ,不成立, ???????10 分 ②当 n ≥1 时,设 n ? 2t ? 1, t ? N* ,则 m ? 若 n 为偶数,设 n ? 2t , t ? N* ,则 m ?

2n?1 ? 1 22t ? 1 4t ? 1 ? ? ? Z ??12 分 3 3 3

2n?1 ? 1 22t ?1 ? 1 2 ? 4t ?1 ? 1 4t ?1 ? 1 1 ? ? ? 2? ? , 3 3 3 3 3

因为

4t ?1 ? 1 ? Z ,所以 m ? Z .??????????14 分 3
2n ?1 ? 1 . 3

综上所述,只有当 n 为大于 1 的奇数时, r ? 1, m ? 当 n 为偶数时,不存在.

???????????16 分

5. 已知数列 ?an ? 的奇数项是首项为 1 的等差数列,偶数项是首项为 2 的等比数列,数列 ?an ? 前 n 项和为

Sn ,且满足 S5 ? 2a4 ? a5 , a9 ? a3 ? a4 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 amam?1 ? am?2 ,求正整数 m 的值; (3)是否存在正整数 m ,使得 若不存在,说明理由.

S2m 恰好为数列 ?an ? 中的一项?若存在,求出所有满足条件的 m 值, S 2 m ?1


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