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四川省宣汉中学高三复习过关练习导数3(含答案)A


天道酬勤 勤能补拙拼搏一年 天高地阔

命题人:罗辑

四川省宣汉中学高三文科数学第一轮复习过关练习
导数的的综合应用及优化问题(5+3+2)
一、选择题(5 个) 1. 1.当 x≠0 时,有不等式( ) A.ex<1+x B.当 x>0 时,ex<1+x,当 x<0 时,ex>1+x C

.ex>1+x D.当 x<0 时,ex<1+x,当 x>0 时,ex>1+x C [解析] 设 y=ex-1-x,∴y′=ex-1,∴x>0 时,函数 y=ex-1-x 是递增的,x<0 时,函数 y=ex-1-x 是递减的,∴x=0 时,y 有最小值 y=0. x 2. 函数 y= -2sinx 的图象大致是( ) 2

图 1-2 1 C 【解析】 由 f(-x)=-f(x)知函数 f(x)为奇函数,所以排除 A;又 f′(x)= -2cosx, 2 当 x 在 x 轴右侧,趋向 0 时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在 x 轴右边接近原点处为减函数,当 1 3 x=2π 时,f′(2π)= -2cos2π=- <0,所以 x=2π 应在函数的减区间上,所以选 C. 2 2 2 3.. 若 f(x)=x -2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 4 2?x-2??x+1? C 【解析】方法一: f′(x)=2x-2- = 令 >0, 又∵f(x)的定义域为{x|x>0}, x x ∴(x-2)(x+1)>0(x>0),解得 x>2.故选 C. 4 方法二:令 f′(x)=2x-2- >0,由函数的定义域可排除 B、D,取 x=1 代入验证,可 x 排除 A,故选 C. 4 若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 D 【解析】 f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值, ∴f′(1)=0,即 12-2a-2b=0,化简得 a+b=6, ∵a>0,b>0, a+b?2 ∴ab≤? ? 2 ? =9,当且仅当 a=b=3 时,ab 有最大值,最大值为 9,故选 D. 5.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下列 图象不可能为 y=f(x)的图象是( ) ...

图 1-3 D 【解析】 设 F(x)=f(x)e ,∴F′(x)=exf′(x)+exf(x)=ex(2ax+b+ax2+bx+c),
x

天道酬勤 勤能补拙拼搏一年 天高地阔

命题人:罗辑

又∵x=-1 为 f(x)ex 的一个极值点, ∴F′(-1)=e2(-a+c)=0,即 a=c, ∴Δ=b2-4ac=b2-4a2, 当 Δ=0 时,b=± 2a,即对称轴所在直线方程为 x=± 1; b? 当 Δ>0 时,?2a?>1,即对称轴在直线 x=-1 的左边或在直线 x=1 的右边. ? 又 f(-1)=a-b+c=2a-b<0,故 D 错,选 D. 二、填空题(3 个) 6..若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_____________.
3

答案 解析

(??, 0)
由题意可知 f ( x) ? 2ax ?
' 2

1 ,又因为存在垂直于 y 轴的切线, x

所以 2ax 2 ? 7.设曲线 y ? x

1 1 ? 0 ? a ? ? 3 ( x ? 0) ? a ? (??, 0) 。 x 2x
n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,
.

则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) 令y=0得切点的横坐标:xn ? n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ? ? ? ? ... ? lg ? ?2 2 3 99 100 100
-2

答案

a 8.等比数列{ a n }中, 1 =2, 8 =4, 函数 f (x) = x ( x - a1 )( x - a 2 )…( x - a 8 ), f ?(0) 则 a
= [解析] f ′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′·x =(x-a1)(x- a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′·x, 所以 f ′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+[(0-a1)(0 -a2)…(0-a8)]′·0=a1a2…a8. 因为数列{an}为等比数列, 所以 a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8, 所以 f ′(0)=84=212 三、解答题(2 个) 9. [解答] (1)设矩形另一边长为 a m,则 y=45x+180(x-2)+180×2a =225x+360a-360. 360 由已知 ax=360,∴a= . x 3602 ∴y=225x+ -360(x>0). x 3602 (2)y′=225- 2 ,令 y′=0 得 x1=-24(舍),x2=24. x 此时, x=24 是 x∈(0, +∞)内唯一的极值点, 即为最小值点, 且当 x=24 时, y=225×24

天道酬勤 勤能补拙拼搏一年 天高地阔 3602 + -360=10440. 24 ∴当 x=24 时,修建围墙总费用最小值为 10440 元. 10.已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

命题人:罗辑

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解:(Ⅰ)由函数 f(x)的图象过原点得 b=0, 又 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2), f(x)在原点处的切线斜率是-3, 则-a(a+2)=-3,所以 a=-3 或 a=1. (Ⅱ)由 f′(x)=0,得 ,

又 f(x)在区间(-1,1)上不单调,即





解得





所以 a 的取值范围是

四.选做题
1、设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则
2

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 答案 A 解析 力。 B. ?

(

)

1 4

C. 2

D. ?

1 2

由已知 g ?(1) ? 2 ,而 f ?( x) ? g ?( x) ? 2 x ,所以 f ?(1) ? g ?(1) ? 2 ?1 ? 4 故选 A

2、 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,若 f ( x1 ) ? x1 ? x2 ,则关于 x 的方
3 2

程 3( f ( x)) ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数为
2



) D.6

A.3

B.4

C.5

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【答案】A

命题人:罗辑

x+1 已知函数 f(x)=ln . x-1 x+1 (1)求函数的定义域,并证明 f(x)=ln 在定义域上是奇函数; x-1 m (2)若 x∈[2,6]时,f(x)>ln 恒成立,求实数 m 的取值范围; ?x-1??7-x? (3)当 n∈N*时,试比较 f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)与 2n+2n2 的大小关系. x+1 [解答] (1)由 >0,解得 x<-1 或 x>1, x-1 ∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时, -x+1 x-1 ?x+1?-1=-lnx+1=-f(x). f(-x)=ln =ln =ln? ? -x-1 x+1 x-1 ?x-1? x+1 ∴f(x)=ln 在定义域上是奇函数. x-1 x+1 m (2)∵x∈[2,6]时,f(x)=ln >ln 恒成立, x-1 ?x-1??7-x? x+1 m ∴ > >0,∵x∈[2,6], x-1 ?x-1??7-x? ∴0<m<(x+1)(7-x)在 x∈[2,6]上恒成立. 令 g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈[2,6],由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时 g(x)单调递增,x∈[3,6]时 g(x)单调递减, 又 g(2)=15,g(6)=7, 故 x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7, ∴0<m<7. 2n+1 3 5 7 (3)f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)=ln × × ×…× =ln(2n+1). 1 3 5 2n-1 证法一:设函数 h(x)=lnx-(x-1),x∈[1,+∞), 1-x 则 x∈(1,+∞)时,h′(x)= <0,即 h(x)在(1,+∞)上递减, x 所以 h(x)<h(1)=0,故 lnx<x-1 在 x∈[1,+∞)上恒成立, 则当 x=2n+1(n∈N*)时,ln(2n+1)<2n<2n2+2n 成立. x2 -x2-2x 1 证法二:构造函数 h(x)=ln(1+x)-?x+ 2 ?(x>0),h′(x)= -x-1= , ? ? x+1 x+1 2 x 当 x>0 时,h′(x)<0,∴h(x)=ln(1+x)-?x+ 2 ?在(0,+∞)上单调递减, ? ? ∴h(x)<h(0)=0, ∴当 x=2n(n∈N*)时,ln(1+2n)-(2n+2n2)<0, ∴ln(1+2n)<2n+2n2.


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